קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

מערכות עם פרמטרים וסיווג פתרונות

חוקרים כיצד פרמטר משנה את הפתרון ואת מספר הפתרונות. מבדילים בין חלוקה מותרת, מקדם שמתאפס ומערכת שאינה מוגדרת; בודקים גם שני ערכים חריגים ושני פרמטרים. זהו מסלול העמקה אלגברי ממוקד, לא כיסוי מלא של בחינת למידה מתקדמת בחטיבה.

הרחבה לבחירה · שתי משוואות קוויות, בחירת שיטה וסיווג פתרונות; חקירה בפרמטרים היא העמקה לבחירה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/systems-of-equations?target=5

לפני שמתחילים

1. פרמטר קבוע, פתרון שתלוי בו

x ו־y הם הנעלמים; a הוא פרמטר ממשי. בכל מערכת קובעים תחילה ערך של a, ואז מחפשים x ו־y עבור אותו ערך. לפעמים אפשר למצוא נוסחה שעובדת לכל a. גם איבר עם פרמטר מעבירים אגף עם שינוי סימן: זהו קיצור לחיבור או לחיסור אותו ביטוי בשני האגפים. כופל מבטלים בחילוק, וחילוק מותר רק בביטוי שאינו אפס. נתחיל במקרה שהחילוק בו הוא במספר קבוע, ולכן אין ערך חריג.

דוגמה: פתרו עבור כל a את 2x + y = a; x − y = 3.

  1. מחברים את שתי המשוואות: 3x = a + 3.
  2. מחלקים ב־3, שאינו אפס: x = .
  3. מן השנייה y = x − 3, ולכן y = − = .
  4. בדיקה כללית: 2x + y = [2(a + 3) + a − 6]/3 = a, וגם x − y = = 3.
  5. לכל a ממשי יש פתרון יחיד. למשל a = 6 נותן (3, 0). אין כאן חלוקה בביטוי שיכול להתאפס.

תרגול מודרך

מהו פתרון המערכת x + y = a + 2; x − y = a − 2 לכל a?

  • (2, a)
  • (a, 2)
  • (a + 2, a − 2)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהו פתרון המערכת 3x + y = a; x − y = 4 לכל a?

  • (, )
  • (, )
  • (, )

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מקדם שמתאפס: מתי נשאר קשר חופשי?

אחרי ביטול נעלם עשוי להתקבל (a − 2)y = 0. מותר לחלק ב־a − 2 רק אם a ≠ 2. קודם מפרידים את המקרה a = 2 ובודקים אותו במשוואות המקוריות. אם שתי המשוואות נעשות תלויות, נשאר קשר אחד בין x ל־y ויש אינסוף זוגות. 0 = 0 אינו אומר שכל זוג מתאים: עדיין חייבים לקיים את הקשר שנותר.

דוגמה: חקרו את x + y = 4; 2x + ay = 8 לכל a.

  1. מחסרים מהשנייה פי 2 מהראשונה: 2x + ay − (2x + 2y) = 8 − 8, לכן (a − 2)y = 0. הגורם y משותף ל־ay ול־2y.
  2. אם a ≠ 2, מחלקים ב־a − 2 ומקבלים y = 0; מן הראשונה x = 4. זהו פתרון יחיד (4, 0).
  3. אם a = 2, השנייה היא 2x + 2y = 8, פי 2 מהראשונה. אין משוואה נוספת שמגבילה את הזוג.
  4. לכן במקרה a = 2 הפתרונות הם (t, 4 − t) לכל t ממשי. למשל (4, 0) ו־(1, 3) מתאימים.
  5. אין ערך של a שעבורו אין פתרון: (4, 0) מתאים תמיד, אך אינו תמיד הפתרון היחיד.

תרגול מודרך

איזה סיווג מתאים ל־x + y = 5; 3x + ay = 15?

  • לכל a יש רק הפתרון (5, 0)
  • אם a = 3 יש אינסוף פתרונות על x + y = 5; אחרת רק (5, 0)
  • אם a = 3 אין פתרון; אחרת רק (5, 0)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

חקרו את x + y = 6; ax + 2y = 12. איזה תיאור מלא נכון?

