קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

משולשים: זוויות, צלעות וקווים מיוחדים

בונים את משמעות סכום הזוויות, סוגי המשולשים ושווה השוקיים, בודקים אם אורכים יכולים ליצור משולש ומבחינים בין גובה, תיכון וחוצה זווית. זהו מסלול למידה מותאם, ולא הצהרה על כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

יסודות בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/triangles?target=3

לפני שמתחילים

1. סכום הזוויות: נתונים, חישוב ובדיקה

משולש הוא מצולע בעל שלוש צלעות ושלוש זוויות פנימיות. סכום הזוויות הפנימיות במשולש הוא 180°. כל זווית פנימית גדולה מ־0° וקטנה מ־180°. למציאת זווית חסרה מחברים את השתיים הידועות ומחסרים את הסכום מ־180°. שם זווית בשלוש אותיות מציב את הקודקוד באמצע: ∠ABC היא הזווית בקודקוד B. אין למדוד מהציור כדי להחליף נתון חסר; משתמשים בנתונים ובמשפטים.

דוגמה: במשולש ABC נתון ∠ABC = 50° וגם ∠ACB = 60°. מצאו את ∠BAC והסבירו את החישוב.

  1. ∠ABC ו־∠ACB הן שתי זוויות פנימיות של אותו משולש. סכומן 50° + 60° = 110°.
  2. סכום שלוש הזוויות 180°, ולכן ∠BAC = 180° − 110° = 70°.
  3. בדיקה: 50° + 60° + 70° = 180°. כל שלוש הזוויות חיוביות. אין צורך להסיק דבר מהמראה של השרטוט.

תרגול מודרך

במשולש PQR נתון ∠P = 40° ו־∠Q = 80°. מהי ∠R?

  • 60°
  • 120°
  • 90°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ABC נתון ∠B = 90° ו־∠C = 35°. מהי ∠A?

  • 65°
  • 145°
  • 55°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. ממיינים לפי זוויות ולפי צלעות

לפי זוויות, משולש חד־זוויות מכיל שלוש זוויות קטנות מ־90°; משולש ישר־זווית מכיל זווית אחת של 90°; ומשולש קהה־זווית מכיל זווית אחת גדולה מ־90°. לא ייתכנו שתי זוויות של 90° או יותר, כי כבר לא יישאר מקום לזווית שלישית חיובית. לפי צלעות, משולש שווה צלעות מכיל שלוש צלעות שוות, ושונה צלעות מכיל שלוש צלעות שונות. כאן משתמשים בהגדרה הכוללת: שווה שוקיים הוא בעל לפחות שתי צלעות שוות, ולכן שווה צלעות הוא גם מקרה מיוחד של שווה שוקיים. קובעים את הסוג מנתונים או מהוכחה, לא ממראה סימטרי.

דוגמה: זוויותיו של משולש הן 35°, 55° ו־90°. מה סוגו לפי זוויות? מדוע לא ייתכן משולש שזוויותיו כוללות 90° ו־100°?

  1. במשולש הראשון יש זווית של 90°, ולכן הוא ישר־זווית. שתי הזוויות האחרות חדות.
  2. 35° + 55° + 90° = 180°, כך שהנתונים מתאימים למשולש.
  3. 90° + 100° = 190°. סכום זה כבר גדול מ־180°, ולכן זווית שלישית חיובית אינה אפשרית.

תרגול מודרך

זוויותיו של משולש הן 70°, 70° ו־40°. מהו סוגו לפי זוויות?

  • קהה־זווית
  • חד־זוויות
  • ישר־זווית

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתון משולש שאורכי שלוש צלעותיו הם 7 ס״מ, 7 ס״מ ו־7 ס״מ. משתמשים בהגדרה: שווה שוקיים הוא בעל לפחות שתי צלעות שוות. איזה תיאור נכון?

  • שווה צלעות וגם שווה שוקיים
  • שווה צלעות אך אינו שווה שוקיים
  • שונה צלעות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. שווה שוקיים: מזהים ראש ובסיס לפני שמחשבים

אם במשולש ABC נתון AB = AC, השוקיים השוות נפגשות ב־A. לכן A היא זווית הראש, BC הוא הבסיס, ו־B ו־C הן זוויות הבסיס. משפט זוויות הבסיס אומר שבמשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות. אם זווית הראש ידועה, מחסרים אותה מ־180° ומחלקים את היתרה בשתיים. אם זווית בסיס ידועה, גם השנייה שווה לה. שוויון השוקיים צריך להיות נתון או מוכח; מראה המשולש לבדו אינו מספיק.

דוגמה: במשולש ABC נתון AB = AC וגם ∠BAC = 80°. מצאו את זוויות הבסיס.

