דלתון מתקדם — הוכחות, תנאים ויחסי שטחים

ביחידה זו דלתון הוא מרובע קמור ABCD שקודקודיו מסודרים לאורך ההיקף, ובו AB = AD וגם CB = CD. מרובע קמור אינו מתקפל פנימה, והאלכסונים נפגשים בתוכו. אנו כוללים מעוין כמקרה מיוחד של דלתון. AC מחבר את שני הקודקודים שבהם נפגשים זוגות הצלעות השוות; נקרא לו האלכסון הראשי. בהוכחה מותר להתחיל מן הנתונים ומהמשפטים שנלמדו, אך לא מצורת השרטוט. אם מבקשים להוכיח תכונה של הדלתון, נבנה אותה מחפיפה ולא נניח מראש את התוצאה.

כדי להוכיח ש־△ABC חופף ל־△ADC משתמשים בצלע־צלע־צלע: AB = AD ו־BC = DC מהנתון, ו־AC משותפת. ההתאמה היא A ↔ A, B ↔ D, C ↔ C. רק לאחר החפיפה מסיקים שוויון בין זוויות מתאימות. מכאן ∠BAC = ∠CAD, ∠BCA = ∠ACD וגם ∠ABC = ∠ADC. שני השוויונות הראשונים מוכיחים ש־AC חוצה את הזוויות A ו־C.

נסמן O = AC ∩ BD. מן החפיפה הקודמת כבר ידוע ∠BAO = ∠OAD, כי O נמצאת על AC. במשולשים ABO ו־ADO מתקיים AB = AD, הקטע AO משותף והזוויות הכלואות שוות. לכן הם חופפים לפי צלע־זווית־צלע. מכאן BO = DO וגם ∠AOB = ∠AOD. הזוויות האלה צמודות על הישר BD וסכומן 180°, ולכן כל אחת 90°. כך מוכיחים ש־AC הוא האנך האמצעי ל־BD, בלי להשתמש מראש בניצבות שרצינו להוכיח.

המשפט ״בדלתון האלכסון הראשי מאונך לאחר וחוצה אותו״ אינו אומר שניצבות לבדה מספיקה לזיהוי דלתון. לעומת זאת, אם במרובע קמור AC הוא אנך אמצעי ל־BD, אז A ו־C נמצאות על האנך האמצעי ולכן כל אחת שווה־מרחק מ־B ומ־D. אפשר להוכיח זאת בחפיפת המשולשים ישרי הזווית: AO משותפת, BO = DO והזוויות הכלואות ישרות; כך AB = AD. באותה דרך CB = CD. לכן המרובע דלתון.

בדלתון הקמור שלנו מתקיים AO = OC אם ורק אם הדלתון מעוין. ״אם ורק אם״ דורש שתי הוכחות. אם AO = OC, אז המשולשים AOB ו־COB חופפים לפי שתי צלעות והזווית הישרה הכלואה: AO = OC, OB משותפת. לכן AB = CB, ובשילוב זוגות הצלעות השוות של הדלתון כל ארבע הצלעות שוות. בכיוון ההפוך, אם הדלתון מעוין אז AB = CB; ממשפט פיתגורס מתקבל AO²+BO² = CO²+BO², ולכן AO² = CO². מאחר שהאורכים חיוביים, AO = CO.

האלכסון הראשי AC מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים, ולכן שטחיהם שווים. האלכסון האחר BD מחלק למשולשים ABD ו־CBD שלהם בסיס משותף BD, אבל הגבהים לבסיס הם AO ו־CO, ואינם בהכרח שווים. לכן יחס השטחים S(ABD):S(CBD) שווה ל־AO:CO. זהו שימוש בנוסחת שטח משולש, לא טענה על דמיון. באותו אופן S(AOB):S(BOC) = AO:CO, כי לשני המשולשים בסיס OB משותף.

בדלתון קמור O נמצאת בתוך שני האלכסונים. לכן AO ו־CO הם אורכים חיוביים, ו־AC = AO+CO. כשידועים אורכי שני זוגות הצלעות וחצי האלכסון BD, אפשר לחשב כל גובה במשולש ישר זווית בנפרד: AO = √AB²−BO², CO = √CB²−BO². כדי לקבל דלתון קמור לא מנוון מן הבנייה הזאת צריך AB > BO וגם CB > BO. שוויון ייצור גובה אפס ואינו מתאים למרובע הקמור שלנו.

מרובע חסום במעגל הוא מרובע שכל ארבעת קודקודיו נמצאים על אותו מעגל. נשתמש במשפט נוסף: במרובע קמור חסום, סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180°; גם ההפך נכון, אם זוג זוויות נגדיות משלים ל־180°, המרובע חסום. בדלתון הוכחנו ∠B = ∠D. לכן הוא חסום אם ורק אם ∠B = ∠D = 90°. עצם הסימטריה או ניצבות האלכסונים אינן מספיקות. שלב זה משתמש במשפט על מרובע חסום כמשפט נתון; הוא אינו הוכחה של משפט המעגל עצמו.

פתרון מתקדם אינו רק רצף חישובים. לכל שורה יש תפקיד: מזהים את הנתון, בוחרים משפט שמתאים להנחותיו, ואז מסיקים מסקנה. בדלתון נוח לסמן AO = p, CO = q, BO = DO = r, עם p,q,r > 0. מתקבלים AB² = p²+r², BC² = q²+r² ו־AC = p+q. אם p×q = r², אז AB²+BC² = (p+q)² = AC². לפי המשפט ההפוך לפיתגורס, זווית ABC ישרה. מכאן שגם D ישרה, והדלתון חסום. אפשר גם להפוך את כל ההיסק ולקבל: הדלתון חסום אם ורק אם p×q = r². בדיקה עצמית: האם הפרדתי בין נתון למסקנה? האם סדר הקודקודים בחפיפה מתאים? האם נימקתי כל שוויון? האם השתמשתי בתכונה רק אחרי שהוכחה? האם הוספתי בטעות AO = CO או מעגל שלא נתון? האם ציינתי נכון משפט לעומת משפט הפוך?