קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

תיבות וקוביות: נפח ושטח פנים

בונים משמעות לנפח ולשטח פנים של תיבה מלבנית וקובייה: שלושה ממדים, שכבות, פריסה, ממד חסר והשוואת תיבות. כל המידות חיוביות ובאותה יחידת אורך. המסלול מתמקד בגופים האלה ואינו טוען לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

יסודות בחטיבה · תיבה וקובייה בלבד. למנסרה משולשת ולגליל יש יחידה נפרדת; אתגרי קיצון כאן משתמשים באלגברה ללא נגזרות. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/volume-surface-area?target=3

לפני שמתחילים

1. נפח: שטח בסיס כפול מספר שכבות

תיבה מלבנית היא גוף בעל שש פאות מלבניות. מקצוע הוא קטע שבו שתי פאות נפגשות. נסמן את האורך a, את הרוחב b ואת הגובה h; שלושתם חיוביים ונמדדים באותה יחידת אורך. שטח הבסיס הוא B = ab. במידות שלמות בסנטימטרים, כל שכבה בגובה 1 ס״מ מכילה ab קוביות יחידה, ויש h שכבות. לכן V = Bh = abh. הנוסחה תקפה גם למידות חיוביות שאינן שלמות. אורך נמדד בס״מ, שטח בסמ״ר ונפח בסמ״ק. המידות הכתובות הן הנתונים; אין לספור רק קוביות שרואים מבחוץ.

דוגמה: לתיבה בסיס במידות 4 ס״מ על 3 ס״מ וגובה 2 ס״מ. הסבירו את הנפח בעזרת שכבות. האם בחירה בפאה אחרת כבסיס משנה אותו?

  1. שטח הבסיס הוא B = 4×3 = 12 סמ״ר. שכבה בגובה 1 ס״מ מכילה 12 קוביות שנפח כל אחת 1 סמ״ק.
  2. יש שתי שכבות מלאות, ולכן V = 12×2 = 24 סמ״ק. היחידה מעוקבת, כי מכפילים שלושה אורכים.
  3. אם מניחים את התיבה על פאה במידות 4 על 2, שטח הבסיס הוא 8 סמ״ר והגובה המתאים הוא 3 ס״מ.
  4. מתקבל שוב 8×3 = 24 סמ״ק. שינוי המיקום או בחירת הבסיס אינם משנים את הגוף או את נפחו.

תרגול מודרך

לתיבה שטח בסיס 15 סמ״ר וגובה 4 ס״מ. מה נפחה?

  • 19 סמ״ק
  • 60 סמ״ק
  • 60 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

תיבה שממדיה 6 ס״מ, 2 ס״מ ו־3 ס״מ מונחת כעת על פאה במידות 6 על 3. מה הגובה המתאים ומה הנפח?

  • גובה 2 ס״מ; נפח 36 סמ״ק
  • גובה 3 ס״מ; נפח 54 סמ״ק
  • גובה 2 ס״מ; נפח 18 סמ״ק

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. שטח פנים: מה סופרים בפריסה?

פריסה היא ציור שטוח של פאות המחוברות כך שאפשר לקפל אותן לגוף. לתיבה מלבנית סגורה שלושה זוגות של פאות נגדיות: שתי פאות בשטח ab, שתיים בשטח ah ושתיים בשטח bh. לכן שטח הפנים הוא S = 2ab+2ah+2bh = 2(ab+ah+bh). מקדם 2 סופר פאה ואת הפאה שמולה. זהו סכום שטחים, ביחידות ריבועיות. קווי הקיפול אינם מוסיפים שטח. המודל מתאר את שש הפאות בלי עובי, לשוניות הדבקה או חפיפות.

דוגמה: תיבה סגורה שממדיה 4 ס״מ, 3 ס״מ ו־2 ס״מ נפתחת לפריסה. מצאו את שטח הפנים באמצעות כל שש הפאות.

  1. שתי הפאות במידות 4 על 3 הן בשטח 12 סמ״ר כל אחת.
  2. שתי הפאות במידות 4 על 2 הן בשטח 8 סמ״ר כל אחת; שתי הפאות במידות 3 על 2 הן בשטח 6 סמ״ר כל אחת.
  3. לכן S = 12+12+8+8+6+6 = 52 סמ״ר. בקיצור: 2(12+8+6) = 52.
  4. בפריסה הנלווית רואים את כל שש הפאות. הקווים המקווקווים הם קווי קיפול, ולא מקצועות מוסתרים של ציור תלת־ממדי.
פריסה שטוחה של תיבה סגורה: שש פאות4 x 34 x 24 x 22 x 32 x 34 x 3
פריסה שטוחה של תיבה סגורה: שש פאות

זוהי פריסה דו־ממדית של התיבה בדוגמה הפתורה, שממדיה 4, 3 ו־2 ס״מ, ולא ציור פרספקטיבי. כל תווית בתוך מלבן מציינת את שתי מידות הפאה בס״מ; קווים מקווקווים הם קווי קיפול. נראות שש פאות ללא חפיפה: שתיים 4 על 3, שתיים 4 על 2 ושתיים 2 על 3. מן המידות מחשבים שטח כולל 52 סמ״ר. אין להסיק מידות של גוף אחר ממראה הפריסה.

תרגול מודרך

מה שטח הפנים של תיבה סגורה שממדיה 5 ס״מ, 3 ס״מ ו־2 ס״מ?

