קליק · מתמטיקה

כפל מקוצר ופירוק: נוסחאות ומכפלה אפס

מפתחים ריבוע של סכום והפרש, מזהים הפרש ריבועים ומשלבים גורם משותף. בסיום משתמשים במכפלה אפס במשוואות שכבר אפשר לפרק.

https://klikedu.app/learn/algebraic-identities

1. ריבוע של סכום כולל אמצע

ריבוע של סוגריים פירושו כפל של הסוגריים בעצמם. ארבע המכפלות כוללות שתי מכפלות מעורבות שוות, ולכן מתקבל גם איבר אמצעי. כך מתקבלת הנוסחה (a + b)² = a² + 2ab + b², ולא רק סכום הריבועים.

דוגמה: פתחו (x + 3)².

  1. כותבים (x + 3)(x + 3).
  2. מפלגים: x² + 3x + 3x + 9.
  3. מכנסים: x² + 6x + 9.

תרגול מודרך

מה שווה ל־(x + 2)²?

  • x² + 4
  • x² + 2x + 4
  • x² + 4x + 4

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

פתחו (2x + 1)².

  • 4x² + 4x + 1
  • 4x² + 1
  • 4x² + 2x + 1

תשובה: __________________________________________________

2. בריבוע של הפרש האחרון חיובי

גם ריבוע של הפרש הוא כפל הסוגריים בעצמם. שתי המכפלות המעורבות שליליות, אבל מכפלת שני האיברים השליליים חיובית. לכן (a − b)² = a² − 2ab + b². המינוס משנה את האמצע, ולא את סימן הריבוע האחרון.

דוגמה: פתחו (x − 4)².

  1. כותבים (x − 4)(x − 4).
  2. מפלגים: x² − 4x − 4x + 16.
  3. מכנסים: x² − 8x + 16.

תרגול מודרך

מה שווה ל־(x − 2)²?

  • x² − 4
  • x² − 4x + 4
  • x² − 4x − 4

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

פתחו (3x − 1)².

  • 9x² − 1
  • 9x² − 3x + 1
  • 9x² − 6x + 1

תשובה: __________________________________________________

3. סכום כפול הפרש מבטל את האמצע

כאשר כופלים סכום והפרש של אותם שני איברים, המכפלות המעורבות נגדיות ומבטלות זו את זו. נשאר הפרש של שני ריבועים. אפשר לקרוא את השוויון בשני הכיוונים: לפתח מכפלה או לפרק a² − b² לשני גורמים.

דוגמה: פרקו x² − 9.

  1. מזהים ש־9 = 3².
  2. לכן x² − 3² = (x − 3)(x + 3).
  3. בבדיקה: x² + 3x − 3x − 9 = x² − 9.

תרגול מודרך

מה הפירוק של x² − 25?

  • (x − 5)(x + 5)
  • (x − 5)²
  • (x − 25)(x + 25)

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

פרקו 4x² − 9.

  • (4x − 3)(4x + 3)
  • (2x − 3)(2x + 3)
  • (2x − 3)²

תשובה: __________________________________________________

4. סכום ריבועים אינו הפרש ריבועים

נוסחה מועילה רק כאשר המבנה שלה מתאים לביטוי. בנוסחת הפרש הריבועים נדרש חיסור בין שני ריבועים. סכום כמו x² + 9 אינו מתאים לאותה נוסחה, וגם אינו ריבוע של x + 3, כי חסר בו האיבר האמצעי.

דוגמה: האם אפשר לכתוב x² + 9 בתור (x − 3)(x + 3)?

  1. פותחים את המכפלה המוצעת: x² + 3x − 3x − 9.
  2. מקבלים x² − 9, ולא x² + 9.
  3. לכן נוסחת הפרש הריבועים אינה מתאימה לסכום הזה.

תרגול מודרך

על איזה ביטוי אפשר להפעיל ישירות הפרש ריבועים?

  • x² + 16
  • x² − 16
  • x² + 8x + 16

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

איזו טענה נכונה על x² + 4?

  • הוא (x + 2)²
  • הוא (x − 2)(x + 2)
  • אף אחד משני הפירוקים האלה אינו שווה לו

תשובה: __________________________________________________

5. גורם משותף לפני הנוסחה

לפעמים פירוק אחד חושף מבנה לפירוק נוסף. מתחילים בגורם המשותף לכל האיברים, ואז בוחנים את הביטוי שנשאר בסוגריים. אם הוא הפרש ריבועים, מפרקים גם אותו ומשאירים את הגורם שכבר הוצאנו בחוץ; הוא עדיין חלק מהמכפלה.

דוגמה: פרקו לגמרי 3x² − 27.

  1. מוציאים 3: מתקבל 3(x² − 9).
  2. בתוך הסוגריים יש x² − 3².
  3. מפרקים: 3(x − 3)(x + 3).
  4. בדיקה: 3(x² − 9) = 3x² − 27.

תרגול מודרך

מה השלב הראשון המתאים בפירוק 2x² − 18?

  • (x − 9)(x + 9)
  • 2(x² − 9)
  • 2(x² − 18)

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

פרקו לגמרי 5x² − 20.

  • 5(x − 2)(x + 2)
  • (5x − 2)(5x + 2)
  • 5(x − 4)(x + 4)

תשובה: __________________________________________________

6. מתי מכפלה שווה לאפס?

