קליק · מתמטיקה

דמיון משולשים ויחס שטחים

מתאימים קודקודים וצלעות, מוצאים אורכים ומבדילים בין יחס אורכים ליחס שטחים.

https://klikedu.app/learn/similar-triangles

1. דמיון שומר צורה ויכול לשנות גודל

משולשים דומים בעלי זוויות מתאימות שוות וצלעות מתאימות באותו יחס. אפשר לחשוב על הגדלה או הקטנה אחידה של תמונה. בחפיפה גם הגודל נשמר; בדמיון הוא עשוי להשתנות. לכן דמיון לבדו אינו אומר שצלעות מתאימות שוות באורכן.

ABCDEFABCDEF
A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. זוויות מתאימות שוות וצלעות מתאימות באותו יחס.

דוגמה: משולש הוגדל כך שכל צלע מוכפלת פי 2. מה נשמר?

  1. כל האורכים משתנים באותו יחס.
  2. הזוויות נשארות באותה מידה, ולכן הצורה נשמרת.
  3. המשולשים דומים, אך אינם חופפים כי הגודל הוכפל.

תרגול מודרך

מה חייב להיות שווה במשולשים דומים?

  • הצלעות באורכן
  • הזוויות המתאימות
  • השטחים

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

שני משולשים חופפים הם גם דומים. מה יחס אורכיהם?

  • 2
  • 0
  • 1

תשובה: __________________________________________________

2. התאמה באה לפני חשבון

הסימן △ מציין משולש, והסימן ∼ פירושו ״דומה ל־״. ברישום △ABC ∼ △DEF הסדר קובע ש־A מתאים ל־D, B ל־E ו־C ל־F. כדי למצוא צלע מתאימה, מחברים את הקודקודים המתאימים לקצותיה. אין לבחור לפי הצד שבו צויר המשולש, משום שאפשר לסובב או לשקף את הצורות.

ABCDEFABCDEF
A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. זוויות מתאימות שוות וצלעות מתאימות באותו יחס.

דוגמה: נתון △ABC ∼ △DEF. מה מתאים לצלע AC?

  1. A מתאים ל־D, לפי המקום הראשון בשמות.
  2. C מתאים ל־F, לפי המקום השלישי.
  3. לכן AC מתאימה ל־DF.

תרגול מודרך

נתון △ABC ∼ △DEF. איזו צלע מתאימה ל־BC?

  • EF
  • DE
  • DF

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

נתון △PQR ∼ △UST. לאיזו זווית מתאימה ∠Q?

  • ∠U
  • ∠S
  • ∠T

תשובה: __________________________________________________

3. שתי זוויות מספיקות לדמיון

סכום הזוויות במשולש הוא 180°. לכן אם שני זוגות זוויות שווים, גם הזוויות השלישיות שוות: בכל משולש מחסרים את אותו סכום מ־180°. מכאן משפט זווית–זווית, ז.ז, להוכחת דמיון. הוא קובע צורה אך אינו קובע שוויון גדלים.

ABCDEFABCDEF
A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. זוויות מתאימות שוות וצלעות מתאימות באותו יחס.

דוגמה: במשולש אחד זוויות 40° ו־60°, ובשני 60° ו־80°. האם הם דומים?

  1. במשולש הראשון השלישית היא 180 − 40 − 60 = 80°.
  2. בשני השלישית היא 180 − 60 − 80 = 40°.
  3. אפשר להתאים זוויות 40° ל־40° ו־60° ל־60°, ולכן המשולשים דומים לפי ז.ז.

תרגול מודרך

בכל אחד משני משולשים נתונות זוויות 50° ו־70°. מה אפשר להוכיח?

  • חפיפה בהכרח
  • היקפים שווים
  • דמיון לפי ז.ז

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש זוויות 35° ו־65°. מה השלישית, לצורך התאמה למשולש אחר?

  • 80°
  • 100°
  • 90°

תשובה: __________________________________________________

4. יחס הדמיון תלוי בכיוון

יחס הדמיון k הוא אורך בצורת היעד חלקי האורך המתאים בצורת המקור. אם עוברים מקטן לגדול, היחס גדול מ־1; בכיוון ההפוך היחס קטן מ־1. מציינים את הכיוון לפני כל חישוב ושומרים עליו בכל זוג צלעות.

