קליק · מתמטיקה

שטחים והיקפים — בוחרים נוסחה נכונה

מבחינים בין אורך לשטח ומחשבים מלבן, משולש, מקבילית וטרפז.

https://klikedu.app/learn/areas-perimeters

1. מה מודדים: גבול או פנים?

היקף מודד את אורך הגבול סביב הצורה, כמו גדר מסביב לגינה. שטח מודד את המשטח שבתוכה, כמו כמות הדשא לכיסוי הגינה. לכן היקף נמדד ביחידות אורך ושטח ביחידות ריבועיות. קודם מזהים מה השאלה מבקשת למדוד.

דוגמה: רוצים להקיף גינה בגדר ולכסות את פניה בדשא. איזה גודל מתאים לכל משימה?

  1. אורך הגדר הוא מסלול מסביב לגינה, ולכן צריך היקף.
  2. הדשא מכסה את פנים הגינה, ולכן צריך שטח.
  3. מטרים מתאימים לגדר ומטרים רבועים לדשא.

תרגול מודרך

באילו יחידות נכון לכתוב שטח?

  • ס״מ
  • סמ״ר
  • מעלות

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

כדי לחשב אורך סרט סביב תמונה, מה צריך?

  • שטח
  • גובה בלבד
  • היקף

תשובה: __________________________________________________

2. שטח מלבן מספירת ריבועים

מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות. אפשר לכסות אותו בשורות של ריבועי יחידה: אם בכל שורה a ריבועים ויש b שורות, יש בסך הכול a × b ריבועים. לכן שטחו הוא מכפלת שתי צלעות סמוכות, לאחר התאמת יחידות.

ab
מלבן: S = a × b. השטח בפנים; ההיקף הוא ארבע הצלעות.

דוגמה: אורך מלבן 6 ס״מ ורוחבו 4 ס״מ. מה שטחו?

  1. בכל שורה נכנסים 6 ריבועים של סמ״ר אחד.
  2. יש 4 שורות, ולכן S = 6 × 4 = 24.
  3. השטח הוא 24 סמ״ר.
  4. בכיוון ההפוך, נניח ששטח מלבן הוא 35 סמ״ר וצלע אחת 7 ס״מ. מחפשים במה לכפול 7 כדי לקבל 35: הצלע החסרה היא = 5 ס״מ. בדיקה: 7 × 5 = 35 סמ״ר.

תרגול מודרך

מלבן בגודל 5 על 3 ס״מ. מה שטחו?

  • 15 סמ״ר
  • 16 ס״מ
  • 8 סמ״ר

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

שטח מלבן 28 סמ״ר וצלע אחת 7 ס״מ. מה הצלע הסמוכה?

  • 21 ס״מ
  • 4 ס״מ
  • 14 ס״מ

תשובה: __________________________________________________

3. היקף מלבן סופר ארבע צלעות

במלבן הצלעות הנגדיות שוות. כשמקיפים אותו, פוגשים שתי צלעות באורך a ושתי צלעות באורך b. לכן P = 2a + 2b. אין לכפול רק a × b: המכפלה מודדת שטח, בעוד ההיקף מתקבל מחיבור אורכי הגבול.

ab
מלבן: S = a × b. השטח בפנים; ההיקף הוא ארבע הצלעות.

דוגמה: מלבן בגודל 6 על 4 ס״מ. מצאו היקף.

  1. עוברים סביב ארבע הצלעות: 6, 4, 6, 4.
  2. P = 6 + 4 + 6 + 4 = 20.
  3. ההיקף הוא 20 ס״מ.

תרגול מודרך

מלבן בגודל 8 על 2 ס״מ. מה היקפו?

  • 16 סמ״ר
  • 10 ס״מ
  • 20 ס״מ

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

ריבוע, שהוא מלבן שכל צלעותיו שוות, בעל צלע 5 ס״מ. מה היקפו?

  • 20 ס״מ
  • 25 סמ״ר
  • 10 ס״מ

תשובה: __________________________________________________

4. אותו היקף אינו מבטיח אותו שטח

היקף ושטח מתארים דברים שונים, ולכן ידיעת אחד מהם אינה קובעת תמיד את האחר. מלבן ארוך וצר וריבוע יכולים להשתמש באותו אורך גבול, אבל להכיל משטחים שונים. כדי להשוות צריך לחשב כל גודל לפי משמעותו ולא להעתיק מסקנה מההיקף לשטח.

