קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

משולשים: הוכחות, פרמטרים ומיצוי מקרים

מנמקים את סכום הזוויות באמצעות מקבילים, מוכיחים קשר בין חוצי זוויות, ומפתחים פתרון מלא עם פיצול למקרים ותנאי קיום. כלים חדשים מוסברים בתוך המסלול; חפיפת משולשים ודמיון נלמדים בפרקים נפרדים. זהו מסלול ממוקד, ולא הבטחה לכיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

הרחבה לבחירה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/triangles?target=5

לפני שמתחילים

1. בונים מקביל ומוכיחים את סכום הזוויות

בניית עזר היא הוספת ישר או קטע שתכונתם מוגדרת במפורש, ולא ניחוש מהציור. כדי להוכיח את סכום הזוויות במשולש משתמשים בעובדות קודמות: זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות, וזווית שטוחה היא 180°. אין להשתמש בסכום זוויות המשולש בתוך הוכחה של אותו משפט. בכל החלפת זווית מציינים איזה חותך ואילו מקבילים מאפשרים אותה.

דוגמה: במשולש ABC נבנה דרך A ישר המקביל ל־BC. נסמן עליו נקודות E ו־F כך ש־E, A, F בסדר הזה, הקרן AE בכיוון המקביל ל־CB, והקרן AF בכיוון המקביל ל־BC. הוכיחו ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180° בלי להסתמך על המשפט שאותו מוכיחים.

  1. EF ∥ BC לפי הבנייה. החותך AB יוצר זוויות מתחלפות שוות, ולכן ∠EAB = ∠ABC.
  2. עם אותו זוג מקבילים והחותך AC מתקבל ∠CAF = ∠ACB.
  3. בצד הישר EF שבו נמצא המשולש, הזוויות EAB, BAC ו־CAF מרכיבות יחד את הזווית השטוחה EAF. לכן ∠EAB + ∠BAC + ∠CAF = 180°.
  4. מחליפים את ∠EAB ב־∠ABC ואת ∠CAF ב־∠ACB לפי השוויונות שכבר הוכחנו. מתקבל ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°. השתמשנו במקבילים ובזווית שטוחה, ולא במסקנה המבוקשת.
בניית עזר: מקביל דרך הקודקוד מציב את הזוויות על ישרαβγβγABCEF
בניית עזר: מקביל דרך הקודקוד מציב את הזוויות על ישר

EF נבנה דרך A במקביל ל־BC, עם E, A, F בסדר הזה. α, β, γ הם שמות לזוויות המקוריות במשולש. הזוויות EAB = β ו־CAF = γ הן מסקנות מזוויות מתחלפות בין המקבילים. שלוש הזוויות שמתחת ל־EF מצטרפות לזווית שטוחה; אין להניח מראש את סכום זוויות המשולש.

תרגול מודרך

במשולש ABC מעבירים דרך A ישר EF המקביל ל־BC, עם E, A, F בסדר הזה, AE בכיוון המקביל ל־CB ו־AF בכיוון המקביל ל־BC. איזה נימוק מוכיח ∠EAB = ∠ABC?

  • זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים
  • סכום זוויות המשולש הוא 180°
  • זוויות מתחלפות בין EF ו־BC, עם החותך AB

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ABC ממשיכים את BC מעבר ל־C לנקודה D. נסמן α = ∠BAC, β = ∠ABC, γ = ∠ACB ו־ε = ∠ACD. לאחר שסכום זוויות המשולש הוכח, איזו שרשרת מוכיחה ε = α + β?

  • ε = 180° − γ = α + β
  • ε = γ = α + β
  • ε = 180° + γ = α + β

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מוכיחים קשר בין שני חוצי זוויות פנימיים

חוצה זווית פנימי מחלק את הזווית הפנימית לשתי זוויות שוות. אם I נמצאת בתוך המשולש ABC ועל חוצי הזוויות של B ושל C, אפשר לעבוד במשולש BIC: הזווית IBC היא מחצית ∠ABC, והזווית ICB היא מחצית ∠ACB. זו דוגמה להעברת נתון מהמשולש הגדול למשולש קטן בלי חפיפה או דמיון. מקפידים לשאול על ∠BIC המסוימת; הביטוי ״הזווית בין החוצים״ לבדו עלול להתייחס גם לזווית הצמודה לה.

דוגמה: במשולש ABC נתון ∠BAC = α. חוצי הזוויות הפנימיים של B ושל C נפגשים בנקודה I שבתוך המשולש. הוכיחו ∠BIC = 90° + , וחשבו אותה כאשר α = 50°.

