נתונים, ייצוגים ומדדי מרכז

נתחיל ברשימה לא מסודרת. כל מספר הוא נתון אחד, גם אם הוא חוזר:

10, 8, 8, 9, 8, 8, 9, 10, 7, 6, 6, 7, 10

1. מוצאים את הערכים השונים ומסדרים מהקטן לגדול. בטבלה שלנו: 6, 7, 8, 9, 10. רושמים כל ערך פעם אחת בשורה העליונה.
2. עוברים ברשימה וסופרים כל הופעה. אפשר לסמן קו קטן בכל ספירה, כדי לא לספור פעמיים.
3. בשורת השכיחות רושמים מתחת לכל ערך כמה פעמים הוא מופיע: לערך 6 יש 2 הופעות · לערך 7 יש 2 הופעות · לערך 8 יש 4 הופעות · לערך 9 יש 2 הופעות · לערך 10 יש 3 הופעות.
4. בודקים שסכום השכיחויות שווה למספר הנתונים ברשימה:

2 + 2 + 4 + 2 + 3 = 13

חשוב: 5 ערכים שונים אינם 5 ילדים. יש 13 ילדים, וכל ילד נספר פעם אחת. אם ערך שמופיע בכותרת לא התקבל כלל, שכיחותו 0. ערך 0 שנמדד, לעומת זאת, הוא נתון רגיל שצריך לספור.

שכיחות יחסית היא החלק של ערך מסוים מכל הנתונים: השכיחות שלו חלקי מספר הנתונים הכולל.

שכיחות יחסית = שכיחות ÷ מספר הנתונים

לערך 8 יש 4 הופעות מתוך 13:

4/13

כדי להפוך את החלק לאחוזים, כופלים ב־100:

4/13 × 100 ≈ 30.77%

זה אחוז הילדים עם בדיוק הערך 8, ולא עד 8. מחלקים ב־13, לא ב־5 עמודות הערכים. סכום השכיחויות היחסיות הוא 1, וסכום האחוזים לפני עיגול הוא 100%.

שכיחות מצטברת סופרת כמה נתונים קטנים מהערך או שווים לו. מתחילים בערך הקטן ביותר ומוסיפים בכל עמודה את השכיחות החדשה.

1. עד 6, כולל 6: 2 = 2.
2. עד 7, כולל 7: 2 + 2 = 4.
3. עד 8, כולל 8: 2 + 2 + 4 = 8.
4. עד 9, כולל 9: 2 + 2 + 4 + 2 = 10.
5. עד 10, כולל 10: 2 + 2 + 4 + 2 + 3 = 13.

לדוגמה, עד 8, כולל 8, יש 8 ילדים. כדי לחשב שכיחות מצטברת באחוזים, מחלקים את השכיחות המצטברת ב־13 וכופלים ב־100:

8/13 × 100 ≈ 61.54%

מחשבים מהמספר המצטבר המדויק ולא מחיבור אחוזים שכבר עיגלנו. התא האחרון מגיע תמיד ל־13 נתונים ול־100%. השכיחות המצטברת לעולם אינה יורדת; בעמודה ששכיחותה 0 היא נשארת ללא שינוי.

איך קוראים שאלה מתוך הטבלה?

• בדיוק 8: קוראים את השכיחות הרגילה, 4.
• לכל היותר 8, או עד 8 כולל: קוראים את המצטברת, 8.
• פחות מ־8: קוראים את המצטברת בעמודה הקודמת, 4.
• יותר מ־8: מחסרים את המצטברת ממספר הנתונים: 13 − 8 = 5.
• 8 ומעלה, כולל 8: מחסרים רק את מי שקטן מ־8: 13 − 4 = 9.

כשרוצים אחוז במקום מספר ילדים, מחלקים את התוצאה ב־13 וכופלים ב־100.

השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. ברשימה סופרים הופעות; בטבלה מחפשים את השכיחות הגדולה ביותר וחוזרים לערך שמעליה.

בטבלה שלנו השכיחות הגדולה ביותר היא 4, והיא שייכת לערך 8. לכן השכיח הוא 8. 4 היא השכיחות, ולא התשובה לשאלה ״מה השכיח?״.

