קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

חפיפת משולשים: התאמה ומשפטי חפיפה

מבינים התלכדות, קוראים סדר קודקודים ובוחרים משפט חפיפה לפי הנתונים. המסלול מותאם לנושא ולידע הקודם, ואינו מצהיר על כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

יסודות בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/triangle-congruence?target=3

לפני שמתחילים

1. חופפים: אותה צורה ואותו גודל

שני משולשים חופפים אם אפשר להתאים אותם כך שיתלכדו בדיוק באמצעות הזזה, סיבוב או שיקוף, בלי לשנות גודל. לכן כל הצלעות והזוויות המתאימות שוות. משולש יכול להיות מסובב או הפוך בציור ועדיין להיות חופף. הגדלה שומרת על הזוויות אך בדרך כלל משנה את האורכים, ולכן אינה חפיפה. סימון החפיפה הוא ≅. בהמשך נלמד אילו נתונים מעטים מספיקים להבטיח את כל ההתאמה.

דוגמה: משולש נייר מועתק בלי לשנות גודל. מסובבים את העותק ואז הופכים אותו. האם הוא עדיין חופף למקור? ומה אם מגדילים את כל אורכיו פי 2?

  1. סיבוב ושיקוף אינם משנים אורכים או זוויות, ולכן העותק חופף למקור.
  2. הגדלה פי 2 משנה כל אורך חיובי, ולכן העותק המוגדל אינו חופף למקור.
  3. שוויון הזוויות לבדו אינו מבטיח חפיפה: בהגדלה הן נשארו שוות והצלעות השתנו.
  4. כאשר חפיפה נתונה או מוכחת, אפשר להסיק שוויון של חלקים מתאימים.

תרגול מודרך

איזו פעולה שומרת בהכרח על חפיפת משולש לעצמו?

  • סיבוב בלי שינוי גודל
  • הכפלת כל הצלעות פי 2
  • הארכת צלע אחת בלבד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

שני משולשים שווי צלעות: צלע הראשון 3 ס״מ ושל השני 6 ס״מ. האם הם חופפים?

  • כן, כי בשניהם כל זווית 60°
  • לא, כי אורכי הצלעות שונים
  • כן, כי שניהם שווי צלעות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. סדר הקודקודים הוא חלק מן הטענה

בכתיב △ABC ≅ △DEF האותיות המתאימות הן A↔D, B↔E, C↔F. צלע מתאימה מחברת קודקודים מתאימים, ולכן AB↔DE, BC↔EF, AC↔DF. גם סדר שם הזווית חשוב: ∠ABC מתאימה ל־∠DEF, שהקודקוד שלה E. אין להתאים לפי ימין ושמאל בציור. מותר לשנות את סדר הכתיבה אם משנים בשני המשולשים באותה דרך.

דוגמה: נתון △ABC ≅ △DEF, וגם AB=5, BC=7, AC=8 ס״מ. מצאו את EF ואת DF.

  1. B מתאימה ל־E ו־C ל־F, ולכן BC מתאימה ל־EF. מכאן EF=7 ס״מ.
  2. A מתאימה ל־D ו־C ל־F, ולכן AC מתאימה ל־DF. מכאן DF=8 ס״מ.
  3. הנימוק הוא צלעות מתאימות במשולשים חופפים, ולא מיקום הקווים בציור.
  4. למשל △BCA ≅ △EFD הוא אותו סדר התאמה בכתיבה אחרת.

תרגול מודרך

נתון △PQR ≅ △XYZ. איזו צלע מתאימה ל־PR?

  • XY
  • XZ
  • YZ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתון △ABC ≅ △KLM. איזו זווית מתאימה ל־∠ACB?

  • ∠KLM
  • ∠LKM
  • ∠KML

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. צלע־צלע־צלע: שלושה זוגות באותה התאמה

משפט צלע־צלע־צלע, בקיצור צ.צ.צ, אומר שאם שלוש צלעות במשולש אחד שוות בהתאמה לשלוש צלעות במשולש אחר, המשולשים חופפים. התאמה צריכה להיות עקבית: אותו קודקוד אינו יכול להתאים לשני קודקודים שונים. אחרי החפיפה מותר להסיק שוויון זוויות שלא ניתנו. כשאורכים מוצעים לבנייה, צריך גם לוודא שהם יוצרים משולש ולא קו ישר.

דוגמה: נתון AB=DE=5, BC=EF=6, AC=DF=7 ס״מ. הוכיחו ∠ABC=∠DEF.

