קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים
בעיות מילוליות: מודלים רב־שלביים
בונים מודלים להעברת כמויות, שני סוגי פריטים, תקציב ותערובות. מבחינים בין משוואה לתנאי, בין רכיב לשלם, ובין פתרון מספרי לתשובה אפשרית. מסלול למידה מותאם, לא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.
תרגול והעמקה בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.
יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.
https://klikedu.app/learn/word-problems?target=4לפני שמתחילים
- הגדרת נעלם ויחידות; משוואות קוויות, פתיחת סוגריים והעברת אגפים.
- אחוז כחלק מן השלם: למשל 20% = 0.20. במסלול נזכרים בקשר ריכוז × נפח = כמות רכיב.
- אין צורך בפתרון אי־שוויונים מתקדם: משמעות ≤ וחלוקה במקדם חיובי מוסברות בשלב התקציב.
1. מעבירים בין קבוצות: מה גדל ומה קטן?
בהעברת פריטים מקבוצה אחת לאחרת, אותה כמות נגרעת מקבוצה אחת ונוספת לאחרת. הסכום הכולל נשמר, אבל ההפרש משתנה. בונים תחילה ביטויים למצב ההתחלתי, ואז ביטויים למצב שאחרי ההעברה. מותר לכתוב שוויון בין הקבוצות רק אם נאמר שהן שוות באותו שלב. תחום הנעלם כולל מספרים שלמים שאינם שליליים וגם מספיק פריטים בקבוצה שממנה מעבירים.
דוגמה: במדף התחתון x ספרים ובעליון 2x + 3 ספרים. מעבירים 4 ספרים מהעליון לתחתון, ואז מספר הספרים בשני המדפים שווה. כמה ספרים היו בכל מדף בתחילה?
- x הוא מספר הספרים ההתחלתי בתחתון; בעליון בתחילה 2x + 3. נדרש x שלם ואינו שלילי, ובעליון לפחות 4 ספרים.
- אחרי ההעברה בתחתון x + 4 ובעליון 2x + 3 − 4.
- שוויון הכמויות נותן x + 4 = 2x − 1. בהעברת אגפים ושינוי סימן: 4 + 1 = 2x − x, ולכן x = 5. הפעולות מקצרות חיבור או חיסור של אותה כמות משני האגפים.
- בתחילה היו בתחתון 5 ובעליון 13. אחרי ההעברה יש 9 בכל מדף.
- בדיקה: 5 + 13 = 18 וגם 9 + 9 = 18. היו די ספרים להעברה, וכל הכמויות שלמות.
תרגול מודרך
בקופסה א יש x כדורים ובקופסה ב יש 3x כדורים. מעבירים 6 כדורים מב לקופסה א, ואז הכמויות שוות. כמה כדורים היו בקופסה א בתחילה?
- 12 כדורים
- 6 כדורים
- 3 כדורים
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
במדף א יש x ספרים ובמדף ב יש 2x + 5 ספרים. אחרי שמעבירים 7 ספרים מב לא, הכמויות שוות. כמה ספרים היו במדף ב בתחילה?
- 9 ספרים
- 16 ספרים
- 23 ספרים
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
2. שני סוגי כרטיסים: הכמות השנייה היא ההשלמה
כאשר ידועים מספר הפריטים הכולל והמחירים של שני סוגים, אפשר להשתמש בנעלם אחד. אם נמכרו 20 כרטיסים ו־x מהם מסוג אחד, מספר הכרטיסים מהסוג האחר הוא 20 − x. מכפילים כל כמות במחיר המתאים ורק אז מחברים הכנסות. בתחום יש שתי דרישות: x שלם ו־0 ≤ x ≤ 20. המשוואה הכספית אינה מחליפה את בדיקת מספר הכרטיסים.
דוגמה: נמכרו 20 כרטיסים: כרטיס רגיל עולה 12 ₪ וכרטיס משודרג 18 ₪. ההכנסה הייתה 300 ₪, ללא תשלומים נוספים. כמה כרטיסים מכל סוג נמכרו?
- מגדירים x כמספר הכרטיסים המשודרגים. מספר הרגילים 20 − x, כאשר x שלם ובין 0 ל־20.
- הכנסות המשודרגים הן 18x ₪ והכנסות הרגילים 12(20 − x) ₪.
- משוואת ההכנסה: 18x + 12(20 − x) = 300. פותחים סוגריים ומכנסים: 6x + 240 = 300.
