קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

מערכות משוואות: בחירת שיטה ומספר הפתרונות

פותחים סוגריים, מסירים מכנים מספריים ובונים מקדמים מתאימים לביטול נעלם. ממשיכים למערכות עם פתרון יחיד, בלי פתרון או עם אינסוף זוגות פתרון, ולבעיה מילולית בכמויות לא שלמות. זהו מסלול ממוקד, לא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · שתי משוואות קוויות, בחירת שיטה וסיווג פתרונות; חקירה בפרמטרים היא העמקה לבחירה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/systems-of-equations?target=4

לפני שמתחילים

1. מסדרים כל משוואה לפני בחירת השיטה

לפני שמציבים או מחברים, מביאים כל משוואה לצורה ax + by = c, כאשר a ו־b הם המקדמים ו־c הוא האיבר החופשי. בפתיחת סוגריים מכפילים כל איבר בכופל שמחוץ לסוגריים. בפרט, מינוס לפני סוגריים הוא כפל ב־−1: −(y − 2) = −y + 2. מעבירים איבר מחובר או מחוסר אגף עם שינוי סימן, מפני שמבצעים חיבור או חיסור זהה בשני האגפים. אחרי הסידור רואים איזו שיטה קצרה יותר.

דוגמה: פתרו את 2(x + y) − y = 13; 3x − (y − 2) = 4.

  1. בראשונה פותחים סוגריים ומרכזים: 2x + 2y − y = 13, ולכן 2x + y = 13.
  2. בשנייה פותחים את המינוס: 3x − y + 2 = 4. מעבירים +2 כ־−2 ומקבלים 3x − y = 2.
  3. כעת נוח לחבר: 5x = 15, ולכן x = 3.
  4. מציבים בראשונה המסודרת: 6 + y = 13, ולכן y = 7.
  5. בודקים במקור, כולל הסוגריים: 2(3 + 7) − 7 = 13 וגם 3 × 3 − (7 − 2) = 4.

תרגול מודרך

פתרו את 3(x + y) − 2y = 17; 2x − (y − 1) = 4. מהו הזוג (x, y)?

  • (5, 4)
  • (4, 5)
  • (3, 8)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו את 2(x − y) + 3y = 16; 4x − (y + 1) = 7. מהו הזוג (x, y)?

  • (4, 8)
  • (8, 4)
  • (3, 10)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מסירים מכנים בלי להשמיט איברים

כשיש מכנים מספריים שאינם אפס, אפשר לכפול כל משוואה במכנה משותף מתאים לה. אין צורך באותו כופל בשתי המשוואות. הכופל חייב להכפיל את כל האיברים בשני האגפים. למשל, כפל של ב־6 נותן 3(x − 1), ולכן חשוב לשמור סוגריים. הכפל במספר שאינו אפס שומר על אותם פתרונות; אין כאן ערכי x או y אסורים בגלל מכנים קבועים.

דוגמה: פתרו את + = 4; − = −1.

  1. כופלים את המשוואה הראשונה ב־6: 3x + 2y = 24.
  2. כופלים את השנייה ב־12: 3x − 4y = −12. גם אגף ימין הוכפל ב־12.
  3. מחסרים את המשוואה השנייה מהראשונה: (3x + 2y) − (3x − 4y) = 24 − (−12).
  4. פותחים את סימן המינוס ומקבלים 6y = 36, ולכן y = 6.
  5. מציבים במקור: + 2 = 4, ולכן x = 4. בדיקה בשנייה: − = 1 − 2 = −1. הפתרון (4, 6).

תרגול מודרך

פתרו את + = 5; − = −2. מהו הזוג (x, y)?

  • (6, 6)
  • (3, 8)
  • (12, 2)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו את + = 5; x − y = 1. מהו הזוג (x, y)?

  • (6, 5)
  • (7, 6)
  • (8, 7)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. בונים מקדמים נגדיים או שווים

אם המקדמים אינם מתבטלים מיד, כופלים משוואה אחת או את שתיהן במספרים שאינם אפס. כדי לחבר, יוצרים מקדמים נגדיים; כדי לחסר, יוצרים מקדמים שווים. מכפילים תמיד גם את האגף השני. חיסור של משוואה הוא חיבור של הנגדית שלה, ולכן כל האיברים במשוואה המחוסרת משנים סימן יחד. שומרים משוואה מקורית לצורך מציאת הנעלם השני.

דוגמה: פתרו את 3x + 2y = 16; 5x − 3y = 14.

  1. נבטל את y: כופלים את הראשונה ב־3 ומקבלים 9x + 6y = 48.
  2. כופלים את השנייה ב־2 ומקבלים 10x − 6y = 28.
  3. מחברים: 19x = 76, ולכן x = 4.
  4. מציבים בראשונה המקורית: 12 + 2y = 16. מעבירים 12 ומחלקים ב־2: y = 2.
  5. בדיקה: 3 × 4 + 2 × 2 = 16 וגם 5 × 4 − 3 × 2 = 14. הפתרון (4, 2).

