קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

תיבות: פרמטרים, נפח מרבי ושטח פנים מזערי

חוקרים משפחות של תיבות מלבניות בעזרת פרמטרים, דמיון, ריבועים אי־שליליים ומשוואות. מוכיחים טענות קיצון תחת אילוצים מפורשים ומסווגים את כל המקרים האפשריים לפי נפח, גובה ושטח פנים. אין שימוש בנגזרות ואין כאן טענה לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

הרחבה לבחירה · תיבה וקובייה בלבד. למנסרה משולשת ולגליל יש יחידה נפרדת; אתגרי קיצון כאן משתמשים באלגברה ללא נגזרות. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/volume-surface-area?target=5

לפני שמתחילים

1. תחום הפרמטר נקבע מכל הממדים

במשפחה של תיבות בודקים שכל אחד משלושת הממדים חיובי. מכנה שאינו אפס הוא תנאי אלגברי בלבד; הוא אינו מבטיח תיבה. אם שטח הבסיס B חיובי ונפח V חיובי נתון, הגובה h = חיובי. גם אם מכפלת שני ביטויים שליליים חיובית, אי אפשר לפרש את שני הביטויים כאורכי צלעות. הפרמטרים כאן הם מספרים ממשיים, והביטויים לממדים ניתנים בסנטימטרים.

דוגמה: לתיבה נפח 24 סמ״ק. ממדי הבסיס הם t−1 ו־t+1 ס״מ. מצאו את תחום t, את הגובה כפונקציה של t ואת הממדים כאשר t = 3.

  1. מאורכי הבסיס: t−1 > 0 וגם t+1 > 0. החיתוך הוא t > 1.
  2. שטח הבסיס B = (t−1)(t+1) = t²−1 סמ״ר. לכן h = ס״מ.
  3. בכל התחום t > 1 המכנה חיובי, ולכן גם הגובה חיובי. t < −1 אמנם נותן מכנה חיובי, אבל שני אורכי הבסיס שליליים ולכן נפסל.
  4. כאשר t = 3 ממדי הבסיס הם 2 ו־4 ס״מ, והגובה = 3 ס״מ. בדיקה: 2×4×3 = 24 סמ״ק.

תרגול מודרך

ממדי בסיס תיבה הם x−2 ו־x+2 ס״מ, ונפחה 40 סמ״ק. מה התחום הגאומטרי ומה הגובה?

  • x ≠ 2 וגם x ≠ −2; h =
  • x > 2; h =
  • x < −2; h =

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

ממדי בסיס תיבה הם t ו־t+1 ס״מ, ונפחה 12 סמ״ק. איזו תשובה מתארת בדיוק את כל התיבות האפשריות?

  • t > 0; h = 12/[t(t+1)] ס״מ
  • t ≠ 0 וגם t ≠ −1; h = 12/[t(t+1)] ס״מ
  • t < −1 או t > 0; h = 12/[t(t+1)] ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מוכיחים את חוקי ההגדלה ומשתמשים בהם הפוך

לתיבות דומות יש התאמה בין הממדים, וגורם חיובי יחיד k כך שהממדים החדשים הם ka, kb, kh. לכן Vחדש = (ka)(kb)(kh) = k³abh = k³Vישן. כמו כן Sחדש = 2[(ka)(kb)+(ka)(kh)+(kb)(kh)] = k²Sישן. אלה הוכחות לכל a,b,h > 0, ולא רק בדיקות במספרים. בכיוון ההפוך: יחס שטחי פנים r נותן k = r, ויחס נפחים q נותן k³ = q. חייבים לדעת שהתיבות דומות; נפח או שטח פנים לבדם אינם מבטיחים דמיון.

דוגמה: תיבה א במידות 2×3×4 ס״מ. תיבה ב דומה לה ונפחה 192 סמ״ק. מצאו את גורם הדמיון מתיבה א לתיבה ב ואת שטח הפנים של ב.

  1. נפח א הוא 24 סמ״ק, ולכן יחס הנפחים Vב/Vא = = 8.
  2. מחוק הדמיון k³ = 8. מאחר ש־k > 0, מתקבל k = 2.
  3. שטח הפנים של א הוא 2(6+8+12) = 52 סמ״ר. לכן Sב = k²Sא = 4×52 = 208 סמ״ר.
  4. המעבר מיחס נפחים ליחס שטחים מוצדק בזכות הדמיון הנתון; הוא לא היה מוצדק עבור שתי תיבות כלליות.

תרגול מודרך

בשתי תיבות דומות יחס שטחי הפנים של ב לא הוא 9. מה יחס הנפחים Vב/Vא?