- מעבירים +240 אגף: 6x = 60, ולכן x = 10. נמכרו 10 משודרגים ו־10 רגילים.
- בדיקה: 10 + 10 = 20 וגם 18 × 10 + 12 × 10 = 300. הפתרון בתחום.
תרגול מודרך
נמכרו 18 כרטיסים: כרטיס ילד ב־20 ₪ וכרטיס מבוגר ב־35 ₪. ההכנסה הייתה 510 ₪, ללא תשלומים נוספים. כמה כרטיסי מבוגר נמכרו?
- 10 כרטיסים
- 8 כרטיסים
- 15 כרטיסים
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
נמכרו 15 כרטיסים: רגיל ב־10 ₪ ומשודרג ב־16 ₪. ההכנסה הייתה 192 ₪, ללא תשלומים נוספים. כמה כרטיסים רגילים נמכרו?
- 7 כרטיסים
- 8 כרטיסים
- 12 כרטיסים
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
3. ״לכל היותר״ יוצר תנאי, לא שוויון
״ההוצאה היא בדיוק 100 ₪״ נותן משוואה. ״התקציב הוא לכל היותר 100 ₪״ נותן אי־שוויון: מותר גם להוציא פחות. הסימן ≤ פירושו ״קטן או שווה״. מספר פריטים חייב להיות שלם, ולכן פתרון כמו n ≤ 12.8 אינו מתיר 13 פריטים. כשמבקשים את הכמות המרבית בודקים שהמספר השלם שבחרנו עומד בתקציב, ושהמספר הבא כבר חורג. בעת חלוקה במספר חיובי כיוון האי־שוויון נשמר.
דוגמה: מחברת עולה 7 ₪, ולכל הזמנה יש דמי משלוח קבועים של 10 ₪. התקציב הכולל הוא לכל היותר 100 ₪. מהו מספר המחברות המרבי שאפשר להזמין?
- מגדירים n כמספר המחברות; n שלם ואינו שלילי. ההוצאה הכוללת היא 7n + 10 ₪.
- תנאי התקציב: 7n + 10 ≤ 100. לא נדרש להוציא בדיוק את כל הכסף.
- מעבירים +10 אגף: 7n ≤ 90; מחלקים ב־7 החיובי ומקבלים n ≤ = 12 + .
- המספר השלם המרבי בתחום הוא 12. עלות 12 מחברות ומשלוח היא 84 + 10 = 94 ₪.
- בדיקת המרביות: 13 מחברות ומשלוח עולים 91 + 10 = 101 ₪, מעל התקציב. לכן 12 היא התשובה.
תרגול מודרך
כל מחברת עולה 9 ₪ ודמי המשלוח להזמנה הם 8 ₪. התקציב הכולל הוא לכל היותר 80 ₪. כמה מחברות לכל היותר אפשר להזמין?
- 7 מחברות
- 9 מחברות
- 8 מחברות
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
כל כרטיס עולה 12 ₪, ודמי ההזמנה החד־פעמיים הם 5 ₪. מותר להוציא לכל היותר 100 ₪. מה מספר הכרטיסים המרבי?
- 7 כרטיסים
- 8 כרטיסים
- 9 כרטיסים
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
4. תערובת: שומרים על כמות הרכיב
בתערובת מבחינים בין נפח המשקה כולו לבין נפח התרכיז שבו. ריכוז של 20% לפי נפח פירושו 0.20 ליטר תרכיז בכל ליטר משקה; כמות התרכיז היא הריכוז כפול נפח המשקה. בחיבור שני משקאות מחברים את כמויות התרכיז, ואת סכומן משווים לכמות התרכיז במשקה הסופי. כאן מניחים שהנפחים מתחברים, שאין אובדן חומר ושכל משקה אחיד. אלה הנחות המודל, ואינן נובעות רק מן המילה ״מערבבים״.
דוגמה: מערבבים 2 ליטר משקה בריכוז 20% תרכיז לפי נפח עם x ליטר משקה בריכוז 50%, כדי לקבל ריכוז של 40% לפי נפח. המשקאות אחידים, הנפחים מתחברים ואין אובדן חומר. כמה ליטרים מהמשקה בריכוז 50% יש להוסיף?
- x הוא נפח המשקה שמוסיפים, בליטרים, ולכן x ≥ 0. בתערובת הסופית 2 + x ליטרים.
