קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

חפיפת משולשים: תנאים ומיצוי מקרים

מוכיחים מקרה ישר־זווית, בונים דוגמה נגדית, ובודקים פרמטרים ושקילות של תנאים. המסלול מותאם לנושא ולידע הקודם, ואינו מצהיר על כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

הרחבה לבחירה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/triangle-congruence?target=5

לפני שמתחילים

1. יתר וניצב: מצדיקים בעזרת פיתגורס וצ.צ.צ

בשני משולשים ישרי זווית, שוויון היתר ושוויון ניצב מתאים מספיקים לחפיפה. אפשר להצדיק זאת בלי להשתמש בכלל שגוי של שתי צלעות וכל זווית: אם היתר c והניצב a שווים, הניצב השני החיובי הוא c²−a² בשניהם. לכן גם הזוג השלישי שווה, וצ.צ.צ מוכיח חפיפה. נדרש c>a>0, כדי שהניצב הנוסף יהיה חיובי ויתקבל משולש רגיל.

דוגמה: נתון ∠B=∠E=90° במשולשים ABC ו־DEF, וגם AC=DF=13 ו־AB=DE=5 ס״מ. הוכיחו חפיפה וציינו את ההתאמה.

  1. AC ו־DF הן הצלעות מול הזוויות הישרות, ולכן הן היתרים. AB ו־DE הן ניצבים מתאימים.
  2. מפיתגורס BC²=13²−5²=144 וגם EF²=144. אורכי צלעות חיוביים, ולכן BC=EF=12.
  3. כעת AB=DE, BC=EF, AC=DF: שלושה זוגות שווים, ולכן △ABC ≅ △DEF לפי צ.צ.צ.
  4. הזוויות הישרות חיוניות לחישוב הניצב השלישי. אין להסיק מכאן שכל שתי צלעות וזווית שאינה כלואה מספיקות.

תרגול מודרך

שני משולשים ישרי זווית בעלי יתר 10 ס״מ וניצב 6 ס״מ כל אחד. מהו הנימוק לחפיפתם?

  • הניצב האחר בשניהם 8, ולכן צ.צ.צ
  • ז.ז.ז לבדו מוכיח חפיפה
  • כל משולשים ישרי זווית חופפים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

לשני משולשים ישרי זווית אותו יתר בלבד, בלי נתון על הניצבים. האם חפיפה מובטחת?

  • כן, כי יתר הוא הצלע הארוכה
  • לא, למשל ליתר 5 אפשר לבחור ניצבים 3,4 או ,
  • כן, כי שתי הזוויות הישרות שוות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. דוגמה נגדית מדויקת: זווית לא כלואה

כדי להפריך טענה כללית די להציג מקרה שבו כל הנתונים מתקיימים והמסקנה אינה מתקיימת. נבנה שני משולשים בעלי שתי צלעות שוות בהתאמה ואותה זווית לא־כלואה, אך צלע שלישית שונה. לצורך בדיקת הדוגמה נשתמש בנקודות במישור: מרחק אופקי או אנכי הוא הפרש שיעורים; מרחק אלכסוני מתקבל מפיתגורס. נקודות שנמצאות על אותה קרן יוצרות עם קרן קבועה אותה זווית.

דוגמה: נגדיר A=(0,0), B=(5,0), C=(,), D=(4,3). הוכיחו שהמשולשים ABC ו־ABD אינם חופפים אף ש־AB משותפת, BC=BD ו־∠BAC=∠BAD.

  1. D=(4,3) ו־C=()D, לכן C נמצאת על הקרן AD. מכאן ∠BAC=∠BAD.
  2. AB=5 משותפת. לפי פיתגורס BC²=(5−)²+()²=+=10. גם BD²=(5−4)²+3²=10, ולכן BC=BD=10.
  3. לעומת זאת AC²=()²+()²=9, ולכן AC=3. AD²=4²+3²=25, ולכן AD=5.
  4. לראשון אורכים 5,10,3 ולשני 5,10,5. רשימות האורכים שונות, ולכן אינם חופפים בשום התאמה.
  5. הזווית המשותפת היא ב־A, אבל הצלעות השוות AB ו־BC נפגשות ב־B. לכן זו אינה הזווית הכלואה; הדוגמה אינה סותרת את צ.ז.צ.
אותם שני אורכים ואותה זווית, אך לא חפיפהα532√10√10ABCD
אותם שני אורכים ואותה זווית, אך לא חפיפה

הנקודות הנתונות הן A=(0,0),B=(5,0),C=(,),D=(4,3). כאן C על הקרן AD, ולכן הזווית ב־A משותפת. מחושב: AB=5,BC=BD=10,AC=3,AD=5. הקטע CD=2 מסומן רק כתוצאת החישוב, כדי שהצלע הארוכה AD תוצג בלי קווים חופפים. שני המשולשים ABC ו־ABD אינם חופפים: הצלעות השלישיות3 ו־5 שונות. השוויון BC=BD הוא תוצאה מאומתת בפיתגורס.

תרגול מודרך

בדוגמה A=(0,0),B=(5,0),C=(,),D=(4,3), איזה פרט מונע שימוש בצ.ז.צ עבור AB=AB ו־BC=BD?