  1. נסמן β = ∠ABC ו־γ = ∠ACB. מסכום הזוויות במשולש ABC מתקבל β + γ = 180° − α.
  2. לפי הגדרת חוצה זווית ∠IBC = וגם ∠ICB = .
  3. במשולש BIC: ∠BIC = 180° − − = 180° − .
  4. מציבים β + γ = 180° − α: מתקבל ∠BIC = 180° − = 90° + .
  5. עבור α = 50° מקבלים ∠BIC = 115°. מכיוון ש־0° < α < 180°, הנוסחה נותנת תמיד 90° < ∠BIC < 180°, כמתאים לזווית פנימית קהה.

תרגול מודרך

במשולש ABC נתון ∠BAC = 68°. חוצי הזוויות הפנימיים של B ושל C נפגשים ב־I בתוך המשולש. מהי ∠BIC?

  • 124°
  • 112°
  • 56°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ABC נתון ∠ABC = 70° ו־∠ACB = 50°. חוצי הזוויות הפנימיים של B ושל C נפגשים ב־I בתוך המשולש. מהי ∠BIC?

  • 60°
  • 120°
  • 130°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. נתון בלי תפקיד: מפצלים למקרים וממצים אותם

כאשר נתון שבמשולש שווה שוקיים יש זווית שגודלה θ, אך לא נאמר אם היא זווית ראש או בסיס, אין לבחור תפקיד לפי ציור. יש שני מקרים: אם θ היא זווית הראש, שתי האחרות הן ; אם θ היא זווית בסיס, גם זווית הבסיס השנייה היא θ וזווית הראש היא 180° − 2θ. המקרה השני אפשרי רק כאשר 0° < θ < 90°, כדי שזווית הראש תהיה חיובית. כאשר θ = 60° שני המקרים נותנים אותה שלשת זוויות, ולכן אין לספור אותה פעמיים. כך מבדילים בין פתרון אפשרי לרשימה מלאה של פתרונות.

דוגמה: במשולש שווה שוקיים אחת הזוויות היא 40°, בלי ציון מיקומה. מצאו את כל שלשות הזוויות האפשריות, ללא חשיבות לסדר, וסווגו כל משולש לפי זוויות.

  1. מקרה ראשון: 40° היא זווית הראש. שתי זוויות הבסיס הן = 70°. השלשה היא 40°, 70°, 70°, והמשולש חד־זוויות.
  2. מקרה שני: 40° היא זווית בסיס. גם זווית הבסיס האחרת 40°, וזווית הראש 180° − 80° = 100°. השלשה היא 40°, 40°, 100°, והמשולש קהה־זווית.
  3. בשני המקרים כל הזוויות חיוביות וסכומן 180°. כל שלשת זוויות חיוביות שסכומה 180° ניתנת למימוש במשולש; הזוויות השוות מבטיחות שווה שוקיים לפי המשפט ההפוך.
  4. הרשימה מלאה: במשולש שווה שוקיים הזווית הנתונה חייבת להיות זווית הראש או אחת משתי זוויות הבסיס השוות. אין תפקיד שלישי שלא נבדק.

תרגול מודרך

במשולש שווה שוקיים אחת הזוויות היא 100°, ומיקומה לא צוין. מהן כל שלשות הזוויות האפשריות, ללא חשיבות לסדר?

  • 100°, 100°, −20° בלבד
  • 100°, 40°, 40° בלבד
  • גם 100°, 40°, 40° וגם 100°, 100°, −20°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש שווה שוקיים אחת הזוויות היא 80°, ומיקומה לא צוין. מהן כל שלשות הזוויות האפשריות, ללא חשיבות לסדר?

  • 80°, 50°, 50° בלבד
  • 80°, 80°, 20° בלבד
  • 80°, 50°, 50° וגם 80°, 80°, 20°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. פרמטר בזוויות: קודם קיום, אחר כך סיווג

פרמטר מייצג ערך שיכול להשתנות. משפחת זוויות אינה בהכרח משפחת משולשים לכל ערך: תחילה דורשים שכל זווית תהיה חיובית וסכומן 180°. לאחר שמוצאים תחום קיום, בודקים תנאים נוספים רק בתוכו. למשולש חד־זוויות נדרשות שלוש זוויות קטנות מ־90°. לישר־זווית בודקים כל מועמד לזווית של 90°; לקהה־זווית מספיק שאחת גדולה מ־90°. בחלוקה במספר שלילי הופכים את כיוון סימן האי־שוויון. קצוות שנפסלים בגלל זווית אפס אינם מייצגים משולש.

דוגמה: במשולש מוצעות הזוויות x°, 2x° ו־(180 − 3x)°. מצאו את תחום הקיום ואת כל ערכי x שבהם המשולש חד־זוויות, ישר־זווית או קהה־זווית.

