קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

דמיון משולשים: תנאים, משפטים הפוכים וקיום

מצדיקים משפטי דמיון, מוכיחים את הכיוון ההפוך למקבילות ובודקים תחומים וכל התאמות אפשריות. המסלול מותאם לנושא ולידע הקודם, ואינו מצהיר על כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

הרחבה לבחירה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/similar-triangles?target=5

לפני שמתחילים

1. מצדיקים את משפטי הדמיון בעזרת הגדלה וחפיפה

צ.צ.צ לדמיון דורש שלושה יחסי צלעות שווים באותה התאמה. צ.ז.צ לדמיון דורש שני יחסי צלעות שווים ואת הזווית הכלואה ביניהן שווה. אפשר להצדיק את שני המשפטים כך: מגדילים את המשולש הראשון ביחס החיובי הנתון. בהגדלה הזוויות נשמרות; הצלעות שנבחרו נהיות שוות למתאימות במשולש השני. כעת מוכיחים חפיפה באמצעות צ.צ.צ או צ.ז.צ. מכאן המשולש המקורי דומה לשני. זווית שאינה כלואה אינה מקיימת את הדרישה של צ.ז.צ.

דוגמה: ב־△ABC וב־△DEF נתון AB=3, AC=5, DE=6, DF=10 ס״מ ו־∠BAC=∠EDF=60°. נמקו דמיון דרך הגדלה וחפיפה.

  1. ==2 וגם ==2. הזוויות הנתונות כלואות בין זוגות הצלעות האלה.
  2. נגדיל את ABC פי 2 ונקרא לעותק A′B′C′. אז A′B′=6, A′C′=10 ו־∠B′A′C′=60°.
  3. △A′B′C′ חופף ל־△DEF לפי צ.ז.צ: שתי הצלעות והזווית הכלואה שוות.
  4. ABC דומה לעותקו המוגדל, ולכן △ABC ∼ △DEF. זה מצדיק כאן את צ.ז.צ לדמיון, בלי להניח מראש את שוויון הזוויות האחרות.

תרגול מודרך

נתון ==3. איזה נתון מאפשר להגדיל את ABC ואז להוכיח חפיפה ל־DEF לפי צ.ז.צ?

  • ∠ABC=∠DEF
  • ∠ACB=∠DFE
  • ∠BAC=∠EDF

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

לשני משולשים צלעות 3,4,5 ו־6,8,11 ס״מ. האם הם דומים, כשלא הוגדרה התאמה מראש?

  • כן, כי שני יחסים שווים ל־2
  • לא; אחרי סידור הצלעות לפי גודל, היחס השלישי שונה
  • כן, כי לכל משולש שלוש צלעות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מהיחסים אל המקבילות: מוכיחים את הכיוון ההפוך

מקבילות של DE ו־BC יוצרת דמיון כאשר D,E פנימיות ל־AB,AC. בכיוון ההפוך אסור להניח מקבילות כדי להוכיח אותה. אם =, הזווית הכלואה ב־A משותפת, ולכן △ADE ∼ △ABC לפי צ.ז.צ לדמיון. מן הדמיון מתקבל ∠ADE=∠ABC. לפי המשפט ההפוך על זוויות מתאימות, שוויון הזוויות הללו מוכיח DE ∥ BC. המיקום בתוך הצלעות מבטיח שאנו משתמשים באותן קרניים ובזוויות המתאימות הנכונות.

דוגמה: ב־△ABC הנקודות D,E פנימיות ל־AB,AC בהתאמה. נתון AD=4, DB=6, AE=6, EC=9 ס״מ. הוכיחו DE ∥ BC.