דוגמה: צלע בקטן באורך 4 מתאימה לצלע בגדול באורך 10. מה היחס מהקטן לגדול?

  1. היעד הוא הגדול, ולכן מחשבים גדול חלקי קטן.
  2. k = = 2.5.
  3. כל אורך בקטן יוכפל ב־2.5 כדי לקבל את המתאים בגדול.

תרגול מודרך

נתונים שני משולשים דומים. צלע 3 בקטן מתאימה ל־9 בגדול. מה k מהקטן לגדול?

  • 3
  • 6

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

נתונים שני משולשים דומים. צלע 8 בגדול מתאימה ל־4 בקטן. מה היחס מהגדול לקטן?

  • 2
  • 4

תשובה: __________________________________________________

5. מכפילים כל צלע באותו יחס

בדמיון כל צלע מתאימה מוכפלת באותו k. אין להוסיף את אותו מספר לכל הצלעות: תוספת קבועה אינה שומרת בדרך כלל על היחסים. אחרי זיהוי ההתאמה והכיוון, כופלים את אורך המקור ביחס כדי לקבל את אורך היעד.

דוגמה: במשולשים דומים 4 בקטן מתאים ל־10 בגדול. מה מתאים לצלע 6 בקטן?

  1. יחס ההגדלה הוא k = = 2.5.
  2. מכפילים את הצלע הנוספת: 6 × 2.5 = 15.
  3. הצלע המתאימה בגדול באורך 15.

תרגול מודרך

נתונים שני משולשים דומים. יחס הדמיון מהקטן לגדול הוא 3. לצלע 5 בקטן מה מתאים בגדול?

  • 15
  • 8

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

נתונים שני משולשים דומים. צלעות מתאימות הן 6 בקטן ו־9 בגדול. מה מתאים לצלע 8 בקטן?

  • 11
  • 12
  • 24

תשובה: __________________________________________________

6. כדי לחזור למקור מחלקים

אם יחס ההגדלה מהקטן לגדול ידוע אבל נתונה צלע בגדול, עושים את הפעולה ההפוכה ומחלקים ביחס. אפשר גם להכפיל ביחס ההקטנה ההופכי. שומרים על משמעות הכיוון כדי לא להגדיל שוב מספר שכבר שייך למשולש הגדול.

דוגמה: יחס ההגדלה הוא 3 וצלע בגדול באורך 18. מה אורכה בקטן?

  1. הקשר הוא צלע קטנה × 3 = 18.
  2. מחלקים ב־3: הצלע הקטנה = 6.
  3. בדיקה: 6 × 3 = 18.

תרגול מודרך

נתונים שני משולשים דומים. יחס קטן לגדול 4 וצלע בגדול 20. מה הצלע בקטן?

  • 80
  • 16
  • 5

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

נתונים שני משולשים דומים. יחס קטן לגדול 2.5 וצלע בגדול 15. מה המתאימה בקטן?

  • 6
  • 12.5
  • 37.5

תשובה: __________________________________________________

7. גם ההיקף גדל פי k

היקף הוא סכום אורכי הצלעות. אם כל אחת משלוש הצלעות מוכפלת פי k, גם הסכום כולו מוכפל פי k. לכן יחס היקפים זהה ליחס הצלעות. לא מעלים אותו בריבוע, משום שהיקף הוא אורך ולא שטח.

דוגמה: יחס הדמיון מהקטן לגדול 3 והיקף הקטן 12 ס״מ. מצאו היקף הגדול.

  1. כל צלע גדלה פי 3, ולכן גם סכום הצלעות גדל פי 3.
  2. היקף הגדול: P = 12 × 3 = 36 ס״מ.

תרגול מודרך

נתונים שני משולשים דומים. משולשים דומים ביחס קטן לגדול 2. היקף הקטן 17 ס״מ. מה היקף הגדול?

  • 34 ס״מ
  • 68 ס״מ
  • 19 ס״מ

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

נתונים שני משולשים דומים. היקפי משולשים דומים הם 15 ו־45. מה יחס האורכים מהקטן לגדול?

