קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

תיבות: חילוץ מידות, חיבור והגדלה

מחברים בין נפח ושטח פנים של תיבות מלבניות לבין משוואות, קופסה פתוחה, חיבור תיבות, שינוי קנה מידה ויחסי ממדים. כל חיבור נעשה בין תיבות בלי חפיפת נפחים. המסלול ממוקד ואינו הצהרה על כיסוי מלא של תוכנית שנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · תיבה וקובייה בלבד. למנסרה משולשת ולגליל יש יחידה נפרדת; אתגרי קיצון כאן משתמשים באלגברה ללא נגזרות. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/volume-surface-area?target=4

לפני שמתחילים

1. שטח פנים נתון: אוספים את שני סוגי פאות הצד

כאשר a ו־b ידועים והגובה h חסר, מתחילים מספירת הפאות: S = 2ab+2ah+2bh. שני האיברים עם h נכתבים יחד 2(a+b)h, ולכן S = 2ab+2(a+b)h. מחסרים את שטח שתי פאות הבסיס ומחלקים ב־2(a+b). מתקבל h = . כל המידות חייבות להיות חיוביות; לכן S חייב להיות גדול מ־2ab. שוויון היה נותן גובה אפס, שאינו תיבה במסלול.

דוגמה: לתיבה סגורה בסיס במידות 6 ס״מ על 4 ס״מ ושטח פנים 148 סמ״ר. מצאו את הגובה ואת הנפח.

  1. שטח שני הבסיסים הוא 2×6×4 = 48 סמ״ר. ארבע פאות הצד תורמות 2×6h+2×4h = 20h.
  2. מהנתון: 48+20h = 148. מחסרים 48 משני האגפים ומקבלים 20h = 100.
  3. מחלקים ב־20: h = 5 ס״מ. הגובה חיובי, ולכן הנתונים מתאימים לתיבה.
  4. V = 6×4×5 = 120 סמ״ק. בדיקת שטח הפנים: 2(24+30+20) = 148 סמ״ר.

תרגול מודרך

לתיבה סגורה בסיס 5 ס״מ על 3 ס״מ ושטח פנים 94 סמ״ר. מה גובהה?

  • 4 ס״מ
  • 8 ס״מ
  • 64 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

לתיבה סגורה בסיס 4 ס״מ על 2 ס״מ ושטח פנים 40 סמ״ר. מה הגובה ומה הנפח?

  • h = 2 ס״מ; V = 16 סמ״ק
  • h = 4 ס״מ; V = 32 סמ״ק
  • h = 2 ס״מ; V = 40 סמ״ק

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. קופסה פתוחה: מציינים בדיוק איזו פאה חסרה

קופסה מלבנית ללא מכסה עליון כוללת תחתית אחת במידות a על b וארבע דפנות. שטח החומר במודל ללא עובי או לשוניות הוא A = ab+2ah+2bh. זהו שטח של חמש פאות, ולא שטח פנים של תיבה סגורה. ההפרש מהתיבה הסגורה באותן מידות הוא ab, שטח המכסה החסר. הנפח הפנימי במודל חסר העובי נשאר V = abh. יש לציין איזו פאה חסרה, כי הסרת פאה אחרת עשויה לתת שטח אחר.

דוגמה: בונים קופסה ללא מכסה עליון, עם תחתית 6 ס״מ על 4 ס״מ וגובה 3 ס״מ. מה שטח החומר ומה הנפח הפנימי, בהזנחת עובי ולשוניות?

  1. התחתית בשטח 6×4 = 24 סמ״ר. שתי הדפנות הארוכות בשטח 6×3 = 18 סמ״ר כל אחת.
  2. שתי הדפנות הקצרות בשטח 4×3 = 12 סמ״ר כל אחת. בפריסה הנלווית מופיעות בדיוק חמש הפאות האלה.
  3. A = 24+2×18+2×12 = 84 סמ״ר. עם מכסה היה נוסף שטח 24, והסכום היה 108 סמ״ר.
  4. הנפח הפנימי הוא V = 6×4×3 = 72 סמ״ק. הסרת המכסה משנה את שטח החומר, לא את המכפלה של המידות.
פריסה שטוחה של קופסה ללא מכסה: חמש פאות6 x 46 x 36 x 33 x 43 x 4
פריסה שטוחה של קופסה ללא מכסה: חמש פאות