  1. AB=4+6=10 ו־AC=6+9=15 ס״מ. לכן == וגם ==.
  2. ∠DAE=∠BAC כי D,E על הקרניים AB,AC. זו הזווית הכלואה בין שני זוגות הצלעות שהשווינו.
  3. לכן △ADE ∼ △ABC לפי צ.ז.צ לדמיון, בלי להשתמש במקבילות.
  4. מן הדמיון ∠ADE=∠ABC. אלו זוויות מתאימות ביחס לחותך AB, ולכן לפי המשפט ההפוך DE ∥ BC.
  5. החצים בשרטוט מציגים את המסקנה אחרי ההוכחה; הם אינם נתון ששימש לה.
המקבילות היא מסקנה מן היחסים4669ABCDE
המקבילות היא מסקנה מן היחסים

נתון D בתוך AB ו־E בתוך AC, עם AD=4, DB=6, AE=6, EC=9 ס״מ. היחסים == והזווית המשותפת ב־A מוכיחים דמיון בצ.ז.צ. חצי המקבילות מוצגים כתוצאה שהוכחה לאחר מכן: DE ∥ BC. אין כאן נתון מוקדם של מקבילות, ואין שימוש בו כדי להוכיח את עצמו.

תרגול מודרך

D,E פנימיות ל־AB,AC. נתון =. מהו הנימוק הישיר לדמיון לפני שמוכיחים מקבילות?

  • צ.ז.צ לדמיון עם זווית A המשותפת
  • ז.ז מפני ש־DE ∥ BC כבר הוכח מתוך הציור
  • שוויון שטחים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

D,E פנימיות ל־AB,AC. נתון AD=3, DB=6, AE=4, EC=8 ס״מ. מה ניתן להוכיח?

  • DE ∥ BC, כי = וזווית A משותפת
  • DE אינו מקביל ל־BC כי 3 אינו שווה ל־4
  • אין דרך לדעת בלי שוויון אורכים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. פתרון אלגברי חייב להתאים למיקום הנקודות

כאשר נקודה נתונה בתוך צלע, המרחק שלה מהקודקוד גדול מ־0 וקטן מאורך הצלע. לפני פתרון משוואת דמיון רושמים את תחום הפרמטר מתוך כל תנאי המיקום. פתרון של המשוואה מחוץ לתחום אינו פתרון גאומטרי. לעומת זאת, אם הפתרון בתחום והיחסים שווים, הכיוון ההפוך שהוכחנו מבטיח מקבילות, ולכן בדיקת התחום יחד עם ההוכחה מספיקה גם לקיום.

דוגמה: ב־△ABC נתון AB=12 ו־AC=18 ס״מ. D בתוך AB ו־E בתוך AC, עם AD=x ו־AE=x+2 ס״מ. מצאו את כל ערכי x שעבורם DE ∥ BC.

  1. D פנימית מחייבת 0<x<12. E פנימית מחייבת 0<x+2<18, כלומר −2<x<16. התחום המשותף הוא 0<x<12.
  2. אם DE ∥ BC, הדמיון מחייב =.
  3. כופלים את שני האגפים ב־36: 3x=2(x+2)=2x+4. מחסרים 2x משני האגפים ומקבלים x=4.
  4. x=4 בתחום; אז AD=4 ו־AE=6, ולכן D,E אכן פנימיות. שני יחסי החלק לשלם שווים ל־.
  5. בכיוון ההפוך, השוויון וזווית A המשותפת נותנים דמיון בצ.ז.צ ומכאן מקבילות. לכן x=4 הוא פתרון קיים ויחיד.

תרגול מודרך

AB=10, AC=15 ס״מ. D,E בתוך AB,AC, עם AD=x ו־AE=x+3. איזה ערך נותן DE ∥ BC?

  • x=6, והוא בתחום
  • x=−6, והוא בתחום
  • אין פתרון בתחום

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

AB=8, AC=12 ס״מ. D,E בתוך AB,AC, עם AD=x ו־AE=x−2. האם יש x שעבורו DE ∥ BC?

  • כן, x=4
  • כן, x=−4
  • אין ערך בתחום; המשוואה נותנת x=−4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. יחס שטחים הוא תוצאה, ואינו הוכחת דמיון

אם דמיון הוכח ויחס האורכים הוא k>0, אז יחס השטחים הוא k², כי גם הבסיס וגם הגובה מוכפלים ב־k. הכיוון ההפוך אינו נכון לבדו: אפשר לשנות את הבסיס ואת הגובה בכיוונים שונים ולשמור על אותה מכפלה ועל אותו שטח, אך לשנות את הצורה. כדי להשתמש בשורש יחס השטחים לחישוב צלע או היקף, חייבים תחילה נתון דמיון או הוכחת דמיון עצמאית.