  1. רושמים שלושה זוגות: AB=DE, BC=EF, AC=DF, כולם מן הנתון.
  2. ההתאמה היא A↔D, B↔E, C↔F. לכן △ABC ≅ △DEF לפי צ.צ.צ.
  3. ∠ABC ו־∠DEF הן זוויות מתאימות במשולשים החופפים, ולכן הן שוות.
  4. לא הנחנו את שוויון הזוויות כדי להוכיחו; הוא התקבל רק לאחר החפיפה.
שלושה זוגות צלעות קובעים חפיפהββ567567ABCDEF
שלושה זוגות צלעות קובעים חפיפה

נתון: AB=DE=5, BC=EF=6, AC=DF=7 ס״מ. העותק הימני מוצג הפוך בכיוונו כדי להדגיש שההתאמה נקבעת לפי הנתונים: A↔D,B↔E,C↔F. מצ.צ.צ נובעת חפיפה, ולכן גם זוויות B,E שוות. האורכים הם נתונים; הזוויות השוות הן מסקנה.

תרגול מודרך

בשני משולשים AB=PQ, BC=QR, AC=PR. איזה סדר חפיפה מתאים?

  • △ABC ≅ △PRQ
  • △ABC ≅ △QPR
  • △ABC ≅ △PQR

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

לשני משולשים נתונים יש צלעות 4,5,6 ס״מ בכל אחד. מה מובטח?

  • הם חופפים לפי צ.צ.צ
  • רק הזוויות שוות, בלי חפיפה
  • אי אפשר לדעת מפני שהם עשויים להיות מסובבים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. צלע־זווית־צלע: הזווית חייבת להיות כלואה

משפט צלע־זווית־צלע, צ.ז.צ, דורש שני זוגות צלעות שוות ואת הזווית שבין הצלעות האלה שווה בשני המשולשים. הזווית הכלואה נמצאת בקודקוד המשותף לשתי הצלעות. אם נתונות AB ו־AC, הזווית הכלואה היא ∠BAC. זווית אחרת אינה מספיקה למשפט הזה. תמיד רושמים את שלושת הנתונים לפני מסקנת החפיפה.

דוגמה: נתון AB=DE=4, AC=DF=6 ס״מ וגם ∠BAC=∠EDF=50°. הוכיחו BC=EF.

  1. AB=DE ו־AC=DF הם שני זוגות הצלעות הנתונים.
  2. ∠BAC ו־∠EDF נמצאות בין זוגות הצלעות האלה, והן שוות לפי הנתון.
  3. לכן △ABC ≅ △DEF לפי צ.ז.צ.
  4. BC=EF כי אלה צלעות מתאימות במשולשים חופפים. אורכן אינו דרוש להוכחה.

תרגול מודרך

נתון AB=PQ וגם BC=QR. איזה שוויון זוויות ישלים צ.ז.צ באותה התאמה?

  • ∠ABC=∠PQR
  • ∠BAC=∠QPR
  • ∠ACB=∠PRQ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתון AB=DE, AC=DF ו־∠ABC=∠DEF. האם שלושת הנתונים האלה הם צ.ז.צ?

  • כן, די בכל שתי צלעות וזווית
  • לא, הזוויות הנתונות אינן כלואות בין הצלעות הנתונות
  • כן, כי בשני הצדדים מופיעות שלוש אותיות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. זווית־צלע־זווית: מחברים בין שתי התאמות

משפט זווית־צלע־זווית, ז.צ.ז, דורש שתי זוויות שוות בהתאמה והצלע הכלואה ביניהן שווה. בין הזוויות שב־A וב־B נמצאת הצלע AB. אם ניתנו שתי זוויות וצלע מתאימה שאינה כלואה ביניהן, אפשר קודם לחשב את הזווית השלישית בעזרת סכום 180°, ואז לבחור שתי זוויות שהצלע הנתונה כלואה ביניהן. שלוש זוויות בלי שום אורך אינן מספיקות לחפיפה.

דוגמה: נתון ∠A=∠D=40°, ∠B=∠E=70° ו־AB=DE=5 ס״מ במשולשים ABC ו־DEF. הוכיחו AC=DF.

  1. A↔D ו־B↔E לפי הזוויות הנתונות.
  2. AB ו־DE מחברות את קודקודי הזוויות האלה, והן שוות.
  3. לכן △ABC ≅ △DEF לפי ז.צ.ז.
  4. מכאן AC=DF כצלעות מתאימות. גם זוויות C ו־F שוות 70°, אך אין צורך לחשבן כדי להפעיל כאן את המשפט.

תרגול מודרך

במשולשים ABC ו־PQR נתון ∠A=∠P ו־∠C=∠R. איזו צלע תשלים ישירות ז.צ.ז?

  • AB=QR
  • AC=PR
  • BC=PQ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתון ∠A=∠D=35°, ∠B=∠E=65° ו־AC=DF. איזה צעד מאפשר להוכיח חפיפה בז.צ.ז?

  • להסיק חפיפה משלוש זוויות בלבד
  • לקבוע שכל הצלעות שוות בלי משפט
  • לחשב ∠C=∠F=80°, ואז להשתמש בזוויות A,C ובצלע AC

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.