דוגמה: השוו מלבן 6 על 2 וריבוע 4 על 4, בסנטימטרים.

  1. היקף המלבן: 2 × 6 + 2 × 2 = 16 ס״מ; שטחו 12 סמ״ר.
  2. היקף הריבוע: 4 × 4 = 16 ס״מ; שטחו 16 סמ״ר.
  3. ההיקפים שווים, אך השטחים שונים.

תרגול מודרך

לשתי צורות אותו היקף. מה אפשר לקבוע על שטחיהן בלי מידע נוסף?

  • השטחים בהכרח שווים
  • השטחים אינם בהכרח שווים
  • השטח הגדול תמיד כפול

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מלבן 7 על 1 וריבוע 4 על 4 הם בהיקף 16. למי שטח גדול יותר?

  • למלבן
  • שטחיהם שווים
  • לריבוע

תשובה: __________________________________________________

5. גובה הוא מרחק מאונך

גובה מתאים לבסיס רק אם הוא מאונך לו, כלומר יוצר זווית של 90°. במשולש הוא יוצא מהקודקוד שמול הבסיס, ויכול לפגוש גם את המשכו. צלע אלכסונית אינה גובה באופן אוטומטי; מחפשים סימון זווית ישרה או נתון מפורש.

דוגמה: לבסיס משולש שאורכו 10 ס״מ מתאים גובה 4 ס״מ. צלע נטויה באורך 6 ס״מ. באיזה אורך משתמשים כגובה?

  1. הנתון מזהה את 4 כגובה המאונך לבסיס.
  2. הצלע הנטויה 6 אינה מתוארת כמאונכת.
  3. לכן משתמשים ב־4, ולא ב־6.

תרגול מודרך

איזה סימון מזהה גובה מתאים לבסיס?

  • שני סימוני שוויון
  • סימון זווית ישרה במפגש
  • קשת ליד כל קודקוד

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

קטע מקודקוד מאונך להמשך הצלע שמולו. האם הוא יכול להיות גובה?

  • לא, כי הוא מחוץ למשולש
  • רק אם הוא חוצה את הצלע
  • כן, ההמשך מותר בהגדרה

תשובה: __________________________________________________

6. משולש הוא חצי ממקבילית מתאימה

מקבילית היא מרובע ששני זוגות הצלעות הנגדיות שלו מקבילים. אפשר לחתוך ולהעביר חלקים שלה כדי ליצור מלבן בעל אותו בסיס ואותו גובה, בלי להוסיף או לגרוע שטח. לכן שטח המקבילית הוא בסיס כפול גובה. שני משולשים חופפים יכולים להרכיב מקבילית בעלת אותו בסיס וגובה. לכן שטח המשולש הוא מחצית מכפלת הבסיס בגובה המאונך לו: S = a × . המכפלה לפני החלוקה מתארת את המקבילית השלמה, ולא את המשולש לבדו.

ah
משולש: S = a × . הגובה h מאונך לבסיס a.

דוגמה: בסיס משולש 10 ס״מ והגובה אליו 6 ס״מ. מצאו שטח.

  1. מכפלת הבסיס והגובה היא 10 × 6 = 60.
  2. המשולש תופס מחצית, ולכן S = = 30.
  3. השטח 30 סמ״ר.
  4. בכיוון ההפוך, נניח ששטח משולש הוא 24 סמ״ר ובסיסו 8 ס״מ. הגובה h מקיים 24 = .
  5. מבטלים את החלוקה ב־2 בכפל שני האגפים ב־2: 48 = 8h. מחלקים ב־8: h = 6 ס״מ. בדיקה: 8 × = 24 סמ״ר.

תרגול מודרך

בסיס משולש 8 ס״מ וגובה מתאים 3 ס״מ. מה שטחו?

  • 12 סמ״ר
  • 24 סמ״ר
  • 11 ס״מ

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

שטח משולש 20 סמ״ר והבסיס 5 ס״מ. מה הגובה אליו?

