קליק · מתמטיקה
מנסרה וגליל: נפח ושטח פנים
מנסרה ישרה וגליל ישר: בסיס, גובה, נפח, פריסה, שטח פנים וקיבולת.
https://klikedu.app/learn/prisms-cylinders1. שני בסיסים וגובה מאונך
למנסרה שני בסיסים מצולעים חופפים ומקבילים. בגליל ישר הבסיסים הם עיגולים חופפים ומקבילים. גובה הגוף הוא המרחק המאונך בין מישורי הבסיסים. במנסרה ישרה המקצועות המחברים קודקודים מתאימים של הבסיסים מאונכים לבסיסים. אין לבלבל בין גובה משולש הבסיס לבין גובה הגוף.
דוגמה: במנסרה ישרה בסיס משולש שצלעו 6 ס״מ והגובה לצלע זו 4 ס״מ. המרחק בין בסיסי המנסרה 10 ס״מ. מהם שטח הבסיס וגובה הגוף?
- שטח משולש הבסיס B = 6 × = 12 סמ״ר.
- גובה הגוף H = 10 ס״מ: זה המרחק בין שני המשולשים.
- 4 ס״מ משמש לחישוב שטח המשולש, ואינו גובה המנסרה.
התרשים מתייחס לנתוני הדוגמה הפתורה; משתמשים בנתונים הכתובים ולא מודדים את התמונה.
תרגול מודרך
בסיס מנסרה הוא משולש שצלעו 8 ס״מ וגובהו לצלע זו 3 ס״מ. מה שטח הבסיס?
- 24 סמ״ר
- 12 סמ״ר
- 11 סמ״ר
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
בגליל ישר רדיוס הבסיס 2 ס״מ והמרחק בין בסיסיו 7 ס״מ. מה גובהו?
- 2 ס״מ
- 4 ס״מ
- 7 ס״מ
תשובה: __________________________________________________
2. נפח מנסרה: שכבות של בסיס
נפח מודד את המקום שתופס גוף. במנסרה V = B × H: שטח בסיס כפול גובה הגוף. אם B בסמ״ר ו־H בס״מ, הנפח בסמ״ק. נוסחת הנפח אינה דורשת שסוג הבסיס יהיה מלבן; היא מתאימה גם לבסיס משולש.
דוגמה: מנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר זווית עם ניצבים 3 ו־4 ס״מ. גובה המנסרה 9 ס״מ. מה הנפח?
- במשולש ישר זווית הניצבים מאונכים, לכן B = 3 × = 6 סמ״ר.
- V = B × H = 6 × 9 = 54 סמ״ק.
- החלוקה ב־2 שייכת לשטח המשולש; אין לחלק שוב את הנפח ב־2.
תרגול מודרך
שטח בסיס מנסרה 15 סמ״ר וגובהה 8 ס״מ. מה נפחה?
- 120 סמ״ק
- 60 סמ״ק
- 23 סמ״ק
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
מנסרה בעלת בסיס משולש שניצביו 5 ו־6 ס״מ, וגובה הגוף 4 ס״מ. מה נפחה?
- 120 סמ״ק
- 60 סמ״ק
- 30 סמ״ק
תשובה: __________________________________________________
3. נפח גליל: שטח עיגול כפול גובה
בגליל ישר שטח הבסיס B = πr². לכן נפח הגליל V = πr²H. אם נתון קוטר, מחלקים ב־2 לפני חישוב השטח. אין להכפיל בהיקף: היקף כפול גובה נותן שטח מעטפת, לא נפח.
דוגמה: קוטר גליל 6 ס״מ וגובהו 5 ס״מ. מה נפחו?
- הרדיוס r = = 3 ס״מ.
- שטח הבסיס B = π × 3² = 9π סמ״ר.
- V = 9π × 5 = 45π סמ״ק.
תרגול מודרך
רדיוס גליל 2 ס״מ וגובהו 7 ס״מ. מה נפחו?
- 14π סמ״ק
- 28π סמ״ק
- 56π סמ״ק
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
קוטר גליל 10 ס״מ וגובהו 2 ס״מ. מה נפחו?