  • 3
  • 9
  • 27

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

תיבות א וב דומות, ו־Sב/Sא = . מה יחס הממדים המתאימים ומה יחס הנפחים של ב ביחס לא?

  • k = ; Vב/Vא =
  • k = ; Vב/Vא =
  • k = ; Vב/Vא =

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. היקף בסיס קבוע: מוכיחים נפח מרבי בלי נגזרת

נניח שגובה h > 0 קבוע וסכום צלעות הבסיס a+b = p קבוע, כלומר היקף הבסיס 2p. מהחיוביות מתקבל 0 < a < p ו־b = p−a. שטח הבסיס הוא ab = a(p−a) = −(a−)². הריבוע אינו שלילי, ולכן ab ≤ , עם שוויון בדיוק כאשר a = b = . מכאן V ≤ . תחת אותם אילוצים גם S = 2ab+2hp מרבי בבסיס ריבועי. המסקנה תלויה באילוצים: כאן לא שומרים על נפח קבוע.

דוגמה: לתיבה סגורה גובה קבוע 3 ס״מ והיקף בסיס 20 ס״מ. מהו הנפח המרבי, באילו מידות הוא מתקבל, ומהו שטח הפנים באותה תיבה?

  1. מההיקף 2(a+b) = 20 מתקבל a+b = 10. לכן b = 10−a והתחום 0 < a < 10.
  2. שטח הבסיס a(10−a) = 25−(a−5)² ≤ 25 סמ״ר. שוויון מתקבל רק ב־a = 5, ולכן גם b = 5.
  3. הנפח המרבי הוא 3×25 = 75 סמ״ק, בתיבה שממדיה 5×5×3 ס״מ.
  4. שטח הפנים שם הוא 2×25+2×3×10 = 110 סמ״ר. גם זה השטח המרבי במשפחה הזאת, מפני שרק האיבר 2ab משתנה.
  5. התרשימים השטוחים מציגים בסיס 8 על 2 ובסיס 5 על 5, שלשניהם היקף 20. ההשוואה ממחישה את התוצאה; ההוכחה באמצעות הריבוע מכסה את כל המידות בתחום.
שני בסיסים שטוחים בעלי אותו היקף8255B = 16B = 25
שני בסיסים שטוחים בעלי אותו היקף

אלה תרשימי פאות בסיס במישור, לא פריסות ולא ציור של תיבות במרחב. מידות הבסיס השמאלי 8 על 2 ס״מ ושל הימני 5 על 5 ס״מ. אורכי הצלעות מסומנים בס״מ; B בתוך כל בסיס הוא השטח המחושב בסמ״ר. שתי הזוויות המסומנות ישרות מכיוון שהבסיסים מלבניים. לשניהם היקף 20 ס״מ. בגובה הנתון בדוגמה, 3 ס״מ, הנפחים הם 48 ו־75 סמ״ק. ההשוואה ממחישה שתי דוגמאות; ההוכחה שבטקסט, ולא מראה השרטוט, מראה שהבסיס הריבועי נותן נפח מרבי.

תרגול מודרך

גובה תיבה קבוע ושווה 2 ס״מ; היקף הבסיס 24 ס״מ. מה הנפח המרבי?

  • 72 סמ״ק, בבסיס 6×6 ס״מ
  • 144 סמ״ק, בבסיס 12×12 ס״מ
  • 48 סמ״ק, בבסיס 8×3 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בתיבות סגורות שגובהן 5 ס״מ והיקף בסיסן 16 ס״מ, מהו שטח הפנים המרבי ובאיזה בסיס הוא מתקבל?

  • 96 סמ״ר, בבסיס 2×6 ס״מ
  • 112 סמ״ר, בבסיס 4×4 ס״מ
  • 80 סמ״ר, בבסיס 4×4 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. נפח וגובה קבועים: מוכיחים מינימום שטח פנים

כעת האילוצים שונים: V > 0 והגובה h > 0 קבועים. לכן ab = C = קבוע. שטח הפנים הוא S = 2C+2h(a+b), ולכן צריך למזער את סכום צלעות הבסיס. מן הזהות (a−b)² ≥ 0 נובע (a+b)² ≥ 4ab = 4C. כי a+b חיובי, מתקבל a+b ≥ 2C. לכן S ≥ 2C+4hC, עם שוויון בדיוק כש־a = b = C. התוצאה היא בסיס ריבועי; התיבה אינה בהכרח קובייה, משום שהגובה נקבע מראש.