  • 9
  • 3
  • 30

תשובה: __________________________________________________

8. גובה מתאים הוא גם אורך

גובה הוא קטע מאונך מהקודקוד לצלע שמולו או להמשכה. בדמיון גם הגבהים המתאימים גדלים באותו יחס כמו הצלעות, מפני שההגדלה אחידה בכל הכיוונים. חשוב להתאים גובה לבסיס המתאים בשני המשולשים, ולא להשוות גבהים שנבחרו לבסיסים שונים.

דוגמה: יחס הדמיון מהקטן לגדול 3 וגובה הקטן לבסיס מסוים הוא 4. מה הגובה המתאים בגדול?

  1. הגובה הוא אורך מתאים ולכן מוכפל ב־3.
  2. הגובה בגדול: h = 4 × 3 = 12.

תרגול מודרך

נתונים שני משולשים דומים. יחס קטן לגדול 2 וגובה מתאים בקטן 5. מה הגובה בגדול?

  • 20
  • 7
  • 10

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

נתונים שני משולשים דומים. יחס קטן לגדול 4 וגובה מתאים בגדול 28. מה הגובה בקטן?

  • 7
  • 112
  • 24

תשובה: __________________________________________________

9. שטח משתנה בשני כיוונים

שטח משולש הוא בסיס כפול הגובה המתאים חלקי שתיים. בדמיון גם הבסיס וגם הגובה מוכפלים ב־k, ולכן המכפלה מקבלת שני גורמים של k. מכאן יחס השטחים k². המספר 2 שבמכנה אינו משתנה בין המשולשים ולכן אינו משנה את היחס.

a3ah3h
דוגמה ביחס אורכים 3:1: גם הבסיס וגם הגובה גדלים פי 3, ולכן יחס השטחים 9:1.

דוגמה: בסיס וגובה בקטן הם a ו־h. יחס ההגדלה 3. מה יחס השטחים?

  1. בגדול הבסיס 3a והגובה 3h.
  2. שטח הגדול הוא = .
  3. שטח הקטן , ולכן יחס השטחים 9:1.

תרגול מודרך

נתונים שני משולשים דומים. יחס האורכים מהקטן לגדול הוא 2. מה יחס השטחים?

  • 4:1
  • 2:1
  • 8:1

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

נתונים שני משולשים דומים. יחס האורכים מהקטן לגדול 5. פי כמה גדל השטח?

  • 5
  • 25
  • 10

תשובה: __________________________________________________

10. מכפילים שטח בריבוע היחס

כדי למצוא שטח של משולש דומה, מפרידים בין שני שלבים: תחילה מוצאים את יחס האורכים, ואחר כך מעלים אותו בריבוע ומכפילים בשטח הנתון. בדקו תמיד אם המבוקש הוא שטח או היקף, כי שניהם משתמשים ביחס באופן שונה.

דוגמה: יחס קטן לגדול 2.5 ושטח הקטן 8 סמ״ר. מצאו שטח גדול.

  1. יחס השטחים הוא 2.5² = 6.25.
  2. שטח הגדול: 8 × 6.25 = 50 סמ״ר.
  3. הכפלה ב־2.5 בלבד הייתה מתאימה לאורך, לא לשטח.

תרגול מודרך

נתונים שני משולשים דומים. יחס קטן לגדול 3 ושטח הקטן 7 סמ״ר. מה שטח הגדול?

  • 21 סמ״ר
  • 10 סמ״ר
  • 63 סמ״ר

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

נתונים שני משולשים דומים. יחס קטן לגדול 2 ושטח הגדול 60 סמ״ר. מה שטח הקטן?

  • 15 סמ״ר
  • 30 סמ״ר
  • 240 סמ״ר

תשובה: __________________________________________________

11. משטח לאורך מוציאים שורש

כשנתון יחס שטחים, הוא מייצג k² ולא את k עצמו. כדי לחזור ליחס האורכים מחפשים את המספר החיובי שכפול עצמו נותן את יחס השטחים, כלומר מוציאים שורש חיובי. אחר כך משתמשים בו לצלעות, לגבהים ולהיקפים המתאימים.

דוגמה: יחס שטחי גדול לקטן הוא 9:1. מה יחס האורכים מהקטן לגדול?

  1. k² = 9.
  2. המספר החיובי שריבועו 9 הוא 3, ולכן k = 3.
  3. כל צלע בגדול ארוכה פי 3 מהצלע המתאימה בקטן.