אם מכפלה שווה לאפס, לפחות גורם אחד חייב להיות אפס: מכפלת מספרים שכולם שונים מאפס לא יכולה לתת אפס. לכן בודקים כל גורם כאפשרות נפרדת ומחברים את אוסף הפתרונות. אין דרישה ששני הגורמים יהיו אפס באותו זמן.

דוגמה: פתרו (x − 2)(x + 3) = 0.

  1. אפשרות ראשונה: x − 2 = 0, ולכן x = 2.
  2. אפשרות שנייה: x + 3 = 0, ולכן x = −3.
  3. הפתרונות הם 2 או −3; בכל אחד מהם גורם אחד מתאפס.

תרגול מודרך

פתרו (x − 4)(x + 1) = 0.

  • x = 4 בלבד
  • x = −4 או x = 1
  • x = 4 או x = −1

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו x(x − 5) = 0.

  • x = 0 או x = 5
  • x = 5 בלבד
  • x = 0 בלבד

תשובה: __________________________________________________

7. מפרקים כדי לחשוף פתרונות

כאשר משוואה היא סכום ששווה לאפס, כלל המכפלה אינו חל לפני שהסכום נכתב כמכפלה. פירוק לגורמים חושף את הגורמים שיכולים להתאפס. לאחר הפירוק פותרים כל גורם בנפרד, ובודקים שכל ערך שהתקבל מקיים את המשוואה המקורית.

דוגמה: פתרו x² − 4x = 0.

  1. מוציאים גורם x: x(x − 4) = 0.
  2. משווים כל גורם לאפס: x = 0 או x − 4 = 0.
  3. הפתרונות: x = 0 או x = 4.
  4. בדיקה: 0² − 4 × 0 = 0; וגם 4² − 4 × 4 = 0.

תרגול מודרך

פתרו x² − 9 = 0.

  • x = 3 בלבד
  • x = 3 או x = −3
  • x = 9 או x = −9

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו 2x² − 6x = 0.

  • x = 3 בלבד
  • x = 0 או x = 6
  • x = 0 או x = 3

תשובה: __________________________________________________

8. הכלל דורש אפס באגף השני

כלל מכפלה אפס אינו אומר שגורם חייב להיות שווה למספר אחר שמתקבל במכפלה. למשל מכפלה ששווה לשש יכולה להיות שתיים כפול שלוש. לפני שימוש בכלל צריך ליצור משוואה שמכפלה בה שווה לאפס; בלי התנאי הזה המסקנה אינה חוקית.

דוגמה: האם מ־(x − 1)(x + 2) = 4 אפשר להסיק שגורם שווה לאפס?

  1. אם אחד הגורמים היה אפס, המכפלה הייתה אפס.
  2. אבל כאן המכפלה שווה ל־4, ולכן אף גורם אינו אפס.
  3. אי אפשר להשתמש בכלל מכפלה אפס בצורה הנתונה.

תרגול מודרך

באיזו משוואה אפשר מיד לאפס כל גורם כאפשרות?

  • (x − 2)(x + 1) = 0
  • (x − 2)(x + 1) = 5
  • (x − 2) + (x + 1) = 0

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

האם x = 2 פותר (x − 2)(x + 3) = 10?

  • כן, כי גורם אחד אפס
  • לא, כי המכפלה תהיה 0
  • כן, כי 2 + 3 = 5

תשובה: __________________________________________________

דוגמה מסכמת

פרקו לגורמים: 3x² − 27

  1. מוציאים גורם משותף 3: מקבלים 3(x² − 9).
  2. מזהים ש־9 הוא 3². לכן בתוך הסוגריים יש הפרש ריבועים.
  3. מפרקים: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
  4. התוצאה: 3(x − 3)(x + 3).
  5. לבדיקה פותחים את המכפלה וחוזרים לביטוי המקורי.

תרגול מסכם

שאלה 1

השלימו: x² − 25 = (x − 5)(x + ___).

________________________________________________________

שאלה 2

מה המקדם של x בפיתוח של (x + 3)²?

________________________________________________________

שאלה 3

מה המקדם של x בפיתוח (x + 5)²?

________________________________________________________

שאלה 4

השלימו: x² − 49 = (x − 7)(x + ___).

________________________________________________________

שאלה 5

אחד הפתרונות של (x − 4)(x + 2) = 0 הוא 4. מה הפתרון השני?

________________________________________________________

שאלה 6

פתחו (3x − 1)². בחרו את האפשרות הנכונה וכתבו רק את מספרה: 1. 9x² − 1 2. 9x² − 3x + 1 3. 9x² − 6x + 1

________________________________________________________

שאלה 7

פרקו לגמרי 5x² − 20. בחרו את האפשרות הנכונה וכתבו רק את מספרה: 1. 5(x − 2)(x + 2) 2. (5x − 2)(5x + 2) 3. 5(x − 4)(x + 4)

________________________________________________________

שאלה 8

האם x = 2 פותר (x − 2)(x + 3) = 10? בחרו את האפשרות הנכונה וכתבו רק את מספרה: 1. כן, כי גורם אחד אפס 2. לא, כי המכפלה תהיה 0 3. כן, כי 2 + 3 = 5

________________________________________________________

בדיקה עצמית

האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.