קליק · מתמטיקה

גיאומטריה אנליטית — אמצע, מרחק וישר

משלבים נקודות במערכת הצירים עם שיפוע, מרחק, אמצע קטע ומשוואת ישר.

https://klikedu.app/learn/analytic-geometry

1. קודם מזהים מה מבקשים

בגיאומטריה אנליטית מתארים נקודות באמצעות זוגות (x, y): הראשון אופקי והשני אנכי. מכאן אפשר לחשב דברים שונים. אמצע קטע הוא נקודה, מרחק הוא אורך, ושיפוע מתאר כיוון ושינוי. זיהוי סוג התשובה מונע בחירה בנוסחה שאינה עונה לשאלה.

דוגמה: נתונות $A = (1, 2), B = (5, 6) .$ מבקשים את אמצע AB. איזה סוג תשובה מחפשים?

המילה אמצע מתארת מיקום בין הקצוות.
לכן התשובה צריכה להיות נקודה, עם x וגם y.
מספר יחיד שמתאר אורך או שיפוע אינו עונה לשאלה.

תרגול מודרך

מהו סוג התשובה לשאלה על אורך AB?

נקודה (x, y)
מספר לא־שלילי ביחידות אורך
משוואת ישר

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מבקשים את כיוון השינוי של ישר כשמתקדמים ימינה. איזה כלי מתאים?

אמצע קטע
שטח משולש
שיפוע

תשובה: __________________________________________________

2. ממוצע מוצא ערך באמצע

ממוצע של שני מספרים מחושב בחיבורם ובחלוקה בשתיים. הוא נמצא באמצע ביניהם על ציר מספרים. גם כשאחד המספרים שלילי משתמשים באותו חישוב. נקודת אמצע דורשת אחר כך שני ממוצעים נפרדים, אחד לכל ציר.

דוגמה: מהו הערך שבאמצע בין −2 לבין 6?

מחברים: −2 + 6 = 4.
מחלקים בשתיים: = 2.
מ־−2 עד 2 יש 4 יחידות, ומ־2 עד 6 עוד 4.

תרגול מודרך

מהו הממוצע של 2 ו־8?

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מהו האמצע בין −6 לבין 2 על ציר מספרים?

−2
4
−4

תשובה: __________________________________________________

3. מחשבים אמצע בכל ציר בנפרד

אמצע קטע נמצא באמצע בין ערכי x של הקצוות ובאמצע בין ערכי y שלהם. מסמנים את הקצה הראשון (x₁, y₁), את השני (x₂, y₂), ואת נקודת האמצע M. המספרים הקטנים מציינים לאיזה קצה שייך כל ערך. לכן הנוסחה היא $M = ((x₁ + x₂) 2, (y₁ + y₂) 2) .$ לא מחברים x עם y, ולא מחלקים את מרחק הקצה מהראשית בשתיים.

A = (- 3, - 2), B = (3, 2) .

אמצע הקטע הוא M = (0, 0).

דוגמה: מצאו אמצע בין $A = (- 3, - 2)$ ל־B = (3, 2).

ערך x באמצע: $(- 3 + 3) 2 = 0 .$
ערך y באמצע: $(- 2 + 2) 2 = 0 .$
M = (0, 0). במקרה הזה האמצע הוא הראשית.

תרגול מודרך

מה אמצע הקטע בין (1, 2) לבין (5, 6)?

(2, 2)
(3, 4)
(6, 8)

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מה אמצע הקטע בין (−4, 3) לבין (2, 7)?

(−1, 5)
(3, 2)
(−2, 10)

תשובה: __________________________________________________

4. מוצאים קצה כשידוע האמצע

אם קצה אחד והאמצע ידועים, אפשר לעבוד לאחור מנוסחת הממוצע. בכל ציר סכום שני הקצוות שווה לפעמיים ערך האמצע. לכן הקצה החסר הוא פעמיים האמצע פחות הקצה הידוע. מבצעים זאת בנפרד ל־x ול־y.

דוגמה: A = (2, 1) והאמצע M = (5, 4). מצאו B.

בציר $x : xB = 2 \times 5 - 2 = 8 .$
בציר $y : yB = 2 \times 4 - 1 = 7 .$
B = (8, 7). בדיקה: הממוצעים הם (5, 4).

תרגול מודרך

קצה x אחד הוא 2 וערך x באמצע 6. מה ערך x בקצה השני?

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

נתון קצה קטע A = (1, 3) ואמצע הקטע M = (4, 5). מהו הקצה השני B?

(3, 2)
(7, 7)
(5, 8)

תשובה: __________________________________________________

5. הפרשים מייצרים ניצבים

כדי למצוא מרחק בין נקודות, מדמיינים מסלול אופקי ואחריו אנכי. התזוזות יוצרות שתי צלעות מאונכות במשולש ישר זווית, והקטע הישיר הוא היתר. ההפרש בין ערכי x נותן תזוזה אופקית, ובין ערכי y תזוזה אנכית.

