קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

דמיון משולשים: מקבילים ויחסי שטחים

מנמקים חיתוך מקביל, פותרים יחסים עם חלקים חסרים ועוברים בין יחסי אורך ושטח. המסלול מותאם לנושא ולידע הקודם, ואינו מצהיר על כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/similar-triangles?target=4

לפני שמתחילים

1. מקביל יוצר התאמה שאפשר לנמק

לפני חישוב משתמשים בזוויות כדי להוכיח דמיון. אם D בתוך AB, E בתוך AC ו־DE ∥ BC, אז ∠DAE=∠BAC מפני שהקרניים זהות, וגם ∠ADE=∠ABC כזוויות מתאימות בין ישרים מקבילים. לכן △ADE ∼ △ABC לפי ז.ז, בהתאמה A↔A, D↔B, E↔C. מכאן ==. אלו יחסי קטן חלקי גדול; בכיוון ההפוך הופכים את שלוש המנות יחד.

דוגמה: ב־△ABC הנקודות D,E נמצאות בתוך AB,AC בהתאמה, ו־DE ∥ BC. הוכיחו דמיון ורשמו שלושה יחסי קטן לגדול.

  1. ∠DAE=∠BAC: D על הקרן AB ו־E על הקרן AC, ולכן זו אותה זווית A.
  2. ∠ADE=∠ABC: DE ∥ BC ו־AB חותך את שני הישרים, ולכן זוויות מתאימות שוות.
  3. לכן △ADE ∼ △ABC לפי ז.ז. ההתאמה היא A↔A, D↔B, E↔C.
  4. היחסים באותו כיוון הם ==. אין לערבב אותם עם .

תרגול מודרך

D בתוך AB, E בתוך AC ו־DE ∥ BC. איזה שוויון זוויות מצטרף לזווית A כדי להוכיח △ADE ∼ △ABC?

  • ∠ADE=∠ABC
  • ∠ADE=∠ACB
  • ∠DAE=∠ABC

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

לאחר שהוכח △ADE ∼ △ABC בסדר הזה, איזו שרשרת יחסים נכונה?

  • ==
  • ==
  • ==

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מבדילים בין הצלע השלמה לשארית

כאשר D בתוך AB, הצלע AB מורכבת מ־AD ומ־DB, ולכן AB=AD+DB. בדמיון △ADE ∼ △ABC משווים AD ל־AB כולה; הקטע DB הוא רק השארית, ולא צלע של אחד משני המשולשים האלה. אחרי שמחשבים חלק מתאים, אפשר לחסר אותו מהשלם כדי למצוא שארית. בכל חישוב כותבים קודם את שם הקטע המבוקש כדי שלא להחליף בין חלק לבין שלם.

דוגמה: D בתוך AB, E בתוך AC ו־DE ∥ BC. נתון AD=3, DB=6, BC=12 ס״מ. מצאו DE.

  1. מן המקבילות וזווית A המשותפת מתקבל △ADE ∼ △ABC לפי ז.ז.
  2. AB=AD+DB=3+6=9 ס״מ. הצלע השלמה היא 9, ולא 6.
  3. יחס קטן חלקי גדול הוא ==.
  4. =, ולכן DE==4 ס״מ. בדיקה: =.
AD מתאימה לכל AB, ולא לשארית DB36124ABCDE
AD מתאימה לכל AB, ולא לשארית DB

נתון D בתוך AB, E בתוך AC, DE ∥ BC, וכן AD=3, DB=6, BC=12 ס״מ. החצים מסמנים מקבילות נתונה. AB=9 הוא סכום שני חלקיה; DE=4 הוא אורך שהתקבל לאחר הוכחת הדמיון וחישוב היחס . השרטוט מציג את התוצאה אחרי הפתרון.

תרגול מודרך

D בתוך AB, E בתוך AC, DE ∥ BC. נתון AD=4, DB=6, AC=15 ס״מ. מה AE?

  • 10 ס״מ
  • 6 ס״מ
  • 9 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

D בתוך AB, E בתוך AC, DE ∥ BC. נתון AD=2, DB=4, AC=15 ס״מ. מה EC?

  • 5 ס״מ
  • 7.5 ס״מ
  • 10 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. המשוואה כוללת גם את החלק החסר

לפעמים הצלע השלמה עצמה כוללת את הנעלם. אם AD=x ו־DB=6, אז AB=x+6. יחס נכתב , ולא . תחום גאומטרי מתחיל באורכים חיוביים. מותר לכפול את שני אגפי המשוואה במכנה רק כשהוא אינו אפס; בתחום החיובי זה מתקיים. אחרי הפתרון מציבים גם ביחס וגם באורכי הקטעים.