תרגול מודרך

נתונים שני משולשים דומים. יחס השטחים גדול לקטן הוא 16:1. מה יחס האורכים?

  • 16:1
  • 4:1
  • 8:1

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

נתונים שני משולשים דומים. שטחי משולשים דומים 12 ו־75 סמ״ר. מה יחס האורכים מהקטן לגדול?

  • 6.25
  • 5
  • 2.5

תשובה: __________________________________________________

12. מקביל בתוך משולש יוצר דמיון

בשם זווית בעל שלוש אותיות, האות האמצעית היא הקודקוד. למשל, ∠ADE היא הזווית שבקודקוד D בין DA ל־DE, ואילו ∠ABC היא הזווית שבקודקוד B בין BA ל־BC. במשולש ABC, אם D על AB, E על AC ו־DE ∥ BC, המשולשים ADE ו־ABC דומים. הזווית A משותפת, וזווית D בקטן שווה לזווית B בגדול כזוויות מתאימות בין מקבילים. שתי התאמות הזווית נותנות דמיון לפי ז.ז.

ABCDE
DE ∥ BC, ולכן △ADE ∼ △ABC. משווים AD אל AB השלם.

דוגמה: נתון D על AB, E על AC ו־DE ∥ BC. נמקו △ADE ∼ △ABC.

  1. ∠DAE = ∠BAC, כי זו אותה זווית בקודקוד A.
  2. ∠ADE = ∠ABC, כי DE ∥ BC וזוויות מתאימות שוות.
  3. לכן △ADE ∼ △ABC לפי ז.ז.

תרגול מודרך

במשולש ABC, D על AB, E על AC ו־DE ∥ BC. לאיזה קודקוד בגדול מתאים D בקטן?

  • B
  • C
  • A

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ABC, D על AB, E על AC ו־DE ∥ BC. איזה משפט מוכיח את דמיון ADE ו־ABC?

  • צ.צ.צ ללא נתוני אורכים
  • ז.ז: זווית משותפת ומתאימות
  • שוויון היקפים

תשובה: __________________________________________________

13. משווים צלע שלמה לצלע שלמה

בדמיון △ADE ∼ △ABC, הצלע AD מתאימה לצלע AB כולה. הקטע DB הוא רק שארית של צלע הגדולה, ואינו צלע של המשולש ABC. אם נתונים AD ו־DB, מחברים תחילה AB = AD + DB ורק אז בונים יחס בין המשולשים.

ABCDE
DE ∥ BC, ולכן △ADE ∼ △ABC. משווים AD אל AB השלם.

דוגמה: D על AB, E על AC ו־DE ∥ BC. נתון AD = 3, DB = 6, BC = 12. מצאו DE.

  1. AB = AD + DB = 3 + 6 = 9.
  2. יחס קטן לגדול הוא = 3.
  3. DE מתאימה ל־BC, ולכן DE = = 4.

תרגול מודרך

D על AB, E על AC, DE ∥ BC. נתון AD = 4, DB = 8. מה היחס ?

  • 2
  • 3

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

D על AB, E על AC, DE ∥ BC. נתון AD = 2, DB = 4 ו־AC = 15. מהו AE?

  • 5
  • 7.5
  • 10

תשובה: __________________________________________________

14. שלושה יחסי צלעות שווים

אפשר להוכיח דמיון בלי מידות זווית בעזרת צלע–צלע–צלע לדמיון. צריך שלושה יחסים שווים בין הצלעות המתאימות, כולם באותו כיוון. יחס אחד או שניים אינם מספיקים למשפט זה. שוויון היחסים אומר שכל שלוש הצלעות קיבלו אותה הגדלה.

34568103456810
צלעות 3, 4, 5 לעומת 6, 8, 10: כל יחס הוא 2, ולכן המשולשים דומים לפי צ.צ.צ.

דוגמה: השוו משולש בצלעות 3, 4, 5 למשולש בצלעות 6, 8, 10.

  1. מתאימים צלעות לפי גודל: 3 ל־6, 4 ל־8, 5 ל־10.
  2. = 2, = 2, = 2.
  3. שלושת היחסים שווים ולכן המשולשים דומים לפי צ.צ.צ.