דוגמה: מהן התזוזות מ־A = (1, 2) ל־B = (4, 6)?

בכיוון האופקי: 4 − 1 = 3.
בכיוון האנכי: 6 − 2 = 4.
נוצר משולש ישר זווית עם ניצבים באורכים 3 ו־4.

תרגול מודרך

מ־(2, 1) ל־(7, 4), מהו השינוי האופקי?

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מ־(−1, 3) ל־(3, −2), מהו אורך הניצב האנכי?

−5
4
5

תשובה: __________________________________________________

6. מפיתגורס לנוסחת המרחק

במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים הוא ריבוע היתר. ריבוע פירושו כפל עצמי, ושורש חיובי מחזיר אורך מתוך ריבועו. לכן המרחק בין הנקודות הוא $d = \sqrt (x₂ - x₁) ² + (y₂ - y₁) ²,$ לפי שני ההפרשים שמצאנו.

דוגמה: מצאו מרחק בין (1, 2) לבין (4, 6).

הפרש x הוא 3 והפרש y הוא 4.
$d² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 .$
$d = \sqrt 25 = 5$ יחידות.

תרגול מודרך

מה המרחק בין (0, 0) לבין (6, 8)?

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מה המרחק בין (2, 3) לבין (2, 9)?

תשובה: __________________________________________________

7. סימן התזוזה אינו סימן המרחק

מרחק אינו משתנה כשמחליפים את סדר הקצוות. ההפרשים יכולים להיות שליליים, אבל בריבוע מספר שלילי מוכפל בעצמו ונותן תוצאה חיובית. אם השורש אינו מספר שלם אפשר להשאירו במדויק. בין נקודות שונות מתקבל תמיד אורך חיובי.

דוגמה: חשבו מרחק בין (4, 5) לבין (1, 1).

ההפרשים הם 1 − 4 = −3 ו־1 − 5 = −4.
$d² = (- 3) ² + (- 4) ² = 9 + 16 = 25 .$
d = 5, בדיוק כמו בסדר הקצוות ההפוך.

תרגול מודרך

מהו (−6)²?

36
−36
−12

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מה המרחק המדויק בין (0, 0) לבין (1, 2)?

תשובה: __________________________________________________

8. שיפוע אינו אורך

שיפוע מודד שינוי אנכי לכל יחידת שינוי אופקי: $m = (y₂ - y₁) (x₂ - x₁) .$ הוא יכול להיות חיובי, שלילי או אפס, ואינו המרחק בין הנקודות. שומרים על אותו סדר חיסור במונה ובמכנה כדי לשמור על הכיוון הנכון.

דוגמה: מצאו שיפוע בין (1, 2) לבין (3, 6).

השינוי האנכי הוא 6 − 2 = 4.
השינוי האופקי הוא 3 − 1 = 2.
$m = 42 = 2,$ כלומר עלייה של 2 לכל יחידה ימינה.

תרגול מודרך

מה השיפוע בין (1, 5) לבין (3, 9)?

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מה השיפוע בין (0, 4) לבין (2, 0)?

−2
2
4

תשובה: __________________________________________________

9. משוואת ישר זקוקה לשיפוע ולנקודה

נקודה אחת אינה קובעת ישר יחיד, כי ישרים רבים יכולים לעבור בה. כשידוע גם שיפוע m, משתמשים ב־y = mx + b. כאן b הוא ערך y כאשר x = 0, כלומר גובה החיתוך עם ציר y. מציבים את הקואורדינטות של הנקודה כדי למצוא את b, ואז בודקים שהמשוואה אכן מחזירה את הפלט הנתון.

דוגמה: ישר בשיפוע 1 עובר ב־(1, 2). מצאו את משוואתו.

מציבים $2 = 1 \times 1 + b .$
מחסרים 1: b = 1.
המשוואה y = x + 1; בדיקה ב־(1, 2) נותנת 2 = 1 + 1.

תרגול מודרך

m = 2 והנקודה (1, 5) על הישר. מהו b?

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

איזה מידע מספיק למציאת ישר לא־אנכי יחיד?

נקודה אחת בלבד
אורך קטע כלשהו
שיפוע ונקודה שעל הישר

תשובה: __________________________________________________

10. שתי נקודות קובעות שיפוע ומיקום

כשנתונות שתי נקודות שונות בעלות ערכי x שונים, אפשר לחשב את השיפוע ולמצוא את b בהצבת אחת מהן. הנקודה השנייה משמשת בדיקה עצמאית. אם המשוואה אינה מקיימת אותה, בודקים את סדר החיסור ואת ההצבה לפני שממשיכים.

