גיאומטריה אנליטית — אמצע, מרחק וישר

1. קואורדינטת אמצע היא ממוצע הקואורדינטות של הקצוות: xM = (x₁ + x₂)2.
2. מציבים את ערכי x בלבד: xM = (2 + 8)2.
3. מחשבים: xM = 102 = 5.
4. זהו ערך x המבוקש. אילו נדרש גם y, היינו מחשבים yM = (4 + 10)2 = 7.

התשובה: 5

1. נוסחת מרחק נגזרת מפיתגורס: d = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².
2. הפרש ערכי x הוא 3 − 0 = 3, והפרש ערכי y הוא 4 − 0 = 4.
3. מציבים: d = √3² + 4² = √9 + 16.
4. מחשבים שורש: d = √25 = 5.

התשובה: 5

1. שיפוע הוא השינוי ב־y חלקי השינוי ב־x: m = (y₂ − y₁)(x₂ − x₁).
2. שומרים על אותו סדר נקודות בשני החיסורים: m = (8 − 2)(3 − 1).
3. מחשבים: m = 62 = 3.
4. כל עלייה של יחידה אחת ב־x מלווה בעלייה של 3 ב־y.

התשובה: 3

1. משוואת ישר: y = mx + b. השיפוע m = 2, והנקודה נותנת x = 1, y = 5.
2. מציבים: 5 = 2 × 1 + b.
3. כופלים: 5 = 2 + b. מחסרים 2: b = 3.
4. בדיקה: y = 2x + 3 ובנקודה x = 1 מתקבל y = 5.

התשובה: 3

1. נוסחת קואורדינטת x של אמצע קטע: xM = (x₁ + x₂)2.
2. מציבים: xM = (2 + 8)2.
3. מחברים ומחלקים: xM = 102 = 5. זהו ממוצע ערכי x, בלי לערב את ערכי y.

התשובה: 5

1. מרחק בין נקודות: d = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².
2. מציבים: d = √(6 − 0)² + (8 − 0)².
3. מחשבים ריבועים: d = √36 + 64 = √100.
4. מוציאים שורש חיובי: d = 10.

התשובה: 10

1. נוסחת השיפוע: m = (y₂ − y₁)(x₂ − x₁).
2. מציבים לפי אותו סדר נקודות: m = (11 − 2)(4 − 1).
3. מחשבים את ההפרשים: m = 93 = 3.
4. המכנה אינו אפס, ולכן השיפוע מוגדר.

התשובה: 3

1. מתחילים ממשוואת ישר: y = mx + b. נתונים m = 2 והנקודה (3, 8).
2. מציבים את הקואורדינטות: 8 = 2 × 3 + b.
3. כופלים: 8 = 6 + b. מחסרים 6: b = 2.
4. בדיקה: 2 × 3 + 2 = 8, ולכן הישר עובר בנקודה הנתונה.

התשובה: 2