אלגברה מהבסיס: ביטויים, הצבה וכינוס

אות יכולה לייצג מספר. קוראים לה משתנה, כי אפשר לבחור לה ערכים שונים בשאלות שונות. בתוך אותה הצבה, כל הופעה של אותה אות מקבלת את אותו ערך. אם נתון ערך, משתמשים בו; אם לא נתון ערך, לא מנחשים. כאן נתחיל בערכים חיוביים קטנים. האות x נקראת ״איקס״; הסימן × מציין כפל. הם נראים דומים, אבל התפקיד שלהם שונה.

בכתיבה אלגברית אפשר להשמיט את סימן הכפל בין מספר לאות: 3x פירושו 3 × x. המספר שמכפיל את האות נקרא מקדם. ב־3x המקדם הוא 3. בכתיבה x לבדה המקדם הוא 1, כי x = 1x. הכתיבה 3x אינה 3 + x, וגם אינה מספר דו־ספרתי. נכתוב קודם את המספר ואחריו את האות, כדי שיהיה קל לקרוא.

ביטוי הוא מספר, אות, או שילוב שלהם בעזרת פעולות. למשל, x + 5 הוא ביטוי: הוא מתאר חישוב. משוואה מציבה סימן שוויון בין שני ביטויים ויש בה אות שערכה צריך לקיים את השוויון. למשל, x + 5 = 9 היא משוואה. הסימן = אומר שלשני הצדדים אותו ערך; הוא אינו סימן שפירושו רק ״עכשיו כותבים תשובה״. בשלב הזה רק מזהים ביטוי או משוואה. פתרון משוואות יילמד ביחידה הבאה. אפשר לעצור כאן ולחזור על שלושת הרעיונות הראשונים.

להציב פירושו להחליף כל הופעה של האות בערך הנתון. נכתוב את המספר שהצבנו בתוך סוגריים כדי לראות בדיוק מה החליף את האות. למשל, אם x = 4, אז 2x + 3 נעשה 2 × (4) + 3. סוגריים סביב מספר אחד שומרים על אותו מספר. אחרי ההחלפה מחשבים כפל לפני חיבור או חיסור. מעתיקים בכל צעד גם את החלק שעוד לא חישבנו. בשלב הזה כל הערכים שמציבים חיוביים, והתוצאות אינן שליליות.

סוגריים יכולים לאסוף כמה חלקים לחישוב אחד. הכתיבה 2(x + 1) פירושה 2 × (x + 1): כפל של כל מה שבתוך הסוגריים ב־2. כשמציבים, שומרים על הסוגריים שהיו בביטוי. מחשבים קודם בתוכם, אחר כך כפל, ולבסוף חיבור או חיסור שמחוץ להם. למשל, אחרי הצבת x = 3 נקבל 2 × (3 + 1). לא צריך לפתוח סוגריים או להשתמש בחוק הפילוג; קודם נמצא את המספר שבתוכם. אפשר לעצור כאן ולתרגל מעט הצבות.

בחיבור של כמה חלקים, כל חלק נקרא איבר. למשל, בביטוי 2x + 3 + 4x יש שלושה איברים. כאן עובדים עם איברים שיש בהם אות אחת, בלי חזקות. איברים דומים הם איברים עם אותה אות, כמו 2x ו־4x. המקדמים שלהם יכולים להיות שונים. 2x ו־2y אינם דומים: האותיות שונות. גם x ו־3 אינם דומים. מספרים בלי אות נקראים איברים חופשיים, ואפשר לחבר אותם זה לזה. אין צורך להציב ערך כדי לזהות איברים דומים.

כינוס איברים דומים הוא כתיבה קצרה יותר של אותו ביטוי. 2x פירושו שתי פעמים x, ו־3x פירושו שלוש פעמים x. יחד אלה חמש פעמים x: לכן 2x + 3x = 5x. מחברים את המקדמים ומשאירים את אותה אות. זוכרים גם את המקדם 1 שלא כתוב: x + x = 2x. איברים עם אותיות שונות נשארים נפרדים. אפשר לכנס גם את המספרים החופשיים בנפרד. הכינוס נכון לכל ערך של האות, בלי לבחור לה ערך מסוים.

גם בחיסור עובדים רק עם איברים דומים. אם יש שבע פעמים x ומחסרים שתיים מהן, נשארות חמש פעמים x: לכן 7x − 2x = 5x. מחסרים את המקדמים לפי הסימן הכתוב. לא הופכים חיסור לחיבור כשמכנסים. כשמחסרים איבר מעצמו מתקבל 0: למשל, x − x = 0. כאן המחסרים קטנים מספיק כדי שהמקדמים והתוצאות לא יהיו שליליים. מקדמים שליליים, כפל בין אותיות וחזקות יילמדו בהמשך. אין צורך לסיים את כל התרגול הנוסף בבת אחת.