דוגמה: למשולש ישר־זווית אחד ניצבים 3,4 ס״מ. לשני ניצבים 2,6 ס״מ. הראו ששטחיהם שווים אך הם אינם דומים.

  1. שטח הראשון 3·=6 סמ״ר, ושטח השני 2·=6 סמ״ר. לכן יחס השטחים 1.
  2. מפיתגורס, היתר הראשון 5 ס״מ והיתר השני 40 ס״מ, הגדול מ־6.
  3. רשימות הצלעות בסדר עולה הן 3,4,5 ו־2,6,40. דמיון חיובי שומר על סדר הגודל של הצלעות.
  4. שני היחסים הראשונים בכיוון מהראשון לשני הם ו־=, והם שונים. לכן אין דמיון בשום התאמה.
  5. הדוגמה מפריכה את הטענה ששוויון שטחים מבטיח דמיון. אין להסיק k=1 רק מפני שיחס השטחים 1.

תרגול מודרך

שני משולשים דומים, ויחס שטח השני לראשון הוא . היקף הראשון 24 ס״מ. מה היקף השני?

  • 54 ס״מ
  • 36 ס״מ
  • 16 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתון רק ששטחי שני משולשים שווים. מה אפשר להסיק על דמיון?

  • הם בהכרח דומים ביחס 1
  • הם בהכרח אינם דומים
  • אין מספיק מידע: ייתכן דמיון וייתכן שלא

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. כשלא נקבע סדר התאמה, בודקים את כל המקרים

בדמיון ללא סדר התאמה אין להחליט מראש איזו צלע מתאימה לאיזו. אפשר למצוא קודם את יחס הדמיון מההיקפים, מפני שבכל התאמה היקף היעד הוא k כפול היקף המקור. לאחר מכן מחשבים את כל רשימת האורכים הנדרשת ביעד ובודקים את כל הסדרים האפשריים. תחום קיום המשולש חשוב: כל צלע חיובית וסכום כל שתי צלעות גדול ממש מהשלישית. שוויון יוצר משולש מנוון ואינו מותר.

דוגמה: צלעות משולש אחד הן 3,4,5 ס״מ. מוצע משולש שני שצלעותיו x,14−x,10 ס״מ. מצאו את כל ערכי x שעבורם יש משולש שני הדומה לראשון, בלי סדר התאמה נתון.

  1. חיוביות נותנת 0<x<14. אי־שוויון x+10>14−x נותן x>2; והאי־שוויון 14−x+10>x נותן x<12. התנאי x+(14−x)>10 מתקיים תמיד. לכן תחום הקיום הוא 2<x<12.
  2. היקף הראשון 12 והיקף השני 24 בכל x. אם יש דמיון, היחס מהראשון לשני מוכרח להיות k==2.
  3. לכן רשימת צלעות השני חייבת להיות 6,8,10. הצלע הקבועה 10 תואמת ל־5, ושתי האחרות יכולות להחליף תפקידים.
  4. מקרה ראשון: x=6 ואז 14−x=8. מקרה שני: x=8 ואז 14−x=6. שתי האפשרויות בתחום.
  5. בכל מקרה שלושת היחסים שווים ל־2, ולכן צ.צ.צ לדמיון מוכיח קיום. אלו כל האפשרויות, כי קבענו את היחס ואת כל רשימת הצלעות.

תרגול מודרך

למשולש הראשון צלעות 4,5,7. מוצע משולש שני בצלעות x,18−x,14. מהם כל ערכי x שנותנים דמיון ללא התאמה נתונה?

  • x=8 בלבד
  • x=8 או x=10
  • x=4 או x=5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתון AB=x, BC=14−x, AC=10; וגם DE=3, EF=4, DF=5. דורשים דווקא △ABC ∼ △DEF בסדר הזה. מהם ערכי x?

  • x=6 בלבד
  • x=6 או x=8
  • x=8 בלבד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.