  • 4 ס״מ
  • 8 ס״מ
  • 10 ס״מ

תשובה: __________________________________________________

7. מקבילית שומרת על בסיס וגובה

מקבילית היא מרובע ששני זוגות הצלעות הנגדיות שלו מקבילים. אם מעבירים משולש קטן מקצה אחד לשני, מתקבל מלבן בעל אותו בסיס ואותו גובה, בלי שינוי שטח. לכן S = a × h; הצלע המשופעת אינה מחליפה את הגובה המאונך.

ah
מקבילית: S = a × h. הגובה h אינו הצלע המשופעת.

דוגמה: במקבילית בסיס 7 ס״מ, גובה 4 ס״מ וצלע משופעת 5 ס״מ. מצאו שטח.

  1. הגובה המאונך לבסיס הוא 4, ולא 5.
  2. S = 7 × 4 = 28 סמ״ר.

תרגול מודרך

בסיס מקבילית 9 ס״מ וגובה אליו 3 ס״מ. מה שטחה?

  • 13.5 סמ״ר
  • 12 ס״מ
  • 27 סמ״ר

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

במקבילית בסיס 8, צלע משופעת 6 וגובה לבסיס 5 ס״מ. מה השטח?

  • 40 סמ״ר
  • 48 סמ״ר
  • 20 סמ״ר

תשובה: __________________________________________________

8. מזהים את בסיסי הטרפז

ביחידה זו טרפז הוא מרובע בעל זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות. שתי הצלעות המקבילות נקראות בסיסים, גם אם אחת מצוירת למעלה ואחת למטה. הגובה הוא המרחק המאונך בין הישרים שעליהם הבסיסים, ולא אחת השוקיים הנטויות.

bha
טרפז: a ∥ b. השטח הוא (a + b) × .

דוגמה: בטרפז ABCD נתון AB ∥ CD בלבד. מה הבסיסים?

  1. הבסיסים הם זוג הצלעות המקבילות.
  2. לכן AB ו־CD הם הבסיסים.
  3. גובה צריך להיות מאונך לשניהם, משום שהם מקבילים.

תרגול מודרך

בטרפז PQRS נתון PQ ∥ RS בלבד. מה הבסיסים?

  • PS ו־QR
  • PQ ו־RS
  • PQ ו־QR

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

בטרפז הבסיסים אופקיים. איזה קטע מתאים לגובה?

  • שוק נטויה כלשהי
  • האלכסון הארוך
  • קטע אנכי בין הישרים שעליהם הבסיסים

תשובה: __________________________________________________

9. שטח טרפז משתמש בשני הבסיסים

אפשר לחבר שני עותקים של טרפז למקבילית שבסיסה סכום בסיסי הטרפז וגובהה אותו גובה. לכן שטח עותק אחד הוא S = (a + b) × . מחברים קודם את שני הבסיסים, מכפילים בגובה ורק אז מחלקים בשתיים.

bha
טרפז: a ∥ b. השטח הוא (a + b) × .

דוגמה: בסיסי טרפז הם 6 ו־10 ס״מ וגובהו 4 ס״מ. מה שטחו?

  1. סכום הבסיסים: 6 + 10 = 16.
  2. S = 16 × = 32.
  3. השטח הוא 32 סמ״ר.

תרגול מודרך

בסיסי טרפז 4 ו־8 ס״מ וגובהו 3 ס״מ. מה השטח?

  • 18 סמ״ר
  • 36 סמ״ר
  • 24 סמ״ר

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

בסיסי טרפז 5 ו־9 ס״מ, גובהו 6 וצלע נטויה 7 ס״מ. מה השטח?

  • 49 סמ״ר
  • 42 סמ״ר
  • 84 סמ״ר

תשובה: __________________________________________________

10. מחברים חלקים בלי חפיפה

צורה מורכבת אפשר לפרק למלבנים או למשולשים שאת שטחיהם יודעים לחשב. כדי שסכום השטחים יתאר את הצורה כולה, החלקים צריכים לכסות אותה בלי חורים ובלי חפיפה. קו העזר הוא דרך לארגון החישוב, ואינו מוסיף שטח משלו.

