קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

דמיון משולשים: התאמה ויחס אורכים

מזהים התאמות, מוכיחים דמיון בז.ז ומחשבים צלעות והיקפים בשני הכיוונים. המסלול מותאם לנושא ולידע הקודם, ואינו מצהיר על כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

יסודות בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/similar-triangles?target=3

לפני שמתחילים

1. אותה צורה, התאמה מדויקת

משולשים דומים הם משולשים שזוויותיהם המתאימות שוות, וכל צלעותיהם המתאימות באותו יחס חיובי. הגדלה אחידה, הקטנה אחידה, סיבוב או שיקוף אינם משנים את הצורה. הסימן ∼ פירושו ״דומה ל־״. בכתיב △ABC ∼ △DEF הסדר קובע A↔D, B↔E, C↔F. לכן AB↔DE, BC↔EF, AC↔DF. אין להתאים לפי ימין ושמאל בציור. יחס 1 נותן גם חפיפה; יחס אחר משנה את הגודל.

דוגמה: נתון △ABC ∼ △PQR. איזו צלע מתאימה ל־AC, ואיזו זווית מתאימה ל־∠ABC?

  1. כותבים את ההתאמה לפי הסדר: A↔P, B↔Q, C↔R.
  2. קצות AC מתאימים ל־P ול־R, ולכן AC מתאימה ל־PR.
  3. האות האמצעית בשם ∠ABC היא הקודקוד B. לכן הזווית המתאימה היא ∠PQR, שקודקודה Q.
  4. סדר זה נשאר נכון גם אם אחד המשולשים מסובב או משוקף.

תרגול מודרך

נתון △ABC ∼ △KLM. איזו צלע מתאימה ל־BC?

  • KL
  • LM
  • KM

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתון △PQR ∼ △UST. איזו זווית מתאימה ל־∠PRQ?

  • ∠UTS
  • ∠UST
  • ∠SUT

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. שתי זוויות מוכיחות דמיון

משפט זווית־זווית, ז.ז, אומר ששני זוגות של זוויות שוות בהתאמה מספיקים להוכחת דמיון. הסיבה שאין צורך בזוג שלישי היא שסכום זוויות בכל משולש 180°, ולכן גם הזוויות השלישיות שוות. כותבים את שמות המשולשים לפי הזוויות שהתאמנו. שוויון זוויות אינו קובע גודל, ולכן אינו מוכיח חפיפה או שוויון היקפים.

דוגמה: במשולש ABC נתון ∠A=40° ו־∠B=60°. במשולש PQR נתון ∠P=80° ו־∠Q=40°. הוכיחו דמיון וכתבו סדר מתאים.

  1. במשולש ABC: ∠C=180°−40°−60°=80°.
  2. במשולש PQR: ∠R=180°−80°−40°=60°.
  3. ההתאמה היא A↔Q לפי 40°, B↔R לפי 60°, C↔P לפי 80°.
  4. לכן △ABC ∼ △QRP לפי ז.ז. שני זוגות הספיקו; החישוב השלישי גם בודק את ההתאמה.

תרגול מודרך

במשולש ABC הזוויות A,B הן 50°,70°. במשולש DEF הזוויות D,E הן 50°,70°. מה מובטח?

  • △ABC ∼ △DEF לפי ז.ז
  • △ABC חופף ל־△DEF בהכרח
  • היקפי המשולשים שווים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

ב־△ABC נתון ∠A=35°, ∠B=65°. ב־△DEF נתון ∠D=80°, ∠E=35°. איזה סדר דמיון נכון?

  • △ABC ∼ △DEF
  • △ABC ∼ △EFD
  • △ABC ∼ △EDF

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. בוחרים כיוון ומכפילים באותו יחס

יחס הדמיון k בכיוון שנבחר הוא אורך במשולש היעד חלקי האורך המתאים במשולש המקור. כדי לעבור מהמקור ליעד מכפילים כל אורך ב־k. למשל, אם 3 במקור מתאים ל־6 ביעד, אז k==2. אין להוסיף לכל צלע את ההפרש 3: דמיון שומר על מנות, לא על הפרשים. קודם מזהים התאמה, אחר כך כיוון, ורק אז מחשבים.

דוגמה: נתון △ABC ∼ △DEF. אורכי הצלעות ב־ABC הם AB=3, BC=4, AC=5 ס״מ, ו־DE=6 ס״מ. מצאו EF ו־DF.