  1. AB ו־AC נפגשות ב־A, ולכן 80° היא זווית הראש. זוויות הבסיס הן ∠ABC ו־∠ACB.
  2. ממשפט זוויות הבסיס ∠ABC = ∠ACB. סכומן הוא 180° − 80° = 100°.
  3. כל זווית בסיס היא 100°/2 = 50°.
  4. בדיקה: 80° + 50° + 50° = 180°. לא חילקנו את זווית הראש בשתיים, אלא את הסכום שנשאר לבסיס.
נתון שוויון שוקיים; זוויות הבסיס מתקבלות בחישוב80°50°50°ABC
נתון שוויון שוקיים; זוויות הבסיס מתקבלות בחישוב

AB = AC ו־∠BAC = 80° נתונים. שני סימני הצלעות מציינים את השוקיים השוות. כל זווית בסיס היא 50° כמסקנה ממשפט זוויות הבסיס וסכום זוויות המשולש; השרטוט מציג את הדוגמה לאחר הפתרון.

תרגול מודרך

במשולש ABC נתון AB = AC וגם ∠ABC = 65°. מהי זווית הראש ∠BAC?

  • 65°
  • 115°
  • 50°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש PQR נתון PQ = PR וגם ∠QPR = 44°. מהי ∠PQR?

  • 44°
  • 68°
  • 88°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. האם שלוש הצלעות יכולות להיפגש?

שלושה אורכים חיוביים יוצרים משולש רק אם סכום כל שניים גדול ממש מהשלישי. התנאי הזה גם מספיק לקיום משולש. די לבדוק שסכום שני האורכים הקצרים גדול מהארוך, אחרי שבדקנו שכל האורכים חיוביים. שוויון אינו מספיק: כשהאורך הגדול שווה לסכום השניים האחרים, מתקבל קו ישר ולא משולש. אם ידועות צלעות a ו־b, הצלע השלישית צריכה להיות גדולה מהערך המוחלט של ההפרש ביניהן (אפס אם הצלעות שוות) וקטנה מסכומן; הקצוות אינם נכללים.

דוגמה: האם אפשר ליצור משולש ממקלות באורכים 4, 7 ו־10 ס״מ? ומה משתנה אם מחליפים את המקל של 10 ס״מ במקל של 11 ס״מ?

  1. במקרה הראשון כל האורכים חיוביים, והארוך הוא 10. סכום שני האחרים הוא 4 + 7 = 11 > 10, ולכן אפשר ליצור משולש.
  2. במקרה השני 4 + 7 = 11. זהו שוויון ולא אי־שוויון חזק; המקלות נפרשים על קו ישר. לכן אי אפשר ליצור משולש.
  3. באופן כללי, לצד צלעות 4 ו־7, אורך הצלע השלישית x צריך לקיים 3 < x < 11. אין לכלול את 3 או את 11.

תרגול מודרך

איזו משלוש רשימות האורכים יכולה להיות צלעות של משולש? כל האורכים בסנטימטרים.

  • 2, 5, 8
  • 2, 5, 6
  • 2, 5, 7

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

שתי צלעות של משולש הן 6 ס״מ ו־10 ס״מ. איזה מהאורכים הבאים יכול להיות אורך הצלע השלישית?

  • 5 ס״מ
  • 4 ס״מ
  • 16 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. גובה, תיכון וחוצה זווית: שלוש הגדרות שונות

גובה מחבר קודקוד עם הישר שעליו נמצאת הצלע שמולו, וניצב לישר הזה; נקודת המפגש יכולה להיות על הצלע או על המשכה. תיכון מחבר קודקוד עם אמצע הצלע שמולו. חוצה זווית מחלק זווית לשתי זוויות שוות. סימן זווית ישרה מציין ניצבות; שני קטעים שווים מציינים אמצע; שתי זוויות שוות מציינות חציית זווית. במשולש כללי אין להחליף בין התפקידים ללא נימוק נוסף. גובה יוצר זוויות ישרות, ולכן עוזר לזהות את המשולשים שבהם יהיה אפשר להשתמש בהמשך במשפט פיתגורס.

דוגמה: במשולש ABC הנקודה H נמצאת בתוך הצלע BC. נתון AH ⟂ BC, וגם BH = 3 ס״מ ו־HC = 6 ס״מ. האם AH גובה? האם הוא תיכון? אילו משולשים ישרי־זווית נוצרים?

  1. AH יוצא מ־A ומאונך לצלע שמולו, ולכן הוא גובה ל־BC.
  2. BH ו־HC אינם שווים: 3 ≠ 6. לכן H אינה אמצע BC, ו־AH אינו תיכון.
  3. ∠AHB ו־∠AHC הן זוויות ישרות. לכן ABH ו־ACH הם משולשים ישרי־זווית.
  4. אין כאן נתון על חציית זווית A. ניצבות לבסיס אינה מוכיחה חציית זווית.

תרגול מודרך

במשולש ABC הנקודה D נמצאת על BC, ונתון BD = DC. איזה תיאור של AD מובטח מהנתונים בלבד?

  • גובה וגם תיכון
  • חוצה זווית A
  • תיכון לצלע BC

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ABC הנקודה D נמצאת בתוך BC, הקטע AD חוצה את ∠BAC, ו־∠BAC = 64°. איזו מסקנה מובטחת?

  • BD = DC
  • ∠BAD = 32°
  • AD ⟂ BC

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.