  1. סכום הביטויים הוא תמיד 180°. חיוביות x ו־2x נותנת x > 0; חיוביות 180 − 3x נותנת x < 60. לכן תחום הקיום הוא 0 < x < 60.
  2. למשולש חד־זוויות דורשים x < 90, 2x < 90 ו־180 − 3x < 90. התנאי השני נותן x < 45. בשלישי מעבירים אגפים: −3x < −90; מחלקים ב־−3 והופכים את הסימן, ולכן x > 30. יחד מתקבל 30 < x < 45.
  3. למשולש ישר־זווית בודקים את כל האפשרויות: x = 90 נפסל כי הוא מחוץ לתחום הקיום; 2x = 90 נותן x = 45; ו־180 − 3x = 90 נותן x = 30. שני האחרונים תקינים.
  4. למשולש קהה־זווית: כאשר 0 < x < 30 הזווית 180 − 3x גדולה מ־90°. כאשר 45 < x < 60 הזווית 2x גדולה מ־90°. אין ערכים נוספים, כי יתר התחום כבר חולק למקרים חדים או ישרים.
  5. בדיקת הקצוות: ב־x = 0 או x = 60 מופיעה זווית אפס, ולכן הם אינם משולשים. ב־x = 30 הזוויות 30°, 60°, 90°; ב־x = 45 הן 45°, 90°, 45°.

תרגול מודרך

זוויות המשולש הן x°, 2x° ו־(180 − 3x)°. מהו התחום המדויק שבו המשולש חד־זוויות?

  • 0 < x < 60
  • 30 ≤ x ≤ 45
  • 30 < x < 45

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

זוויות המשולש הן x°, 2x° ו־(180 − 3x)°, עם 0 < x < 60. מהם כל ערכי x שעבורם המשולש ישר־זווית?

  • 30 ו־45
  • 45 בלבד
  • 30, 45 ו־90

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. צלעות עם פרמטר: מועמד אלגברי חייב לעבור בדיקת קיום

כדי למצוא את כל ערכי הפרמטר שיוצרים משולש שווה שוקיים, משלבים שני סוגי תנאים. תחילה קיום: שלוש הצלעות חיוביות וסכום כל שתיים גדול מהשלישית. אין לבחור מראש צלע ארוכה ביותר אם סדר האורכים משתנה עם הפרמטר. אחר כך בודקים את שלושת זוגות הצלעות האפשריים לשוויון. כל פתרון של משוואת שוויון הוא רק מועמד: מציבים אותו בחזרה ובודקים שהוא בתחום הקיום. רשימת המקרים מלאה מפני שכל זוג מבין שלוש הצלעות נבדק.

דוגמה: אורכי הצלעות המוצעות הם x + 1, 2x − 1 ו־8 ס״מ. מצאו תחילה את כל ערכי x שיוצרים משולש, ואחר כך את כל הערכים שיוצרים משולש שווה שוקיים.

  1. חיוביות נותנת x > . אי־שוויון ראשון: (x + 1) + (2x − 1) > 8, ולכן 3x > 8 ומתקבל x > .
  2. אי־שוויון שני: (x + 1) + 8 > 2x − 1. בהעברת אגפים מתקבל 10 > x. אי־שוויון שלישי: (2x − 1) + 8 > x + 1, ולכן x > −6. חיתוך כל התנאים הוא < x < 10.
  3. מקרה א: x + 1 = 2x − 1. בהעברת אגפים מתקבל x = 2. הוא מחוץ לתחום הקיום: האורכים 3, 3, 8 אינם יוצרים משולש. המועמד נפסל.
  4. מקרה ב: x + 1 = 8 נותן x = 7. האורכים 8, 13, 8 חיוביים ומקיימים 8 + 8 > 13, ולכן זהו משולש שווה שוקיים.
  5. מקרה ג: 2x − 1 = 8 נותן x = . האורכים , 8, 8 יוצרים משולש שווה שוקיים. שני הערכים 7 ו־ נמצאים בתחום הקיום, וכל זוג צלעות נבדק; אלה כל הפתרונות.

תרגול מודרך

במשולש שווה שוקיים שהיקפו 18 ס״מ, כל שוק באורך t ס״מ ולכן הבסיס באורך 18 − 2t ס״מ. מהו תחום הקיום המדויק של t?

  • < t < 9
  • 0 < t < 9
  • ≤ t ≤ 9

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

שלוש צלעות מוצעות הן x + 2, 2x ו־12 ס״מ. מהם כל ערכי x שעבורם מתקבל משולש שווה שוקיים?

  • 2, 6 ו־10
  • 6 ו־10
  • 6 בלבד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.