דוגמה: D בתוך AB, E בתוך AC ו־DE ∥ BC. נתון AE=4, EC=6 ו־DB=6 ס״מ. מצאו AD.

  1. נסמן AD=x>0. אז AB=x+6 וגם AC=AE+EC=10 ס״מ.
  2. מן הדמיון ==. כאן x+6>0, ולכן המכנה אינו אפס.
  3. כופלים את שני האגפים ב־5(x+6): מתקבלת המשוואה השקולה 5x=2(x+6)=2x+12.
  4. מחסרים 2x משני האגפים: 3x=12. מחלקים את שני האגפים ב־3: x=4.
  5. AD=4 ו־AB=10, ולכן ==. כל הקטעים חיוביים והנקודות אכן יכולות להיות פנימיות.

תרגול מודרך

D בתוך AB, E בתוך AC, DE ∥ BC. נתון AE=3, EC=6, DB=8 ס״מ ו־AD=x. איזו משוואה מתאימה?

  • =
  • =
  • =

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

D בתוך AB, E בתוך AC, DE ∥ BC. נתון AE=6, EC=3, DB=4 ס״מ. מה AD?

  • 2 ס״מ
  • 6 ס״מ
  • 8 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. שטח משתנה בריבוע יחס האורכים

שטח משולש הוא בסיס כפול הגובה לאותו בסיס חלקי 2. בדמיון גם הבסיס וגם הגובה המתאים מוכפלים ב־k, ולכן השטח מוכפל ב־k²: =k²·(). הגובה הוא אורך מתאים, גם אם אינו אחת הצלעות. אם הקטן הוא חלק יחסי r מן הגדול באורכים, הוא חלק r² ממנו בשטח. מציינים במפורש איזו צורה נמצאת במונה.

דוגמה: ב־△ABC הנקודות D,E פנימיות ל־AB,AC, ו־DE ∥ BC. נתון = ושטח ABC הוא 54 סמ״ר. מצאו את שטח ADE ואת שטח המרובע DBCE.

  1. המשולשים ADE ו־ABC דומים לפי ז.ז. יחס האורכים קטן חלקי גדול הוא .
  2. יחס השטחים באותו כיוון הוא ()²=.
  3. שטח ADE=()·54=24 סמ״ר.
  4. המרובע DBCE הוא השארית של ABC אחרי הסרת ADE. שטחו 54−24=30 סמ״ר.
  5. השארית אינה משולש דומה ל־ABC, ולכן מצאנו את שטחה בחיסור ולא בהפעלת יחס דמיון עליה.

תרגול מודרך

שני משולשים דומים. יחס האורכים מהקטן לגדול הוא 3, ושטח הקטן 7 סמ״ר. מה שטח הגדול?

  • 21 סמ״ר
  • 63 סמ״ר
  • 28 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

D,E פנימיות ל־AB,AC ו־DE ∥ BC. נתון = ושטח ABC הוא 80 סמ״ר. מה שטח DBCE?

  • 20 סמ״ר
  • 40 סמ״ר
  • 60 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. משטח לאורך: שורש חיובי ובדיקת הכיוון

כשדמיון כבר ידוע, יחס שטחים נתון הוא k². כדי למצוא את יחס האורכים מוציאים שורש חיובי, משום שאורכי צלעות חיוביים. לאחר מכן אפשר להשתמש ב־k לצלעות, לגבהים ולהיקפים. אם נתון גם שטח השארית בין משולש פנימי לגדול, קודם מחברים כדי למצוא את שטח המשולש הגדול כולו. שוויון שטחים כשלעצמו אינו מוכיח דמיון.

דוגמה: D,E פנימיות ל־AB,AC ו־DE ∥ BC. שטח ADE הוא 16 סמ״ר ושטח DBCE הוא 20 סמ״ר. נתון BC=12 ס״מ. מצאו DE.

  1. שטח ABC כולו הוא 16+20=36 סמ״ר.
  2. מהמקבילות מתקבל דמיון ADE ל־ABC. לכן ()²==.
  3. חיובי, ולכן =. אין לבחור − כיחס אורכים.
  4. DE=()·12=8 ס״מ. בדיקה: יחס האורכים = וריבועו , כמו יחס השטחים.

תרגול מודרך

שטחי שני משולשים דומים הם 9 ו־25 סמ״ר. היקף הקטן 18 ס״מ. מה היקף הגדול?

  • 50 ס״מ
  • 30 ס״מ
  • 10.8 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

D,E פנימיות ל־AB,AC ו־DE ∥ BC. שטח ADE הוא 4 ושטח DBCE הוא 32 סמ״ר. נתון AB=15 ס״מ. מה DB?

  • 5 ס״מ
  • 10 ס״מ
  • ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.