דוגמה: מצאו ישר דרך (1, 2) ו־(5, 6).

$m = (6 - 2) (5 - 1) = 1 .$
מהנקודה הראשונה: 2 = 1 + b, ולכן b = 1.
y = x + 1.
בדיקה בנקודה השנייה: 6 = 5 + 1.

תרגול מודרך

מה שיפוע הישר דרך (0, 3) ו־(2, 7)?

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מה משוואת הישר דרך (0, 3) ו־(2, 7)?

y = 3x + 2
y = 2x + 3
y = 4x + 3

תשובה: __________________________________________________

11. שיפועים שווים נותנים אותו כיוון

שני ישרים לא־אנכיים בעלי שיפועים שווים משתנים באותו קצב. אם הם ישרים שונים, הם מקבילים. האיבר b קובע את מיקומם: אם גם b שווה, זו אותה משוואה ואותו ישר. כדי לבנות מקביל דרך נקודה שומרים על m ומחשבים b חדש.

דוגמה: מצאו ישר המקביל ל־y = 2x + 1 ועובר ב־(0, 4).

למקביל יש אותו שיפוע: m = 2.
הנקודה עם x = 0 מראה b = 4.
המשוואה y = 2x + 4. הישר שונה כי b שונה.

תרגול מודרך

איזה ישר מקביל ושונה מ־y = 3x + 2?

$y = - 3x + 2$
$y = (13) x + 2$
y = 3x − 5

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מקביל ל־y = −x + 7 עובר ב־(2, 3). מה משוואתו?

y = −x + 5
y = x + 1
y = −x + 1

תשובה: __________________________________________________

12. שיפוע מאונך הוא הופכי ונגדי

כאשר שני ישרים בעלי שיפועים מוגדרים מאונכים, מכפלת שיפועיהם היא −1. למציאת שיפוע מאונך לשיפוע שאינו אפס מחליפים מונה ומכנה ומחליפים סימן. למשל, השיפוע המאונך ל־2 הוא −, כי $2 \times (- 12) = - 1 .$

ישרים בשיפועים 2 ו־− מאונכים. מכפלת השיפועים היא −1.

דוגמה: מצאו שיפוע המאונך לשיפוע 2.

כותבים 2 בתור .
מחליפים מונה ומכנה וסימן: −.
בודקים מכפלה: $2 \times (- 12) = - 1 .$

תרגול מודרך

מה השיפוע המאונך ל־3?

−3
−

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מה השיפוע המאונך ל־−?

תשובה: __________________________________________________

13. ישרים אופקיים ואנכיים

ישר אופקי שומר על y קבוע ושיפועו אפס. ישר אנכי שומר על x קבוע, ולכן השינוי האופקי אפס ואי אפשר לחשב מנה: שיפועו אינו מוגדר. ישר אופקי ואנכי מאונכים, אף שאין להם שני שיפועים שאפשר להכפיל לפי הכלל הרגיל.

הישר האנכי x = 3 מאונך לישר האופקי y = 2.

דוגמה: הסבירו מדוע x = 3 מאונך ל־y = 2.

x = 3 מתאר ישר אנכי: לכל נקודותיו אותו ערך x.
y = 2 מתאר ישר אופקי: לכל נקודותיו אותו ערך y.
כיוון אנכי וכיוון אופקי יוצרים זווית של 90°.

תרגול מודרך

מה השיפוע של y = 5?

אינו מוגדר
5
0

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מה משוואת ישר אנכי העובר ב־(−4, 7)?

x = −4
y = 7
$y = - 4x + 7$

תשובה: __________________________________________________

14. בודקים שהחישוב מתאים לצורה

אחרי החישוב כדאי לחזור למשמעות הגיאומטרית. האמצע צריך להיות בין הקצוות, המרחק בין נקודות שונות צריך להיות חיובי, ומשוואת ישר צריכה להתקיים בנקודות הנתונות. שרטוט מקורב עוזר לגלות טעויות, אך אינו מחליף את הנימוק או את הבדיקה החשבונית.

דוגמה: נטען שאמצע הקטע בין (2, 2) לבין (6, 8) הוא (8, 10). בדקו.

8 גדול משני ערכי x של הקצוות, ולכן אינו ערך אמצע אפשרי.
גם 10 גבוה משני ערכי y.
החישוב הנכון: $M = ((2 + 6) 2, (2 + 8) 2) = (4, 5) .$

תרגול מודרך

מה בודקים כדי לוודא ש־(2, 7) נמצאת על y = 3x + 1?

אם $2 + 7 = 3 + 1$
אם $3 \times 2 + 1 = 7$
אם = 3

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

נמצא מרחק −5 בין שתי נקודות. מה מסיקים?