  1. לפי סדר הדמיון AB↔DE, BC↔EF ו־AC↔DF.
  2. המעבר הוא מ־ABC ל־DEF, ולכן k===2.
  3. EF=2·BC=2·4=8 ס״מ, וגם DF=2·AC=2·5=10 ס״מ.
  4. בדיקה: ===2. שלושת זוגות הצלעות שומרים על אותו יחס.
אותה התאמה, יחס אורכים 23456810ABCDEF
אותה התאמה, יחס אורכים 2

השרטוט מלווה את הדוגמה הפתורה: נתון △ABC ∼ △DEF, וכן AB=3, BC=4, AC=5, DE=6 ס״מ. לאחר חישוב היחס 2 התקבלו EF=8 ו־DF=10 ס״מ. המספרים 8 ו־10 מציגים תוצאות, ולא נתונים נוספים. השרטוט משתמש בקנה מידה אחיד בשני המשולשים.

תרגול מודרך

נתון △PQR ∼ △XYZ, עם PQ=4, PR=6 ו־XY=10 ס״מ. מה XZ?

  • 9 ס״מ
  • 15 ס״מ
  • 24 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתונים משולשים דומים: צלע 6 ס״מ במקור מתאימה ל־9 ס״מ ביעד. מה מתאים לצלע 8 ס״מ במקור?

  • 11 ס״מ
  • 12 ס״מ
  • 24 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. חוזרים למקור בעזרת חילוק

אם אורך היעד שווה k כפול אורך המקור, אז אורך המקור שווה אורך היעד חלקי k. זהו חילוק של שני אגפי אותה משוואה במספר החיובי k. אפשר גם להפוך את הכיוון: יחס המעבר בחזרה הוא . אין לערבב יחס בכיוון אחד עם אורך בכיוון אחר.

דוגמה: יחס הדמיון מ־△ABC ל־△DEF הוא 3. נתון DF=18 ס״מ, ו־AC מתאימה ל־DF. מצאו AC ואת יחס המעבר מ־DEF ל־ABC.

  1. נסמן AC=x. הקשר בכיוון הנתון הוא 3x=18.
  2. מחלקים את שני האגפים ב־3 ומקבלים x=6, ולכן AC=6 ס״מ.
  3. בכיוון ההפוך היחס הוא ==.
  4. בדיקה: 6·3=18 וגם 18·()=6. שתי הדרכים מתארות את אותה התאמה.

תרגול מודרך

יחס הדמיון ממקור ליעד הוא 4, וצלע ביעד היא 20 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במקור?

  • 80 ס״מ
  • 16 ס״מ
  • 5 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

צלעות מתאימות הן 8 ס״מ ב־ABC ו־12 ס״מ ב־DEF. מה יחס המעבר מ־DEF ל־ABC?

  • 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. היקף משתנה כמו אורך

היקף הוא סכום שלושת אורכי הצלעות. אם כל צלע מוכפלת ב־k, גם הסכום מוכפל ב־k: k·a+k·b+k·c=k·(a+b+c). לכן במשולשים דומים יחס ההיקפים שווה ליחס הצלעות באותו כיוון. אפשר למצוא יחס דמיון מתוך היקפים, בתנאי שכבר נתון או הוכח דמיון. היקפים לבדם אינם מוכיחים שהמשולשים דומים.

דוגמה: משולשים ABC ו־DEF דומים. היחס מ־ABC ל־DEF הוא 2.5 והיקף ABC הוא 14 ס״מ. מה היקף DEF? בדקו גם את הדרך ההפוכה.

  1. כל צלע ב־DEF היא פי 2.5 מהצלע המתאימה ב־ABC.
  2. לכן היקף DEF הוא 2.5·14=35 ס״מ.
  3. בכיוון ההפוך היחס , ולכן =14 ס״מ.
  4. לא מעלים את היחס בריבוע: היקף נמדד ביחידות אורך.

תרגול מודרך

שני משולשים דומים ביחס מקור ליעד 3. היקף המקור 17 ס״מ. מה היקף היעד?

  • 20 ס״מ
  • 153 ס״מ
  • 51 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

היקפי משולשים דומים הם 18 ו־30 ס״מ. צלע במשולש הראשון היא 6 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה בשני?

  • 10 ס״מ
  • 18 ס״מ
  • 3.6 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.