זוהי פריסה דו־ממדית של הקופסה בדוגמה הפתורה: תחתית 6 על 4 ס״מ וגובה 3 ס״מ. כל תווית היא זוג מידות של הפאה בס״מ. נראות תחתית אחת וארבע דפנות; אין פאה שישית של מכסה. הקווים המקווקווים הם קווי קיפול. הפריסה מתארת מודל ללא עובי או לשוניות: שטח החומר המחושב הוא 84 סמ״ר והנפח לאחר הקיפול 72 סמ״ק. הנתונים ניתנים במידות, ולא מוסקים ממראה גוף תלת־ממדי.

תרגול מודרך

מה שטח החומר בקופסה ללא מכסה עליון, עם תחתית 5 ס״מ על 4 ס״מ וגובה 2 ס״מ, ללא עובי או לשוניות?

  • 76 סמ״ר
  • 56 סמ״ר
  • 40 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

לתיבה סגורה בסיס 8 ס״מ על 3 ס״מ וגובה 2 ס״מ. מסירים רק את המכסה העליון, שמידותיו 8 על 3. מה שטח חמש הפאות שנותרו?

  • 92 סמ״ר
  • 44 סמ״ר
  • 68 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. חיבור תיבות: נפחים מצטרפים, פאות מגע נעלמות

מחברים שתי תיבות מלבניות בלי חפיפת נפחים, לאורך אזור מגע מלבני שלם. הנפח הכולל הוא V₁+V₂. בשטח החיצוני צריך לחסר פעמיים את שטח המגע C: פעם מהפאה של התיבה הראשונה ופעם מהשנייה. לכן Sחיצוני = S₁+S₂−2C. אזור המגע אינו חייב להיות כל הפאה של שתי התיבות. שאר חלקי הפאות עדיין חיצוניים; גם תחתית הגוף נספרת בשטח החיצוני.

דוגמה: תיבה תחתונה במידות 6×4×2 ס״מ, כשהגובה 2, נושאת תיבה עליונה במידות 2×4×3 ס״מ, כשהגובה 3. כל בסיס העליונה, 2 על 4, מונח בתוך הפאה העליונה של התחתונה. אין חפיפת נפחים. מצאו נפח ושטח חיצוני של הגוף המחובר.

  1. נפח התחתונה 6×4×2 = 48 סמ״ק ונפח העליונה 2×4×3 = 24 סמ״ק. לכן הנפח הכולל 72 סמ״ק.
  2. שטח הפנים של התחתונה כשהיא נפרדת הוא 2(24+12+8) = 88 סמ״ר; של העליונה 2(8+6+12) = 52 סמ״ר.
  3. שטח המגע הוא C = 2×4 = 8 סמ״ר. אותו אזור נספר פעם בכל אחת משתי התיבות ואינו חיצוני לאחר החיבור.
  4. לכן Sחיצוני = 88+52−2×8 = 124 סמ״ר. אי אפשר להשתמש בנוסחת תיבה אחת על האורך, הרוחב והגובה המרביים: הגוף כולו אינו תיבה מלאה.

תרגול מודרך

מחברים שתי קוביות שמקצוע כל אחת 2 ס״מ לאורך פאה שלמה, ללא חפיפת נפחים. מה הנפח הכולל ומה השטח החיצוני?

  • V = 16 סמ״ק; S = 48 סמ״ר
  • V = 16 סמ״ק; S = 40 סמ״ר
  • V = 12 סמ״ק; S = 44 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

על תיבה 5×4×2 ס״מ מונחת תיבה 3×2×2 ס״מ. הגובה של כל אחת 2 ס״מ וכל בסיס העליונה, 3 על 2, נוגע בתחתונה בלי לבלוט. אין חפיפת נפחים. מה הנפח והשטח החיצוני?

  • V = 52 סמ״ק; S = 102 סמ״ר
  • V = 52 סמ״ק; S = 108 סמ״ר
  • V = 52 סמ״ק; S = 96 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. הגדלה דומה או שינוי של ממד אחד?