  • אם a = 2 יש אינסוף פתרונות על x + y = 6; אחרת רק (0, 6)
  • אם a = 2 אין פתרון; אחרת רק (0, 6)
  • לכל a יש רק הפתרון (6, 0)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מקדם אפס ואגף שאינו אפס: אין פתרון

אותו מקדם שמתאפס יכול הפעם להוביל לסתירה. במשוואה (a − 2)y = 2, הערך a = 2 נותן 0 = 2 ולכן אין זוג פתרון. לכל a אחר מותר לחלק ולמצוא זוג יחיד. ההבדל בין אינסוף פתרונות לאפס פתרונות נקבע גם לפי אגף ימין, ולא רק לפי המקדם שהתאפס. תמיד כותבים תנאי ליד נוסחה שיש בה פרמטר במכנה.

דוגמה: חקרו את x + y = 4; 2x + ay = 10 לכל a.

  1. מחסרים מהשנייה פי 2 מהראשונה: (a − 2)y = 2.
  2. אם a = 2 מתקבל 0 = 2. אין פתרון.
  3. אם a ≠ 2, מקבלים y = , ואז x = 4 − . זהו פתרון יחיד.
  4. בדיקה כללית: x + y = 4, וגם 2x + ay = 8 + (a − 2) × = 10, בתנאי a ≠ 2.
  5. למשל a = 3 נותן (2, 2). אין אף ערך של a שנותן כאן אינסוף פתרונות.

תרגול מודרך

באיזה ערך של a אין פתרון למערכת x + y = 3; 4x + ay = 14?

  • 3
  • 4
  • 14

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה סיווג נכון ל־x + y = 5; ax + 3y = 12?

  • אם a = 3 יש אינסוף פתרונות; אחרת פתרון יחיד
  • אם a = 3 אין פתרון; אחרת x = −, y = 5 +
  • לכל a יש פתרון יחיד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. שני ערכים חריגים יכולים לתת מסקנות שונות

בביטול נעלם עשוי להופיע a² − 1. מפרקים אותו כך: (a − 1)(a + 1) = a² − 1, כי האיברים +a ו־−a מתבטלים בכפל. לכן המקדם מתאפס גם ב־a = 1 וגם ב־a = −1. בודקים כל ערך בנפרד במערכת המקורית. צמצום גורם משותף בנוסחה אינו מבטל את הצורך בבדיקה של ערך שבו הגורם היה אפס. כאן נכפול משוואה ב־a לצורך חישוב, אבל נטפל בנפרד בכל המקרים החריגים ונאמת את הזוג המתקבל במקור.

דוגמה: סווגו את פתרונות ax + y = 1; x + ay = 1 לכל a.

  1. כופלים את הראשונה ב־a ומחסרים את השנייה: (a² − 1)x = a − 1.
  2. אם a ≠ 1 וגם a ≠ −1, אפשר לחלק ב־(a − 1)(a + 1) ולקבל x = . מהראשונה y = 1 − ax = .
  3. אם a = 1, שתי המשוואות הן x + y = 1: אינסוף פתרונות (t, 1 − t) לכל t ממשי.
  4. אם a = −1, מתקבלות −x + y = 1 ו־x − y = 1. בחיבור מתקבל 0 = 2: אין פתרון.
  5. לכל a ≠ ±1, בדיקה במקור נותנת ax + y = = 1, וגם x + ay = 1. גם a = 0 מותר, ונותן (1, 1).
  6. הביטוי מוגדר גם ב־a = 1, אך שם הוא מתאר רק זוג אחד מתוך אינסוף. לכן הנוסחה המצומצמת לבדה אינה סיווג מלא.

תרגול מודרך

איזה סיווג מתאים ל־ax + y = 2; x + ay = 2?

  • a = 1: אינסוף; a = −1: אין; אחרת x = y =
  • a = 1: אין; a = −1: אינסוף; אחרת x = y =
  • לכל a ≠ −1 יש פתרון יחיד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה סיווג מתאים ל־ax + y = 1; x + ay = −1?

  • a = 1: אינסוף; a = −1: אין; אחרת פתרון יחיד
  • a = 1: אין; a = −1: אינסוף על y = x + 1; אחרת x = , y = −
  • בשני הערכים a = ±1 אין פתרון

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. מערכת שאינה מוגדרת לעומת מערכת סותרת

אם פרמטר נמצא במכנה, תחילה קובעים לאילו ערכי פרמטר המערכת מוגדרת. למשל דורש a ≠ 1, בלי קשר לערך x. עבור a = 1 הביטוי אינו מוגדר, ולכן ערך הפרמטר אינו בתחום השאלה; אין לסווג אותו כסתירה שנוצרה מחיסור משוואות תקפות. רק בתחום המותר מסירים מכנים, ואז ייתכנו ערכים חריגים נוספים בגלל מקדם שמתאפס. את ההגבלה המקורית שומרים גם לאחר הכפל.