תרגול מודרך

פתרו את 2x + 3y = 17; 3x − 2y = 6. מהו הזוג (x, y)?

  • (3, 4)
  • (4, 3)
  • (5, 2)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו את 4x − 3y = 11; 2x + 5y = 25. מהו הזוג (x, y)?

  • (5, 3)
  • (3, 5)
  • (4, 1)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. פתרון יחיד, סתירה או אינסוף זוגות

לא כל מערכת נותנת זוג יחיד. אם אחרי ביטול נעלמים מתקבל שוויון כוזב, כמו 0 = 1, אין פתרון משותף. אם מתקבל 0 = 0 ושתי המשוואות מבטאות אותו קשר, יש אינסוף זוגות שמקיימים את הקשר שנותר. אין פירוש הדבר שכל זוג אפשרי מתאים. למשל x + y = 5 נותן (t, 5 − t) לכל מספר ממשי t. האות t כאן היא בחירה חופשית לתיאור הזוגות. כששני קשרים בלתי תלויים קובעים x וגם y, מתקבל פתרון יחיד.

דוגמה: השוו שלוש מערכות שהמשוואה הראשונה שלהן היא x + y = 5: בשנייה מופיע 2x + 2y = 10, או 2x + 2y = 11, או x − y = 1.

  1. אם השנייה היא 2x + 2y = 10, מחסרים ממנה פעמיים את הראשונה ומקבלים 0 = 0. שתי המשוואות אומרות אותו דבר.
  2. במקרה זה יש אינסוף פתרונות: (t, 5 − t) לכל t ממשי. לדוגמה (0, 5) ו־(2, 3); הזוג (0, 0) אינו מתאים.
  3. אם השנייה היא 2x + 2y = 11, אותו חיסור נותן 0 = 1. זו סתירה, ולכן אין פתרון.
  4. אם השנייה היא x − y = 1, חיבור לראשונה נותן 2x = 6. אז x = 3 ו־y = 2, וזה פתרון יחיד.

תרגול מודרך

מהם פתרונות המערכת x − 2y = 3; 3x − 6y = 9?

  • אין פתרון
  • פתרון יחיד (3, 0)
  • אינסוף פתרונות: (3 + 2t, t) לכל t ממשי

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

כמה פתרונות יש למערכת 2x + y = 4; 6x + 3y = 13?

  • פתרון יחיד
  • אינסוף פתרונות
  • אין פתרון

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. מתרגמים כמויות שאינן בהכרח שלמות

בבעיית משקל או נפח הכמויות יכולות להיות שבריות. מגדירים את היחידות: אם x הוא משקל בקילוגרמים והמחיר לקילוגרם הוא 24 שקלים, המחיר הכולל הוא 24x שקלים. משוואת הכמות ומשוואת המחיר מתארות דברים שונים, ושתיהן נחוצות. התוצאה צריכה להיות לא שלילית ומתאימה לסך הנתון, אך אינה חייבת להיות שלמה כמו מספר כרטיסים.

דוגמה: תערובת במשקל 3.5 קילוגרם מכילה שיבולת שועל במחיר 24 שקלים לקילוגרם ואגוזים במחיר 40 שקלים לקילוגרם. עלות החומרים 104 שקלים. מה משקל כל מרכיב?

  1. נסמן x קילוגרם שיבולת שועל ו־y קילוגרם אגוזים. נכתוב x + y = 3.5 ו־24x + 40y = 104.
  2. כופלים את משוואת המשקל ב־24: 24x + 24y = 84.
  3. מחסרים אותה ממשוואת המחיר: 16y = 20, לכן y = = 1.25.
  4. מכאן x = 3.5 − 1.25 = 2.25. אלו כמויות חיוביות של משקל ולכן השברים מותרים.
  5. בדיקה: 2.25 + 1.25 = 3.5; העלות 24 × 2.25 + 40 × 1.25 = 54 + 50 = 104 שקלים.

תרגול מודרך

ערבבו 2.5 ליטר משני שמנים: x ליטר במחיר 18 שקלים לליטר ו־y ליטר במחיר 30 שקלים לליטר. העלות 57 שקלים. מהו הזוג (x, y)?

  • (1, 1.5)
  • (1.5, 1)
  • (2, 0.5)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

תערובת של 4.5 קילוגרם כוללת x קילוגרם ממוצר שעולה 30 שקלים לקילוגרם ו־y קילוגרם ממוצר שעולה 50 שקלים לקילוגרם. העלות 177 שקלים. מהו הזוג (x, y)?

  • (2.1, 2.4)
  • (3, 1.5)
  • (2.4, 2.1)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.