- 50π סמ״ק
- 200π סמ״ק
- 20π סמ״ק
תשובה: __________________________________________________
4. פריסת גליל: מלבן ושני עיגולים
כאשר פורסים את מעטפת הגליל הישר מתקבל מלבן. צלע אחת שלו היא גובה הגליל H והשנייה היא היקף הבסיס 2πr. לכן שטח המעטפת M = 2πrH. שטח פנים של גליל סגור כולל גם שני בסיסים: S = 2πrH + 2πr².
דוגמה: לגליל סגור רדיוס 3 ס״מ וגובה 4 ס״מ. חשבו מעטפת ושטח פנים.
- מלבן המעטפת במידות 6π על 4 ס״מ.
- שטח המעטפת 6π × 4 = 24π סמ״ר.
- שני בסיסים מוסיפים 2 × 9π = 18π סמ״ר.
- שטח הפנים הכולל 24π + 18π = 42π סמ״ר.
התרשים מתייחס לנתוני הדוגמה הפתורה; משתמשים בנתונים הכתובים ולא מודדים את התמונה.
תרגול מודרך
רדיוס גליל 2 ס״מ וגובהו 5 ס״מ. מה שטח המעטפת?
- 10π סמ״ר
- 20π סמ״ר
- 28π סמ״ר
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
מה שטח הפנים של אותו גליל סגור, ברדיוס 2 ובגובה 5 ס״מ?
- 28π סמ״ר
- 20π סמ״ר
- 24π סמ״ר
תשובה: __________________________________________________
5. סמ״ק, מ״ק וליטר
נפח נמדד ביחידות מעוקבות. 1 ליטר = 1000 סמ״ק, ו־1 סמ״ק = 1 מ״ל. מאחר ש־1 מ׳ = 100 ס״מ, מתקיים 1 מ״ק = 100³ = 1,000,000 סמ״ק = 1000 ליטר. לפני חישוב מאחדים את יחידות האורך.
דוגמה: תיבה פנימית במידות 20 ס״מ על 10 ס״מ על 15 ס״מ. כמה ליטרים היא מכילה?
- V = 20 × 10 × 15 = 3000 סמ״ק.
- כל 1000 סמ״ק הם ליטר, לכן = 3 ליטר.
- אין לחלק ב־100: יחס יחידות נפח שונה מיחס יחידות אורך.
תרגול מודרך
נפח כלי 2500 סמ״ק. כמה ליטרים הם?
- 25 ליטר
- 2.5 ליטר
- 0.25 ליטר
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
נפח מיכל 0.4 מ״ק. כמה ליטרים הם?
- 4 ליטר
- 40 ליטר
- 400 ליטר
תשובה: __________________________________________________
דוגמה מסכמת
במנסרה ישרה בסיס משולש שצלעו 6 ס״מ והגובה לצלע זו 4 ס״מ. המרחק בין בסיסי המנסרה 10 ס״מ. מהם שטח הבסיס וגובה הגוף?
- שטח משולש הבסיס B = 6 × = 12 סמ״ר.
- גובה הגוף H = 10 ס״מ: זה המרחק בין שני המשולשים.
- 4 ס״מ משמש לחישוב שטח המשולש, ואינו גובה המנסרה.
תרגול מסכם
שאלה 1
במנסרה שטח הבסיס 12 סמ״ר והגובה 7 ס״מ. מה הנפח בסמ״ק? כתבו מספר בלבד.
________________________________________________________
שאלה 2
רדיוס גליל 3 ס״מ וגובהו 5 ס״מ. נפחו aπ סמ״ק. מה a?
________________________________________________________
שאלה 3
במנסרה ישרה היקף הבסיס 12 ס״מ, שטח הבסיס 6 סמ״ר והגובה 4 ס״מ. מה שטח הפנים בסמ״ר? כתבו מספר בלבד.
________________________________________________________
שאלה 4
כלי גלילי פתוח מלמעלה ברדיוס 2 ס״מ ובגובה 5 ס״מ. שטח דופנו ותחתיתו, ללא עובי, הוא aπ סמ״ר. מה a?
________________________________________________________
שאלה 5
נפח מנסרה 90 סמ״ק ושטח בסיסה 15 סמ״ר. מה גובהה בס״מ? כתבו מספר בלבד.
________________________________________________________
שאלה 6
קיבולת מיכל 2500 סמ״ק. כמה ליטרים הם? כתבו מספר בלבד.
________________________________________________________
בדיקה עצמית
האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.