דוגמה: חקרו את + y = 2; x + y = 2.

  1. תחילה a ≠ 1. עבור a = 1 המערכת המקורית אינה מוגדרת.
  2. בתחום המותר כופלים את הראשונה ב־a − 1: x + (a − 1)y = 2(a − 1).
  3. מחסרים ממנה את השנייה: (a − 2)y = 2(a − 2).
  4. אם a ≠ 1 וגם a ≠ 2, מחלקים ב־a − 2 ומקבלים y = 2, ואז x = 0. בדיקה במקור: + 2 = 2.
  5. אם a = 2, שתי המשוואות המקוריות הן x + y = 2, ולכן יש אינסוף פתרונות (t, 2 − t).
  6. סיכום: a = 1 אינו בתחום; a = 2 נותן אינסוף זוגות; כל ערך אחר נותן רק (0, 2). אין להתיר מחדש a = 1 מפני שהמכנה נעלם בחישוב.

תרגול מודרך

איזה סיווג נכון ל־ + y = 1; x + y = 1?

  • a = 2 אינו בתחום; a = 3 נותן אינסוף; אחרת רק (0, 1)
  • a = 3 אינו בתחום; a = 2 נותן אינסוף; אחרת רק (0, 1)
  • לכל a יש רק הפתרון (0, 1)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה סיווג נכון ל־ + y = 3; x + y = 3?

  • a = −1 נותן אינסוף; a = 0 אינו בתחום; אחרת רק (0, 3)
  • a = −1 אינו בתחום; a = 0 נותן אינסוף; אחרת רק (0, 3)
  • a = 0 נותן פתרון יחיד (0, 3); לכל ערך אחר אין פתרון

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

6. מסכמים חקירה: גם המקדם וגם אגף ימין קובעים

כאשר יש שני פרמטרים a ו־b, שניהם מספרים ממשיים שקובעים לפני פתרון x ו־y. בונים עץ מקרים: קודם בודקים מתי המקדם שנותר אחרי ביטול שווה לאפס. אם הוא אינו אפס, מוצאים זוג יחיד. אם הוא אפס, בודקים את אגף ימין: גם הוא אפס נותן קשר שנותר עם אינסוף פתרונות במערכות כאן; אגף שאינו אפס נותן סתירה. כותבים מקרים שאינם חופפים ומכסים את כל אפשרויות הפרמטרים.

דוגמה: סווגו את פתרונות x + y = b; ax + 2y = 6 לפי a ו־b.

  1. מחסרים מהשנייה פי 2 מהראשונה: (a − 2)x = 6 − 2b.
  2. אם a ≠ 2, יש פתרון יחיד: x = , ואז y = b − x = . התנאי הזה מספיק לכל b ממשי.
  3. אם a = 2, מתקבל 0 = 6 − 2b. כשהפרמטר b = 3, זו זהות ונשאר x + y = 3: אינסוף פתרונות (t, 3 − t).
  4. אם a = 2 אבל b ≠ 3, אגף ימין אינו אפס ולכן אין פתרון.
  5. בדיקת הנוסחה במקרה היחיד: x + y = [6 − 2b + ab − 6]/(a − 2) = b, וכן ax + 2y = 6.
  6. כך ההבחנה באגף ימין משלימה את הבדיקה של המקדם: אותו a = 2 יכול להוביל לאפס או לאינסוף פתרונות, לפי b.

תרגול מודרך

לאילו ערכי a ו־b יש אינסוף פתרונות למערכת x + y = b; 3x + ay = 12?

  • a = 4, b = 3
  • a = 3, b = 4
  • a = 3 וכל b

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה סיווג מלא נכון למערכת x + y = b; ax + 4y = 8?

  • a ≠ 4: יחיד; a = 4 ו־b = 2: אינסוף; a = 4 ו־b ≠ 2: אין
  • a ≠ 4: יחיד; a = 4 וכל b: אינסוף
  • a ≠ 4: אין; a = 4 ו־b = 2: יחיד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.