  • AB אינה שווה לעצמה
  • הזווית השווה ב־A אינה כלואה בין הצלעות שנבחרו
  • C ו־D אינן באותה קרן מ־A

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בשני משולשים מצאנו צלעות 5,10,3 לעומת 5,10,5. איזו מסקנה תקפה?

  • ייתכן שהם חופפים אם מסובבים מספיק
  • הם חופפים מפני ששני אורכים חוזרים
  • הם אינם חופפים בשום התאמה, כי רשימות האורכים שונות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. פרמטר: בודקים קיום וגם התאמות אפשריות

אם לא נקבע סדר התאמה, חפיפה יכולה להתקיים ביותר מערך פרמטר אחד בגלל החלפת תפקידים בין צלעות. תחילה מוצאים תחום שבו הצלעות יוצרות משולש חיובי. אחר כך מתאימים את כל רשימת האורכים, ולא רק זוג אחד. כשאורך מסוים מופיע פעם אחת בלבד במשולש היעד, הוא קובע איזה אורך מתאים לו. כל מועמד נבדק גם בתחום וגם בכל שלושת האורכים.

דוגמה: צלעות משולש אחד הן x,7−x,5 ס״מ. צלעות משולש שני הן 3,4,5 ס״מ. מצאו את כל ערכי x שעבורם הם חופפים, ללא סדר התאמה שנקבע מראש.

  1. חיוביות דורשת 0<x<7. אי־שוויון המשולש נותן x+5>7−x ולכן x>1, וגם 7−x+5>x ולכן x<6. סכום שתי הצלעות הראשונות 7 גדול מ־5. התחום הוא 1<x<6.
  2. במשולש היעד יש צלע 5 אחת בלבד. הצלע הקבועה 5 מתאימה לה; שתי הצלעות האחרות צריכות להיות 3 ו־4, בשני סדרים אפשריים.
  3. אם x=3 אז 7−x=4. אם x=4 אז 7−x=3. שתי האפשרויות בתחום.
  4. לכן x=3 או x=4, ובכל מקרה מתקבלת אותה רשימת אורכים 3,4,5. צ.צ.צ מוכיח חפיפה. לא נשארה התאמה נוספת שלא נבדקה.

תרגול מודרך

צלעות משולש הן x,9−x,7; צלעות משולש אחר 4,5,7. מהם כל ערכי x שנותנים חפיפה בלי התאמה מוגדרת?

  • x=4 בלבד
  • x=2 או x=7
  • x=4 או x=5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתון AB=x, BC=7−x, AC=5; וגם DE=3,EF=4,DF=5. דורשים דווקא △ABC ≅ △DEF בסדר הזה. מה x?

  • x=3 בלבד
  • x=3 או x=4
  • x=4 בלבד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. אנך אמצעי: מוכיחים כל כיוון בנפרד

אנך אמצעי לקטע BC הוא ישר המאונך ל־BC ועובר באמצעו M. כל נקודה P עליו שווה־מרחק מ־B ומ־C: אם P≠M, המשולשים PMB ו־PMC חופפים בצ.ז.צ, כי PM משותפת, BM=CM ושתי הזוויות ב־M ישרות. גם הכיוון ההפוך נכון: אם PB=PC ו־P אינה על הישר BC, אז חפיפת PMB,PMC בצ.צ.צ נותנת זוויות שוות וצמודות ב־M, ולכן שתיהן 90°. אם P על הישר BC ושווה־מרחק מקצותיו, היא M עצמה, שגם נמצאת על האנך האמצעי. כך מטפלים גם במקרה שבו אין שני משולשים רגילים.

דוגמה: נתון B≠C, ו־M אמצע BC. נקודה P שאינה על הישר BC מקיימת PB=PC. הוכיחו ש־PM מאונך ל־BC, בלי להניח זאת כדי להפעיל צ.ז.צ.

  1. PB=PC מהנתון, BM=CM מהגדרת אמצע, PM=PM צלע משותפת.
  2. לכן △PMB ≅ △PMC לפי צ.צ.צ, בהתאמה P↔P,M↔M,B↔C.
  3. מכאן ∠PMB=∠PMC כזוויות מתאימות. B,M,C על ישר בסדר הזה, ולכן הן גם צמודות וסכומן 180°.
  4. כל זווית 90°, ולכן PM מאונך ל־BC. הניצבות הוכחה בסוף, ולא הונחה בתחילת ההוכחה.

תרגול מודרך

P≠M נמצאת על האנך האמצעי ל־BC, ו־M אמצע BC. איזה משפט מוכיח ישירות △PMB ≅ △PMC?

  • צ.ז.צ: PM משותפת, BM=CM, והזוויות ב־M ישרות
  • צ.צ.צ כי PB=PC כבר נתון
  • ז.ז.ז לבדו

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

B≠C ו־M אמצע BC. במקרה P=M, מה נכון לגבי הטענה PB=PC והאנך האמצעי?

  • הטענה נכשלת כי PM=0
  • PB=PC, ו־P נמצאת על האנך האמצעי; אין להשתמש במשולשים PMB,PMC כי הם מנוונים
  • אפשר להשתמש בצ.ז.צ באותם משולשים רגילים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.