קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

בעיות מילוליות: מכמות ויחידה למשוואה

מגדירים נעלם, מתרגמים קשרי כמות, עלות וגיל, ופותרים מודלים קוויים פשוטים תוך בדיקת היחידות והאפשרות בסיפור. מסלול למידה מותאם, לא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

יסודות בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/word-problems?target=3

לפני שמתחילים

1. מגדירים כמות לפני שבונים ביטוי

נעלם מייצג כמות מוגדרת, עם יחידה: מספר ספרים, מחיר בשקלים או גיל בשנים. קודם כותבים למי שייכת הכמות, ואז מתרגמים את הקשר. ״ליעל 4 יותר מנועם״ נותן x + 4 ליעל אם x הוא מספר הספרים של נועם; אם x מייצג את יעל, לנועם x − 4. ״פי 4״ נותן 4x, קשר אחר לגמרי. הביטוי צריך לספר את אותו סיפור גם לפני שמציבים מספר.

דוגמה: לנועה 5 ספרים יותר מאשר לתמר. סמנו ב־x את מספר הספרים של נועה. מה הביטוי למספר הספרים של תמר, וכמה יש לתמר אם לנועה 12?

  1. מגדירים x כמספר הספרים של נועה; זו הכמות הגדולה מבין השתיים.
  2. כדי לתאר את תמר מורידים את ההפרש: x − 5. לא מוסיפים רק מפני שבטקסט כתוב ״יותר״.
  3. מציבים x = 12: לתמר 12 − 5 = 7 ספרים.
  4. בדיקה בסיפור: לנועה 12 ולתמר 7; אכן 12 − 7 = 5. מספרי הספרים שלמים ואינם שליליים.

תרגול מודרך

לליאור 3 מחברות פחות מאשר לעדי. x הוא מספר המחברות של ליאור. איזה ביטוי מתאר את מספר המחברות של עדי?

  • x + 3
  • x − 3
  • 3x

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

לעידו פי 3 מדבקות מאשר לרות. x הוא מספר המדבקות של רות. איזה ביטוי מתאר את מספר המדבקות של עידו?

  • x + 3
  • 3x

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מחיר ליחידה, כמות ותשלום קבוע

מחיר ליחידה כפול מספר היחידות נותן מחיר כולל. אם x הוא מחיר מחברת בשקלים, שלוש מחברות עולות 3x שקלים. תשלום חד־פעמי מתווסף פעם אחת בלבד. המשוואה משווה שני תיאורים של אותו סכום כסף. בפתרון משתמשים בהעברת אגפים ושינוי סימן: העברת +8 כחיסור היא קיצור של חיסור 8 משני האגפים, ולכן שומרת על השוויון. אחרי מציאת x חוזרים לשאלה: ייתכן שהתבקש מחיר של כמה מחברות.

דוגמה: שלוש מחברות במחיר זהה ועט אחד שמחירו 8 ₪ עלו יחד 29 ₪. מה מחיר שתי מחברות כאלה, בלי עט?

  1. מגדירים x כמחיר מחברת אחת בשקלים. המחברות עולות 3x והעט עולה 8.
  2. מחיר הקנייה נותן 3x + 8 = 29; שני האגפים נמדדים בשקלים.
  3. מעבירים +8 אגף ומשנים סימן: 3x = 29 − 8 = 21. זו אותה פעולה כמו חיסור 8 משני האגפים.
  4. מחלקים את שני האגפים ב־3: x = 7. התבקש מחיר שתי מחברות: 2 × 7 = 14 ₪.
  5. בדיקה בקנייה המקורית: 3 × 7 + 8 = 29. מחיר היחידה חיובי ומתאים לסיפור.

תרגול מודרך

ארבע מחברות במחיר זהה ועט שמחירו 6 ₪ עולים יחד 38 ₪. מה מחיר מחברת אחת?

  • 11 ₪
  • 8 ₪
  • 32 ₪

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

שתי חבילות במחיר זהה ודמי משלוח חד־פעמיים של 9 ₪ עולים יחד 35 ₪. מה יעלו שלוש חבילות כאלה באיסוף עצמי, בלי דמי משלוח?

  • 39 ₪
  • 52.5 ₪
  • 13 ₪

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. שתי כמויות: סכום וקשר ביניהן

כשידוע סכום של שתי כמויות וגם הקשר ביניהן, אפשר לתאר את שתיהן באמצעות נעלם אחד. אם הכמות הקטנה היא x והגדולה ממנה ב־6, הכמות הגדולה היא x + 6. הסכום שלהן הוא x + (x + 6), ולא x + 6 בלבד. בוחרים צד אחד של המשוואה כסכום שתי הכמויות ואת הצד השני כסכום הנתון. בסוף בודקים גם את הסכום וגם את ההפרש; בדיקת תנאי אחד אינה מספיקה.

דוגמה: לשתי אחיות 44 מדבקות יחד. לבכורה 6 מדבקות יותר מלצעירה. כמה מדבקות לכל אחת?

  1. מגדירים x כמספר המדבקות של הצעירה. לבכורה x + 6 מדבקות.
  2. משוואת הסכום: x + (x + 6) = 44.
  3. מכנסים: 2x + 6 = 44. בהעברת אגפים ושינוי סימן: 2x = 44 − 6 = 38, ולכן x = 19.
  4. לצעירה 19 מדבקות ולבכורה 19 + 6 = 25.
  5. בדיקה: 19 + 25 = 44 וגם 25 − 19 = 6. שתי הכמויות שלמות ואינן שליליות.
סכום 44, והגדולה מוסיפה 6

נתונים: יחד 44 מדבקות, ולבכורה 6 יותר. לאחר פתרון המשוואה מתקבלים 19 לצעירה ו־25 לבכורה. החלק המשותף, 19, הוא תוצאה מחושבת; הקטע הנוסף, 6, הוא ההפרש הנתון. שני הפסים באותו קנה מידה, וסכומם 44.