  • 30 סמ״ר
  • 31 סמ״ר
  • 62 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בתיבה סגורה שממדיה 5 ס״מ, 4 ס״מ ו־3 ס״מ, שטחי שלוש פאות הנפגשות בקודקוד הם 20, 15 ו־12 סמ״ר. מה שטח הפנים כולו?

  • 47 סמ״ר
  • 94 סמ״ר
  • 60 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. קובייה: אותו אורך, שתי נוסחאות שונות

קובייה היא תיבה שכל מקצועותיה שווים. אם אורך המקצוע a, שטח פאה אחת הוא a² = a×a, ושטח שש הפאות הוא S = 6a². הנפח הוא V = a³ = a×a×a. החזקה מציינת כמה גורמים שווים כופלים, ולא כפל במעריך. גם בקובייה נפח ושטח פנים מודדים דברים שונים. אם נתון שטח הפנים, מחלקים ב־6 לקבלת שטח פאה, ואז מחפשים את אורך הצלע החיובי שהריבוע שלו שווה לשטח הזה.

דוגמה: לקובייה מקצוע באורך 3 ס״מ. מצאו נפח ושטח פנים, והסבירו את תפקיד המספר 6.

  1. הנפח V = 3×3×3 = 27 סמ״ק. שלושת הגורמים מייצגים שלושה ממדים.
  2. שטח פאה אחת הוא 3×3 = 9 סמ״ר. יש שש פאות, ולכן S = 6×9 = 54 סמ״ר.
  3. המספר 6 סופר פאות; הוא אינו גובה הקובייה. אין לחשב את הנפח באמצעות שש פאות.

תרגול מודרך

מה הנפח ומה שטח הפנים של קובייה שמקצועה 4 ס״מ?

  • V = 64 סמ״ק; S = 96 סמ״ר
  • V = 12 סמ״ק; S = 24 סמ״ר
  • V = 96 סמ״ק; S = 64 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

שטח הפנים של קובייה הוא 150 סמ״ר. מה אורך המקצוע ומה הנפח?

  • מקצוע 25 ס״מ; נפח 125 סמ״ק
  • מקצוע 5 ס״מ; נפח 75 סמ״ק
  • מקצוע 5 ס״מ; נפח 125 סמ״ק

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. נפח נתון: החילוק מוצא את הממד החסר

מ־V = Bh מקבלים h = , כאשר B הוא שטח הבסיס החיובי. אם חסר דווקא רוחב, משתמשים ב־b = . מחלקים את הנפח במכפלת שני הממדים הידועים, ולא בסכומם. התוצאה היא אורך: למשל סמ״ק חלקי סמ״ר נותן ס״מ. בודקים את התשובה באמצעות כפל של כל שלושת הממדים.

דוגמה: לתיבה נפח 84 סמ״ק, אורך 7 ס״מ ורוחב 3 ס״מ. מצאו את הגובה ובדקו.

  1. שטח הבסיס B = 7×3 = 21 סמ״ר, ולכן משוואת הנפח היא 21h = 84.
  2. מחלקים את שני האגפים ב־21: h = = 4 ס״מ.
  3. בדיקה: 7×3×4 = 84 סמ״ק. התוצאה 4 היא גובה, ולכן יחידתה ס״מ.

תרגול מודרך

שטח בסיס תיבה הוא 18 סמ״ר ונפחה 90 סמ״ק. מה גובהה?

  • 5 ס״מ
  • 72 ס״מ
  • 5 סמ״ק

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נפח תיבה הוא 72 סמ״ק, אורכה 6 ס״מ וגובהה 4 ס״מ. מה רוחבה?

  • 12 ס״מ
  • 18 ס״מ
  • 3 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. אותו נפח אינו מבטיח אותה כמות עטיפה

נפח קובע כמה מקום גוף תופס; שטח פנים קובע כמה שטח מכסים כשעוטפים את כל הפאות. תיבות שונות יכולות להיות שוות נפח ועם שטחי פנים שונים. כדי להשוות חומר עטיפה במודל של תיבות סגורות, מחשבים S לכל תיבה. השוואת נפחים בלבד אינה מספיקה. נניח שהעטיפה מכסה בדיוק את שש הפאות, בלי תוספת לקיפולים או להדבקה.

דוגמה: שתי תיבות סגורות: א במידות 6×2×2 ס״מ, וב במידות 4×3×2 ס״מ. האם נפחן שווה? איזו דורשת פחות שטח עטיפה?

  1. נפח א: 6×2×2 = 24 סמ״ק. נפח ב: 4×3×2 = 24 סמ״ק. הנפחים שווים.
  2. שטח הפנים של א: 2(12+12+4) = 56 סמ״ר.
  3. שטח הפנים של ב: 2(12+8+6) = 52 סמ״ר.
  4. תיבה ב דורשת 4 סמ״ר פחות עטיפה במודל הזה, אף שנפחה זהה. אין להסיק מהדוגמה לבדה כלל על כל צורת תיבה אפשרית.

תרגול מודרך

תיבה סגורה במידות 8×1×1 ס״מ וקובייה שמקצועה 2 ס״מ הן שוות נפח. מה נכון על שטחי הפנים?

  • לשתיהן 8 סמ״ר
  • לתיבה 34 סמ״ר ולקובייה 24 סמ״ר
  • לתיבה 17 סמ״ר ולקובייה 12 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

תיבות סגורות א וב הן במידות 3×3×2 ס״מ ו־9×2×1 ס״מ, בהתאמה. איזו מסקנה נכונה?

  • נפחן שווה, אך שטחי הפנים שלהן שונים
  • שטח הפנים שווה כי הנפח שווה
  • תיבה ב קטנה יותר בנפח כי גובהה 1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.