פונקציה ריבועית ופרבולה

בפונקציה y = x² כל קלט מוכפל בעצמו. לכן קלטים נגדיים נותנים אותו פלט: למשל (−2)² = 2² = 4.

הגרף הוא עקומה הנקראת פרבולה, ולא ישר. כל הפלטים אינם שליליים, והפלט הקטן ביותר הוא 0.

טבלת ערכים מספקת נקודות לבדיקה ולשרטוט, אך הגרף כולל גם את הקלטים שבין המספרים בטבלה.

הקודקוד הוא נקודת המפנה של הפרבולה. ב־y = x² הוא (0, 0), והישר x = 0 הוא ציר הסימטריה.

נקודות שקלטיהן נמצאים במרחק שווה משני צדי הציר הן באותו גובה. ציר הסימטריה הוא ישר אנכי ולכן כותבים x = מספר, ואילו קודקוד הוא נקודה ולכן כותבים שני מספרים.

ב־y = (x − h)² + k הריבוע מתאפס כאשר x = h. לכן הקודקוד הוא (h, k), ציר הסימטריה הוא x = h, והזרועות פונות מעלה.

הוספת מספר מחוץ לריבוע מזיזה את הגרף אנכית; שינוי בתוך הסוגריים מזיז אותו אופקית. עדיף לבדוק מתי הסוגריים מתאפסים במקום לנחש את כיוון ההזזה לפי הסימן.

בחיתוך עם ציר x הגובה הוא 0, ולכן פותרים y = 0. בחיתוך עם ציר y הקלט הוא 0, ולכן מציבים x = 0.

חיוביות פירושה שהגרף מעל ציר x ושליליות שהוא מתחתיו. בנקודות האפס הפונקציה אינה חיובית ואינה שלילית.

פרבולה יכולה לחתוך את ציר x בשתי נקודות, לגעת בו בנקודה אחת או לא לפגוש אותו.

פונקציה יורדת כאשר הגדלת x מקטינה את y, ועולה כאשר הגדלת x מגדילה את y. בפרבולה הפונה מעלה יורדים עד הקודקוד ועולים אחריו.

זאת שאלה אחרת מסימן: גרף יכול להיות מתחת לציר x ובכל זאת לעלות. בתיאור תחומי העלייה והירידה כאן מציינים תחומים פתוחים משני צדי הקודקוד ומזהים בנפרד את נקודת המינימום.

בנקודת מפגש לשני גרפים יש אותו קלט ואותו פלט. לכן משווים את הביטויים של y, פותרים עבור x, ואז מציבים באחד הכללים כדי למצוא y.

תשובה מלאה היא נקודות, לא רק קלטים. יכולים להיות אפס, מפגש אחד או שני מפגשים.

בצורה y = −(x − h)² + k, הסימן השלילי משקף את הפרבולה כלפי מטה: מחסרים מ־k מספר שאינו שלילי. לכן הקודקוד (h, k) הוא נקודת מקסימום.

אפשר לבדוק צורה כזאת באמצעות פתיחת הסוגריים, בלי שיטה חדשה לפתרון. מודל ריבועי מתאר לעיתים שטח כמכפלה של שני אורכים המשתנים יחד.

לפני שמחשבים מפרשים מהו x ואילו ערכים מותרים. אורך חיובי מחייב תחום מתאים; פתרון אלגברי מחוץ לתחום אינו תשובה למצב.

קודקוד של פרבולה הפונה מטה נותן שטח מרבי אם הוא נמצא בתחום המותר.