דוגמה: לכל התיבות הסגורות במשפחה נפח 48 סמ״ק וגובה 3 ס״מ. הוכיחו מהו שטח הפנים המזערי ומצאו את הממדים שבהם הוא מתקבל.

  1. ab = = = 16 סמ״ר, ולכן S = 32+6(a+b).
  2. מן (a−b)² ≥ 0 מתקבל (a+b)² ≥ 4ab = 64. מאחר שהסכום חיובי, a+b ≥ 8 ס״מ.
  3. לכן S ≥ 32+6×8 = 80 סמ״ר. שוויון דורש a = b, וביחד עם ab = 16 מתקבל a = b = 4 ס״מ.
  4. התיבה המזערית היא 4×4×3 ס״מ. היא אינה קובייה. לדוגמה, בסיס 8 על 2 שומר על ab = 16 אך נותן S = 32+6×10 = 92 סמ״ר.
  5. ההוכחה מתייחסת לתיבות עם אותו נפח ואותו גובה. אין להסיק ממנה לבדה מה קורה אם גם הגובה חופשי להשתנות.

תרגול מודרך

מהו שטח הפנים המזערי של תיבה סגורה עם נפח 72 סמ״ק וגובה קבוע 2 ס״מ?

  • 72 סמ״ר, בבסיס 6×6 ס״מ
  • 120 סמ״ר, בבסיס 6×6 ס״מ
  • 144 סמ״ר, בבסיס 12×3 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

לתיבה סגורה נפח 75 סמ״ק וגובה קבוע 3 ס״מ. איזו טענה מוכחת על שטח הפנים?

  • S ≥ 110 סמ״ר, ושוויון בבסיס 5×5 ס״מ
  • S ≤ 110 סמ״ר, ושוויון בבסיס 5×5 ס״מ
  • S ≥ 150 סמ״ר, ושוויון רק בקובייה

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. כל המקרים: אין תיבה, בסיס ריבועי או זוג ממדים

נתונים נפח V > 0, גובה h > 0 ושטח פנים מבוקש S. נסמן C = > 0 ו־P = . ממדי הבסיס חייבים לקיים ab = C ו־a+b = P, ולכן הם שורשי t²−Pt+C = 0. כדי לקבל שני אורכים חיוביים צריך P > 0 וגם Δ = P²−4C ≥ 0. ביחד תנאים אלה שקולים ל־S ≥ 2C+4hC. מתחת לסף אין תיבה; בסף a = b = C; מעל הסף מתקבלים שני אורכים חיוביים שונים. החלפת a ו־b אינה צורת תיבה חדשה, אלא החלפת שמות האורך והרוחב. כך מסווגים את כל האפשרויות, ולא רק מוצאים דוגמה אחת.

דוגמה: נפח תיבה סגורה 48 סמ״ק וגובהה 3 ס״מ. בדקו את שלושת שטחי הפנים המבוקשים: 74, 80 ו־92 סמ״ר. מצאו את ממדי הבסיס בכל מקרה אפשרי.

  1. C = = 16. סף הקיום הוא 2×16+4×3×16 = 32+48 = 80 סמ״ר.
  2. S = 74 קטן מהסף: אין תיבה. בדרך המשוואה P = = 7, והדיסקרימיננטה 7²−4×16 = −15 שלילית.
  3. S = 80 שווה לסף: בסיס 4 על 4 ס״מ. כאן P = 8 והמשוואה היא (t−4)² = 0.
  4. S = 92 גדול מהסף: P = = 10. פותרים t²−10t+16 = (t−2)(t−8) = 0.
  5. לכן הבסיס 2 על 8 ס״מ, עד כדי החלפת האורך והרוחב. בדיקה: V = 2×8×3 = 48 סמ״ק ו־S = 2(16+6+24) = 92 סמ״ר.

תרגול מודרך

לתיבה סגורה נפח 18 סמ״ק, גובה 2 ס״מ ושטח פנים 42 סמ״ר. מהן כל האפשרויות לבסיס?

  • אין תיבה כזאת
  • בסיס 1×9 ס״מ או בסיס 3×3 ס״מ
  • בסיס 3×3 ס״מ בלבד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נפח תיבה סגורה 32 סמ״ק וגובהה 2 ס״מ. איזה סיווג נכון לשטחי פנים 56, 64 ו־72 סמ״ר, בהתאמה?

  • אין תיבה; בסיס 4×4; בסיס 2×8, עד כדי החלפת צלעות
  • בסיס 2×8; בסיס 4×4; אין תיבה
  • אין תיבה בכל שלושת המקרים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.