דוגמה: צורה מורכבת משני מלבנים שאינם חופפים, בגודל 4 על 3 ו־2 על 5 ס״מ. מה שטחה?

  1. שטח המלבן הראשון 4 × 3 = 12 סמ״ר.
  2. שטח השני 2 × 5 = 10 סמ״ר.
  3. אין חפיפה, ולכן השטח הכולל 12 + 10 = 22 סמ״ר.

תרגול מודרך

צורה מחולקת ללא חפיפה לחלקים בשטחים 15 ו־8 סמ״ר. מה שטחה?

  • 7 סמ״ר
  • 120 סמ״ר
  • 23 סמ״ר

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

שני חלקים שמחברים את שטחיהם חופפים באזור קטן. מה הבעיה?

  • אזור החפיפה נספר פעמיים
  • אזור החפיפה אינו נספר כלל
  • אין בעיה בכל מקרה

תשובה: __________________________________________________

11. לפעמים קל להחסיר חלק חסר

כשצורה מתקבלת ממשטח גדול לאחר הוצאת חלק, אפשר לחשב את השלם ולהחסיר את החלק שהוסר. החלק החסר חייב להיות בתוך השלם, והיחידות חייבות להיות זהות. זהו חישוב שטח; הוא אינו אומר שאפשר להחסיר באותה דרך גם היקפים.

S₁S₂
משטח מלא מחסירים את המלבן המקווקו. סופרים בהיקף רק את הגבול החיצוני של הצורה שנותרה.

דוגמה: ממלבן 10 על 6 ס״מ מסירים מלבן 3 על 2 ס״מ. מה השטח שנותר?

  1. שטח המשטח המלא: 10 × 6 = 60 סמ״ר.
  2. שטח החלק שהוסר: 3 × 2 = 6 סמ״ר.
  3. השטח שנותר: 60 − 6 = 54 סמ״ר.

תרגול מודרך

ממלבן ששטחו 40 סמ״ר הוסר חלק בשטח 6 סמ״ר. מה נותר?

  • 46 סמ״ר
  • 34 סמ״ר
  • 240 סמ״ר

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

ממלבן 8 על 5 ס״מ מסירים מלבן 2 על 3 ס״מ. מה השטח שנותר?

  • 11 סמ״ר
  • 46 סמ״ר
  • 34 סמ״ר

תשובה: __________________________________________________

12. בהיקף סופרים רק את הגבול

כשמחלקים צורה בקווי עזר לצורך שטח, הקווים הפנימיים אינם חלק מההיקף. בהיקף עוקבים אחרי הגבול החיצוני פעם אחת ומחברים רק את אורכיו. אחרי חיתוך צורה הגבול יכול להשתנות, ולכן אי אפשר פשוט להחסיר את היקף החלק שהוסר מהיקף השלם.

דוגמה: מלבן 6 על 4 ס״מ חולק בקו פנימי לשני מלבנים. מה היקף הצורה השלמה?

  1. הגבול החיצוני לא השתנה בעקבות ציור קו העזר.
  2. מחברים רק 6 + 4 + 6 + 4.
  3. ההיקף נשאר 20 ס״מ.

תרגול מודרך

בצורה מורכבת מסומן קו עזר פנימי באורך 5. האם מוסיפים אותו להיקף הצורה?

  • לא, הוא אינו על הגבול החיצוני
  • כן, מוסיפים פעם אחת
  • כן, מוסיפים פעמיים

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

אורכי ששת קטעי הגבול החיצוני הם 8, 3, 2, 2, 6, 5 ס״מ. מה ההיקף?

  • 13 ס״מ
  • 26 ס״מ
  • 48 סמ״ר

תשובה: __________________________________________________

13. אורך חסר מתקבל מהשלם

בצורה מורכבת לא תמיד כתובים כל אורכי הגבול. אם קטע ישר שלם מחולק לחלקים, סכום החלקים שווה לאורך השלם. אפשר להחסיר את החלקים הידועים ולמצוא את החסר. יש להשוות קטעים באותו כיוון, ולא לחסר אורך אופקי מאנכי.

דוגמה: קטע אופקי באורך 10 ס״מ מחולק לשני חלקים. אחד באורך 6. מה השני?