- במשקה הראשון 0.20 × 2 = 0.4 ליטר תרכיז; במשקה השני 0.50x ליטר תרכיז.
- שימור התרכיז נותן 0.4 + 0.50x = 0.40(2 + x). כל אגף מודד ליטרים של תרכיז.
- פותחים סוגריים ומעבירים אגפים: 0.50x − 0.40x = 0.8 − 0.4. לכן 0.10x = 0.4 ומקבלים x = 4 ליטרים.
- בדיקה: בסך הכול 6 ליטרים ובהם 0.4 + 2 = 2.4 ליטר תרכיז. = 0.40, כלומר 40%.
תרגול מודרך
מערבבים 3 ליטר משקה בריכוז 20% תרכיז לפי נפח עם x ליטר משקה בריכוז 60% כדי לקבל 40%. המשקאות אחידים, הנפחים מתחברים ואין אובדן חומר. מהו x?
- 1.5 ליטר
- 3 ליטרים
- 6 ליטרים
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
מערבבים 4 ליטר משקה בריכוז 25% תרכיז לפי נפח עם x ליטר משקה בריכוז 50% כדי לקבל 40%. המשקאות אחידים, הנפחים מתחברים ואין אובדן חומר. כמה ליטרים מוסיפים?
- 4 ליטרים
- 2 ליטרים
- 6 ליטרים
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
5. מוסיפים מים: הרכיב נשמר והשלם משתנה
בהוספת מים למשקה, המים אינם מוסיפים תרכיז. כמות התרכיז נשארת קבועה, אך נפח המשקה כולו גדל. לכן הריכוז החדש מחושב מתוך הנפח החדש. אם מוסיפים x ליטר מים ל־6 ליטרים, השלם הסופי הוא 6 + x, ולא 6. לא מפחיתים את מספר נקודות האחוז מנפח המשקה. בבעיות כאן מניחים ערבוב אחיד, נפחים שמתחברים וללא אובדן חומר; נפח המים שמוסיפים אינו שלילי.
דוגמה: יש 6 ליטרים של משקה בריכוז 25% תרכיז לפי נפח. מוסיפים מים בלבד עד שריכוז התרכיז הוא 15%. הנפחים מתחברים, אין אובדן חומר והמשקה מעורבב היטב. כמה מים מוסיפים?
- כמות התרכיז ההתחלתית היא 0.25 × 6 = 1.5 ליטר. היא אינה משתנה בהוספת מים.
- מגדירים x כמספר ליטרי המים שמוסיפים, x ≥ 0. הנפח הסופי הוא 6 + x.
- משוואת התרכיז: 1.5 = 0.15(6 + x). הריכוז הסופי מתייחס לכל הנפח החדש.
- פותחים סוגריים: 1.5 = 0.9 + 0.15x. מעבירים +0.9 אגף ומקבלים 0.6 = 0.15x, ולכן x = 4.
- בדיקה: אחרי הוספת 4 ליטרים יש 10 ליטרים ובהם 1.5 ליטר תרכיז. = 0.15, כלומר 15%.
נתונים: 6 ליטר משקה בריכוז 25% תרכיז לפי נפח, ויעד של 15% לאחר הוספת מים. מחושב: בתחילה 1.5 ליטר תרכיז ו־4.5 מים; מוסיפים 4 ליטרי מים, ובסוף 1.5 תרכיז ו־8.5 מים, יחד 10 ליטרים. התרכיז נשמר. שני הפסים באותו קנה מידה. מניחים חיבור נפחים וללא אובדן חומר.
קנה מידה משותף לפסים: 0–10 ליטר. אורך כל חלק נקבע לפי הכמות שלו.
תרגול מודרך
יש 3 ליטר משקה בריכוז 40% תרכיז לפי נפח. מוסיפים מים בלבד כדי לקבל 25%. הנפחים מתחברים, אין אובדן חומר והמשקה מעורבב היטב. כמה מים מוסיפים?
- 1.8 ליטר
- 0.45 ליטר
- 4.8 ליטרים
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
יש 5 ליטר משקה בריכוז 30% תרכיז לפי נפח. מוסיפים מים בלבד כדי לקבל 20%. הנפחים מתחברים, אין אובדן חומר והמשקה מעורבב היטב. כמה מים מוסיפים?
- 1.5 ליטר
- 2.5 ליטרים
- 7.5 ליטרים
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
בדיקה עצמית
הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.