תרגול מודרך

צלעות משולשים הן 4, 5, 6 ו־8, 10, 12. האם צ.צ.צ לדמיון מתקיים?

  • לא, כי האורכים שונים
  • כן, כל יחס הוא 2
  • כן, כי מוסיפים 4 לכל צלע

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

צלעות משולשים הן 3, 4, 5 ו־6, 8, 11. האם שלושת היחסים המתאימים שווים?

  • כן, כי שני יחסים מספיקים
  • כן, כולם 2
  • לא, אינו 2

תשובה: __________________________________________________

15. שני יחסים והזווית שביניהם

משפט צלע–זווית–צלע לדמיון דורש שני יחסי צלעות שווים ואת הזווית הכלואה ביניהן שווה. כלואה פירושו בזווית שבה שתי הצלעות נפגשות. יחס אחד בלבד, או זווית שאינה ביניהן, אינם ממלאים את דרישות המשפט הזה.

דוגמה: AB = 3, AC = 5, DE = 6, DF = 10 ו־∠A = ∠D. הוכיחו דמיון.

  1. = = 2 וגם = = 2.
  2. A כלואה בין AB ל־AC, ו־D בין DE ל־DF.
  3. לכן △ABC ∼ △DEF לפי צ.ז.צ לדמיון.

תרגול מודרך

במשולשים ABC ו־DEF נתון = . איזה שוויון זוויות ישלים צ.ז.צ לדמיון?

  • ∠A = ∠D
  • ∠B = ∠E
  • ∠C = ∠F

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

בשני משולשים שתי צלעות מתאימות ביחסים 2 ו־3, והזוויות הכלואות שוות. האם אפשר להסיק דמיון לפי צ.ז.צ?

  • כן, כי הזוויות שוות
  • לא, שני יחסי הצלעות אינם שווים
  • כן, כל שני יחסים מספיקים

תשובה: __________________________________________________

דוגמה מסכמת

במשולשים דומים צלע של 4 ס״מ מתאימה לצלע של 10 ס״מ. צלע נוספת בקטן היא 6 ס״מ. מצאו את המתאימה בגדול.

  1. קובעים כיוון: מהקטן לגדול.
  2. יחס הדמיון הוא = 2.5.
  3. מכפילים את הצלע המתאימה: 6 × 2.5 = 15 ס״מ.
  4. אם שטח הקטן היה 8 סמ״ר, שטח הגדול היה 8 × 2.5² = 50 סמ״ר.

תרגול מסכם

שאלה 1

צלעות מתאימות הן 3 בקטן ו־12 בגדול. מה יחס ההגדלה?

________________________________________________________

שאלה 2

יחס ההגדלה הוא 3. צלע בקטן היא 7. מה הצלע המתאימה בגדול?

________________________________________________________

שאלה 3

יחס אורכים גדול:קטן הוא 2:1. פי כמה גדול השטח?

________________________________________________________

שאלה 4

יחס שטחים גדול:קטן הוא 25:1. מה יחס ההגדלה באורכים?

________________________________________________________

שאלה 5

צלעות מתאימות הן 4 בקטן ו־12 בגדול. מה יחס ההגדלה?

________________________________________________________

שאלה 6

יחס ההגדלה 2.5. צלע בקטן 6. מה המקבילה בגדול?

________________________________________________________

שאלה 7

יחס ההגדלה 4 ושטח הקטן 7. מה שטח הגדול?

________________________________________________________

שאלה 8

יחס השטחים הוא 25. מה יחס ההגדלה באורכים?

________________________________________________________

שאלה 9

במשולש ABC, הקטע DE מקביל ל־BC, כאשר D על AB ו־E על AC. נתון AD = 4, AB = 12, BC = 15. מה אורך DE?

________________________________________________________

שאלה 10

נתון △ABC ∼ △DEF. איזו צלע מתאימה ל־AC?

________________________________________________________

שאלה 11

משולשים בעלי צלעות 3, 4, 5 ו־6, 8, 11: האם הם דומים? כתבו כן או לא.

________________________________________________________

שאלה 12

יחס היקפי גדול:קטן הוא 3:1. שטח הקטן 6. מה שטח הגדול?

________________________________________________________

בדיקה עצמית

האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.