ברשימה 2, 3, 3, 5 השכיח הוא 3. ברשימה 2, 2, 5, 5, 7 יש שני שכיחים: 2 ו־5, כי שניהם חולקים את השכיחות הגבוהה ביותר. כשכל הערכים מופיעים באותה שכיחות, אין שכיח יחיד.

קודם מסדרים את כל הנתונים מהקטן לגדול, כולל החזרות. האי־זוגיות או הזוגיות מתייחסות למספר הנתונים, לא לגודל הערכים.

מספר נתונים אי־זוגי: נתון אמצעי אחד

דוגמה: 7, 2, 5, 1, 3. אחרי סידור: 1, 2, 3, 5, 7. יש 5 נתונים.

n = 5 → (n + 1)/2 = (5 + 1)/2 = 3

מחפשים את המקום השלישי. הערך בו הוא 3, ולכן החציון 3. משני צדדיו יש שני נתונים.

מספר נתונים זוגי: ממוצע שני האמצעיים

דוגמה: 8, 2, 6, 4. אחרי סידור: 2, 4, 6, 8. יש 4 נתונים. שני המקומות האמצעיים הם:

n/2 = 2 , n/2 + 1 = 3

הערכים במקומות האלה הם 4 ו־6. מחברים אותם ומחלקים ב־2:

(4 + 6)/2 = 5

החציון הוא 5, אף שאינו מופיע ברשימה. לא עושים ממוצע של מספרי המקומות, ולא של כל הנתונים.

אין צורך לכתוב את כל הנתונים מחדש. מספר הנתונים הוא סכום השכיחויות, לא מספר עמודות הטבלה. משתמשים בשכיחות המצטברת כדי למצוא את הערך במקום האמצעי.

1. מחשבים n = 13.
2. מספר הנתונים אי־זוגי. המקום האמצעי: (13 + 1)/2 = 7.
3. עוברים מהערך הקטן לגדול. לכל מקום מבוקש מחפשים את השכיחות המצטברת הראשונה ששווה לו או גדולה ממנו. קוראים את הערך שבראש העמודה.

• מקום 7 נמצא בטווח 5–8, בעמודת הערך 8.

8

לבדיקה, הרשימה המסודרת היא:

6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10

החליפו למעלה לדוגמת 10 הנתונים כדי לראות שני אמצעיים בעמודות שונות.

המצטברת עוזרת למצוא את המקום; היא אינה החציון. גם כשמשתמשים באחוזים, אין להסתפק בעמודה הראשונה שמגיעה ל־50% במקרה הזוגי: צריך לאתר את שני המקומות האמצעיים.

ברשימה רגילה

מחברים את כל הנתונים, כולל כל חזרה ואפס, ומחלקים במספר הנתונים. לדוגמה:

(2 + 4 + 4 + 6)/4 = 16/4 = 4

יש ארבעה נתונים, גם אם יש רק שלושה ערכים שונים.

בטבלה

כל ערך חוזר כמספר הפעמים שבשכיחות שלו. לכן כופלים כל ערך בשכיחותו, מחברים את המכפלות ומחלקים בסכום השכיחויות.

1. הערך 6 חוזר 2 פעמים, ולכן תרומתו לסכום: 6 × 2 = 12.
2. הערך 7 חוזר 2 פעמים, ולכן תרומתו לסכום: 7 × 2 = 14.
3. הערך 8 חוזר 4 פעמים, ולכן תרומתו לסכום: 8 × 4 = 32.
4. הערך 9 חוזר 2 פעמים, ולכן תרומתו לסכום: 9 × 2 = 18.
5. הערך 10 חוזר 3 פעמים, ולכן תרומתו לסכום: 10 × 3 = 30.

שורת ״ערך × שכיחות״ בטבלה נותנת יחד:

12 + 14 + 32 + 18 + 30 = 106

מחלקים במספר הנתונים הכולל:

106/13 ≈ 8.15

לכן הממוצע הוא 8.15 בקירוב. לא מחלקים ב־5, כי זה רק מספר הערכים השונים. ממוצע אינו חייב להיות מספר שלם או ערך שמופיע בטבלה.

השאלות מציינות לאיזו טבלה הן מתייחסות. אפשר להחליף בין הטבלאות למעלה ולהיעזר בהן. זה תרגול נוסף ללא ציון וללא שינוי ההתקדמות השמורה.