  1. נסמן את החלק החסר x. מתקיים 6 + x = 10.
  2. מחסרים 6: x = 4 ס״מ.
  3. בדיקה: 6 + 4 = 10.

תרגול מודרך

קטע באורך 12 מחולק לחלקים 5 ו־x. מהו x?

  • 17
  • 6
  • 7

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

גובה כולל של צורה הוא 9 ס״מ והוא מורכב משני קטעים אנכיים, 4 ו־x. מהו x?

  • 5 ס״מ
  • 13 ס״מ
  • 4.5 ס״מ

תשובה: __________________________________________________

14. מתאימים יחידות אורך לפני חישוב

לפני כפל או חיבור אורכים, צריך להביע אותם באותה יחידה. מטר אחד הוא 100 סנטימטרים. אפשר להמיר מטרים לסנטימטרים או להפך, אבל אסור להכפיל מספר במטרים במספר בסנטימטרים ולכתוב כאילו שניהם כבר באותה יחידה.

דוגמה: מלבן באורך 2 מטרים וברוחב 50 ס״מ. מצאו שטח בסמ״ר.

  1. ממירים את האורך: 2 מטרים = 200 ס״מ.
  2. עכשיו שתי המידות בסנטימטרים.
  3. S = 200 × 50 = 10,000 סמ״ר.

תרגול מודרך

כמה סנטימטרים הם 3 מטרים?

  • 30
  • 300
  • 3,000

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מלבן באורך מטר אחד וברוחב 20 ס״מ. מה היקפו בסנטימטרים?

  • 42 ס״מ
  • 2,000 ס״מ
  • 240 ס״מ

תשובה: __________________________________________________

15. בהמרת שטח שני כיוונים משתנים

מטר רבוע הוא ריבוע של מטר על מטר. כל צד שלו שווה ל־100 ס״מ, ולכן שטחו 100 × 100 = 10,000 סמ״ר. מקדם ההמרה מוכפל בעצמו כי השטח משלב שני אורכים. אין להמיר מטר רבוע למאה סמ״ר בלבד.

1 m1 m
ריבוע של 1 m × 1 m הוא גם 100 cm × 100 cm. שטחו 10,000 cm².

דוגמה: המירו 2 מ״ר לסמ״ר.

  1. מטר רבוע אחד הוא 10,000 סמ״ר.
  2. לכן 2 מ״ר הם 2 × 10,000 = 20,000 סמ״ר.

תרגול מודרך

כמה סמ״ר יש ב־1 מ״ר?

  • 10,000
  • 100
  • 1,000

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

כמה מטרים רבועים הם 30,000 סמ״ר?

  • 300
  • 3
  • 30

תשובה: __________________________________________________

דוגמה מסכמת

לטרפז בסיסים 6 ו־10 ס״מ וגובה 4 ס״מ. מה שטחו?

  1. מזהים את הבסיסים המקבילים: 6 ו־10.
  2. מחברים: 6 + 10 = 16.
  3. כופלים בגובה ומחלקים ב־2: 16 × = 32.
  4. התשובה היא 32 סמ״ר, ולא 32 ס״מ.

תרגול מסכם

שאלה 1

מלבן באורך 8 וברוחב 3 ס״מ. מה שטחו בסמ״ר?

________________________________________________________

שאלה 2

מלבן באורך 8 וברוחב 3 ס״מ. מה היקפו בס״מ?

________________________________________________________

שאלה 3

משולש שבסיסו 12 וגובהו 5. מה שטחו?

________________________________________________________

שאלה 4

לטרפז בסיסים 4 ו־8 וגובה 3. מה שטחו?

________________________________________________________

שאלה 5

למלבן צלעות 7 ו־4. מה ההיקף?

________________________________________________________

שאלה 6

למקבילית בסיס 9 וגובה מתאים 6. מה השטח?

________________________________________________________

שאלה 7

בסיסי טרפז 5 ו־11 וגובהו 4. מה השטח?

________________________________________________________

שאלה 8

ממלבן 10 על 8 הוסר מלבן 3 על 4. מה השטח שנשאר?

________________________________________________________

בדיקה עצמית

האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.