קנה מידה משותף לפסים: 0–25 מדבקות. אורך כל חלק נקבע לפי הכמות שלו.

צעירה: 19, מחושב

צעירה: 19, מחושב19025
  • חלק משותף: 19

בכורה: 25, מחושב

בכורה: 25, מחושב196025
  • חלק משותף: 19
  • הפרש נתון: 6

תרגול מודרך

בשני מדפים 38 ספרים יחד. במדף העליון 4 ספרים יותר מהתחתון. כמה ספרים במדף התחתון?

  • 19 ספרים
  • 21 ספרים
  • 17 ספרים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

לדנה ולרון 50 גולות יחד. לדנה 8 יותר מלרון. כמה גולות לדנה?

  • 21 גולות
  • 29 גולות
  • 42 גולות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. גילים: אותו שינוי זמן לשני האנשים

כשעוברות שנתיים, גילו של כל אדם גדל בשנתיים. לפני שנתיים מחסרים 2 מכל גיל. הפרש הגילים נשאר קבוע, אבל סכום שני הגילים גדל ב־4 במשך שנתיים. מגדירים אם x הוא גיל היום או גיל במועד אחר, ואינם מערבבים זמנים באותה משוואה. כשמתארים את העבר, גם הגילים באותו מועד צריכים להיות אפשריים. כאן כל הגילים נתונים ונמדדים בשנים שלמות לצורך המודל.

דוגמה: גילה של נועה גדול ב־4 שנים מגילו של אורי. בעוד 3 שנים סכום גיליהם יהיה 30. בני כמה הם היום?

  1. מגדירים x כגיל אורי היום, בשנים. גיל נועה היום הוא x + 4.
  2. בעוד 3 שנים אורי יהיה בן x + 3 ונועה בת x + 7.
  3. משוואת הסכום באותו מועד: (x + 3) + (x + 7) = 30.
  4. מכנסים: 2x + 10 = 30. מעבירים +10 אגף: 2x = 20, ולכן x = 10. היום אורי בן 10 ונועה בת 14.
  5. בדיקה: בעוד 3 שנים הגילים 13 ו־17, וסכומם 30; הפרש הגילים נשאר 4.

תרגול מודרך

אחות גדולה מאחיה ב־5 שנים. בעוד שנתיים סכום גיליהם יהיה 27. מה גיל האח היום? מודדים את הגילים בשנים שלמות.

  • 9 שנים
  • 11 שנים
  • 16 שנים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

דנה גדולה מרוני ב־6 שנים. לפני שנתיים סכום גיליהן היה 28. מה גיל דנה היום? מודדים את הגילים בשנים שלמות.

  • 13 שנים
  • 15 שנים
  • 19 שנים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. פתרון המשוואה חייב להתאים לסיפור

פתרון אלגברי הוא מועמד לתשובה. מספר קופסאות שלמות חייב להיות מספר שלם שאינו שלילי; אורך במטרים יכול להיות שבר חיובי. התחום נקבע מן הכמות שהגדרנו, ולא מעצם השימוש באות x. אם המשוואה נותנת 4.25 קופסאות כשמותרות רק קופסאות שלמות, לא מעגלים: העיגול יפר את הנתונים. במקרה כזה אין סידור שמתאים לסיפור. גם פתרון בתחום צריך להיבדק בכל התנאים המקוריים.

דוגמה: בכל קופסה סגורה 4 עפרונות. יש כמה קופסאות שלמות ועוד 2 עפרונות בודדים. האם ייתכן שיש 19 עפרונות בסך הכול?

  1. מגדירים x כמספר הקופסאות השלמות; x חייב להיות שלם ואינו שלילי.
  2. המשוואה היא 4x + 2 = 19. מעבירים +2 אגף: 4x = 17, ולכן x = 4.25.
  3. זהו פתרון למשוואה במספרים ממשיים, אך אינו מספר שלם של קופסאות. לכן הנתונים אינם אפשריים במודל הנתון.
  4. בדיקת עיגול: 4 קופסאות ועוד 2 עפרונות נותנות 18; 5 קופסאות ועוד 2 נותנות 22. אף אחת אינה נותנת 19.
  5. לעומת זאת, אם x הוא אורך סרט במטרים, שבר עשוי להיות מותר: 2x + 0.5 = 5.5 נותן x = 2.5 מטרים, ללא סתירה.

תרגול מודרך

בכל חבילה 5 כרטיסים. יש מספר שלם של חבילות ועוד 3 כרטיסים בודדים, ובסך הכול 23 כרטיסים. מה מספר החבילות?

  • 5 חבילות
  • 4 חבילות
  • אי אפשר לקיים את הנתונים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בשתי קופסאות יש מספר שווה ושלם של גולות. מחוץ לקופסאות 4 גולות. האם אפשר שסך הכול יהיו 17 גולות?

  • לא; המשוואה נותנת 6.5 גולות בכל קופסה
  • כן; יש 6 גולות בכל קופסה
  • כן; יש 7 גולות בכל קופסה

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.