בהגדלה דומה כל שלושת הממדים מוכפלים באותו מספר חיובי k. שטח כל פאה מוכפל ב־k², כי הוא מכפלה של שני אורכים; הנפח מוכפל ב־k³. לכן Sחדש = k²Sישן ו־Vחדש = k³Vישן. אם רק ממד אחד משתנה, אין זו הגדלה דומה: יש פאות שמשתנות ופאות שאינן משתנות. במקרה כזה חוזרים לספירת הפאות ולנוסחאות. שינוי יחידה אינו הגדלת הגוף: 1 מטר = 100 ס״מ, ולכן 1 מ״ר = 100² סמ״ר = 10,000 סמ״ר ואילו 1 מ״ק = 100³ סמ״ק = 1,000,000 סמ״ק. לפני כפל מאחדים את כל יחידות האורך; כדי לעבור מסמ״ר למ״ר מחלקים ב־10,000, ומסמ״ק למ״ק מחלקים ב־1,000,000.

דוגמה: תיבה סגורה במידות 2×3×4 ס״מ מוגדלת כך שכל ממד מוכפל ב־3. מצאו את נפח התיבה החדשה ואת שטח פניה.

  1. לפני ההגדלה V = 2×3×4 = 24 סמ״ק ו־S = 2(6+8+12) = 52 סמ״ר.
  2. k = 3, ולכן הנפח מוכפל ב־3³ = 27 ושטח הפנים מוכפל ב־3² = 9.
  3. מתקבלים Vחדש = 24×27 = 648 סמ״ק ו־Sחדש = 52×9 = 468 סמ״ר.
  4. בדיקה עם המידות החדשות 6, 9, 12: V = 648 ו־S = 2(54+72+108) = 468, ביחידות המתאימות.

תרגול מודרך

לתיבה סגורה אורך 1 מטר, רוחב 50 ס״מ וגובה 20 ס״מ. מה נפחה במ״ק ומה שטח פניה במ״ר?

  • V = 10 מ״ק; S = 1.6 מ״ר
  • V = 0.1 מ״ק; S = 1.6 מ״ר
  • V = 0.1 מ״ק; S = 0.016 מ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

לתיבה סגורה בסיס 3 ס״מ על 2 ס״מ וגובה 2 ס״מ. משנים רק את הגובה ל־4 ס״מ. מה הנפח ומה שטח הפנים לאחר השינוי?

  • V = 24 סמ״ק; S = 52 סמ״ר
  • V = 24 סמ״ק; S = 64 סמ״ר
  • V = 96 סמ״ק; S = 128 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. יחס ממדים: משוואת נפח עם שורש חיובי

יחס בין ממדים מאפשר לכתוב אותם בעזרת משתנה אחד. אם הרוחב x והאורך 2x, וידוע הגובה h, אז V = (2x)×x×h = 2hx². לאחר פתרון המשוואה ל־x² בוחרים רק שורש חיובי: אורך אינו שלילי ואינו אפס. אחרי שמוצאים את הממדים אפשר לחשב שטח פנים, ולבדוק גם את היחס וגם את הנפח.

דוגמה: לתיבה סגורה גובה 3 ס״מ ונפח 96 סמ״ק. האורך כפול מהרוחב. מצאו את הממדים ואת שטח הפנים.

  1. נסמן את הרוחב x ס״מ ואת האורך 2x ס״מ, כאשר x > 0.
  2. משוואת הנפח היא (2x)×x×3 = 96, ולכן 6x² = 96 ומתקבל x² = 16.
  3. הפתרונות האלגבריים הם 4 ו־−4, אך אורך חייב להיות חיובי. לכן הרוחב 4 ס״מ והאורך 8 ס״מ.
  4. שטח הפנים S = 2(8×4+8×3+4×3) = 2(32+24+12) = 136 סמ״ר. בדיקה: 8×4×3 = 96.

תרגול מודרך

גובה תיבה 2 ס״מ, נפחה 54 סמ״ק ואורכה פי 3 מרוחבה. מה האורך והרוחב?

  • אורך 9 ס״מ; רוחב 3 ס״מ
  • אורך 6 ס״מ; רוחב 3 ס״מ
  • אורך 27 ס״מ; רוחב 9 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

לתיבה סגורה גובה 4 ס״מ ונפח 200 סמ״ק. האורך כפול מהרוחב. מה שטח הפנים?

  • 110 סמ״ר
  • 220 סמ״ר
  • 200 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.