יש טעות כי מרחק אינו שלילי
הנקודות ברבע שלילי ולכן זה נכון
המרחק תלוי בסדר הנקודות

תשובה: __________________________________________________

דוגמה מסכמת

נתונות A = (1, 2) ו־B = (5, 6). מצאו אמצע קטע ומשוואת ישר.

אמצע: $M = ((1 + 5) 2, (2 + 6) 2) = (3, 4) .$
שיפוע: $m = (6 - 2) (5 - 1) = 1 .$
מציבים את $A : 2 = 1 \times 1 + b,$ ולכן b = 1.
משוואת הישר היא y = x + 1. בדיקה ב־ $B : 6 = 5 + 1 .$

תרגול מסכם

שאלה 1

קצות קטע הם (2, 4) ו־(8, 10). מה ערך x של האמצע?

________________________________________________________

שאלה 2

מה המרחק בין (0, 0) ל־(3, 4)?

________________________________________________________

שאלה 3

מה השיפוע בין (1, 2) ל־(3, 8)?

________________________________________________________

שאלה 4

ישר ששיפועו 2 עובר ב־(1, 5). מה b?

________________________________________________________

שאלה 5

$A = (2, 4), B = (8, 10) .$ מה x של אמצע AB?

________________________________________________________

שאלה 6

מה המרחק בין (0, 0) ל־(6, 8)?

________________________________________________________

שאלה 7

מה השיפוע בין (1, 2) ל־(4, 11)?

________________________________________________________

שאלה 8

ישר ששיפועו 2 עובר דרך (3, 8). מה b?

________________________________________________________

בדיקה עצמית

האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.

1. קודם מזהים מה מבקשים

דוגמה: נתונות A = (1, 2), B = (5, 6). מבקשים את אמצע AB. איזה סוג תשובה מחפשים?

תרגול מודרך

ניסיון עצמאי

2. ממוצע מוצא ערך באמצע

דוגמה: מהו הערך שבאמצע בין −2 לבין 6?

תרגול מודרך

ניסיון עצמאי

3. מחשבים אמצע בכל ציר בנפרד

דוגמה: מצאו אמצע בין A = (−3, −2) ל־B = (3, 2).

תרגול מודרך

ניסיון עצמאי

4. מוצאים קצה כשידוע האמצע

דוגמה: A = (2, 1) והאמצע M = (5, 4). מצאו B.

תרגול מודרך

ניסיון עצמאי

5. הפרשים מייצרים ניצבים

דוגמה: מהן התזוזות מ־A = (1, 2) ל־B = (4, 6)?

תרגול מודרך

ניסיון עצמאי

6. מפיתגורס לנוסחת המרחק

דוגמה: מצאו מרחק בין (1, 2) לבין (4, 6).

תרגול מודרך

ניסיון עצמאי

7. סימן התזוזה אינו סימן המרחק

דוגמה: חשבו מרחק בין (4, 5) לבין (1, 1).

תרגול מודרך

ניסיון עצמאי

8. שיפוע אינו אורך

דוגמה: מצאו שיפוע בין (1, 2) לבין (3, 6).

תרגול מודרך

ניסיון עצמאי

9. משוואת ישר זקוקה לשיפוע ולנקודה

דוגמה: ישר בשיפוע 1 עובר ב־(1, 2). מצאו את משוואתו.

תרגול מודרך

ניסיון עצמאי

10. שתי נקודות קובעות שיפוע ומיקום

דוגמה: מצאו ישר דרך (1, 2) ו־(5, 6).

תרגול מודרך

ניסיון עצמאי

11. שיפועים שווים נותנים אותו כיוון

דוגמה: מצאו ישר המקביל ל־y = 2x + 1 ועובר ב־(0, 4).

תרגול מודרך

ניסיון עצמאי

12. שיפוע מאונך הוא הופכי ונגדי

דוגמה: מצאו שיפוע המאונך לשיפוע 2.

תרגול מודרך

ניסיון עצמאי

13. ישרים אופקיים ואנכיים

דוגמה: הסבירו מדוע x = 3 מאונך ל־y = 2.

תרגול מודרך

ניסיון עצמאי

14. בודקים שהחישוב מתאים לצורה

דוגמה: נטען שאמצע הקטע בין (2, 2) לבין (6, 8) הוא (8, 10). בדקו.

תרגול מודרך

ניסיון עצמאי

דוגמה מסכמת

תרגול מסכם

שאלה 1

שאלה 2

שאלה 3

שאלה 4

שאלה 5

שאלה 6

שאלה 7

שאלה 8

בדיקה עצמית

דוגמה: נתונות $A = (1, 2), B = (5, 6) .$ מבקשים את אמצע AB. איזה סוג תשובה מחפשים?

דוגמה: מצאו אמצע בין $A = (- 3, - 2)$ ל־B = (3, 2).