קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

אחוזים עם פרמטרים, אילוצים והצדקת טענות

מנתחים שינויי בסיס, שחזור שינוי, אחוזים משוקללים ותנאי היתכנות בפרמטרים. זהו מסלול למידה מותאם בנושא, ולא הצהרה על כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

הרחבה לבחירה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/ratios?target=5

לפני שמתחילים

1. עלייה וירידה באותו אחוז: טענה כללית

נסמן r כחלק עשרוני: למשל r = 0.2 עבור 20%. עלייה בשיעור r ואחריה ירידה בשיעור r נותנות גורם (1+r)(1−r). לפי נוסחת הפרש ריבועים הוא 1−r². עבור מחיר התחלתי חיובי ו־0 ≤ r ≤ 1, המחיר אינו גדל; הוא חוזר בדיוק למקור רק אם r = 0. האובדן היחסי הוא r². כשממירים אותו לאחוזים כופלים ב־100.

דוגמה: הוכיחו מה קורה למחיר חיובי אחרי עלייה של 30% וירידה של 30%, והסבירו את הכלל.

  1. r = 0.3, ולכן הגורם הכולל (1.3)(0.7) = 0.91.
  2. נשארים 91% מהמחיר, כלומר הפסד של 9%.
  3. בכלליות: (1+r)(1−r) = 1−r². האיברים +r ו־−r מתבטלים, אך האיבר −r² נשאר.
  4. למשל ממחיר 100 מגיעים ל־130 ואז ל־91: ההנחה מחושבת מהבסיס הגדול יותר.
30% עלייה ו־30% ירידה בדוגמה מספרית

להמחשת ההוכחה נבחר מחיר התחלתי של 100 ₪. העלייה היא 30 ₪, אך הירידה שאחריה היא 39 ₪, כי היא מחושבת מ־130 ₪. הסוף 91 ₪, הפסד של 9% מהמקור. הדוגמה ממחישה; ההוכחה הכללית מופיעה בטקסט.

קנה מידה משותף לפסים: 0–130 ₪. אורך כל חלק נקבע לפי הכמות שלו.

מקור: 100 ₪

מקור: 100 ₪1000130
  • 100

אחרי עלייה: 130 ₪

אחרי עלייה: 130 ₪100300130
  • 100
  • תוספת: 30

אחרי ירידה: 91 ₪

אחרי ירידה: 91 ₪910130
  • 91

תרגול מודרך

מחיר עולה ב־20% ויורד ב־20%. מה אחוז הירידה הכולל?

  • 4%
  • 0%
  • 40%

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

למחיר חיובי מבצעים עלייה בשיעור r ואז ירידה באותו שיעור, 0 ≤ r ≤ 1. מתי הסוף שווה להתחלה?

  • לכל r בתחום
  • רק כאשר r = 0
  • רק כאשר r = 1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. כמה צריך לעלות כדי לתקן ירידה?

אחרי ירידה בשיעור d מהמחיר המקורי נשאר הגורם 1−d. כדי לחזור למקור באמצעות עלייה בשיעור u נדרש (1−d)(1+u) = 1. עבור 0 ≤ d < 1 מותר לחלק ב־1−d, ולכן u = . ההפרש הכספי אולי אותו הפרש, אבל בסיס האחוז קטן יותר. ב־d = 1 הכמות נעשית אפס, ושום עלייה באחוז סופי מן האפס אינה משחזרת מחיר חיובי.

דוגמה: בכמה אחוזים צריך להעלות מחיר אחרי ירידה של 40% כדי לחזור למקור?

  1. d = 0.4, ולכן נשארו 60% מהמחיר המקורי.
  2. המשוואה 0.6(1+u) = 1 נותנת 1+u = .
  3. מעבירים את 1 אגף ומשנים סימן: u = − 1 = .
  4. זו עלייה של 66⅔%. למשל 100 ירד ל־60, ותוספת 40 היא שני שלישים מ־60.

תרגול מודרך

איזו עלייה מחזירה מחיר למקור אחרי ירידה של 20%?

  • 20%
  • 25%
  • 80%

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מחיר חיובי ירד ב־100%. האם עלייה בשיעור סופי יכולה להחזירו למקור?

  • כן, עלייה של 100%
  • כן, עלייה של 200%
  • לא, כי כפל של אפס בכל גורם סופי נשאר אפס

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. משקל לא ידוע: מתי אחוז כולל אפשרי?

בשתי קבוצות בעלות גדלים חיוביים ואחוזים שונים, האחוז הכולל נמצא ממש ביניהם. הוא ממוצע משוקלל, כי כל קבוצה תורמת לפי גודלה. אם אחת הקבוצות קבועה והשנייה בעלת גודל x, כותבים כמות כוללת מהסוג המבוקש חלקי גודל כולל. בדוגמאות התמיסות כאן כל הריכוזים נמדדים באחוזים לפי נפח. בתחום x > 0 המכנה חיובי, ואפשר לכפול בו בלי לאבד פתרונות. אם מדובר בפריטים בדידים, יש לבדוק גם שמספריהם שלמים.

דוגמה: במכל 20 ליטר תמיסה שריכוזה 10% לפי נפח. מוסיפים x ליטר תמיסה שריכוזה 40% לפי נפח. בהנחת חיבור נפחים וללא אובדן חומר, כמה להוסיף לקבלת 25%?

  1. כמות החומר בתחילה היא 20 × 0.1 = 2 ליטר, ובתוספת 0.4x ליטר.
  2. הנפח הכולל 20+x, ולכן 2 + 0.4x = 0.25(20+x).
  3. פותחים סוגריים ומעבירים אגפים בשינוי סימן: 0.4x − 0.25x = 5 − 2, כלומר 0.15x = 3.
  4. x = 20 ליטר. בדיקה: 10 ליטר חומר מתוך 40 הם 25%.

תרגול מודרך

מוסיפים x > 0 ליטר תמיסה של 40% לפי נפח ל־20 ליטר תמיסה של 10% לפי נפח, ללא אובדן ובחיבור נפחים. אילו ריכוזים אפשר לקבל?

  • כל ריכוז מ־10% עד 40%, כולל הקצוות
  • רק 25%
  • כל ריכוז גדול מ־10% וקטן מ־40%

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

ל־30 ליטר תמיסה של 20% לפי נפח מוסיפים תמיסה של 50% לפי נפח לקבלת 30% לפי נפח, בחיבור נפחים וללא אובדן. כמה מוסיפים?

  • 15 ליטר
  • 10 ליטר
  • 30 ליטר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. הנחה באחוז מול הנחה קבועה: תחום והכרעה

כדי להשוות שתי הצעות מגדירים מחיר מקורי משותף x, כותבים מחיר סופי לכל הצעה, ורק אז משווים. הנחה קבועה והנחה באחוז אינן מתנהגות באותה דרך כשהמחיר משתנה. יש לציין תחום תקף כדי שלא לקבל מחיר שלילי. ערך שבו המחירים שווים הוא גבול בין תחומי הכדאיות, ולא בהכרח ההצעה הטובה לכל מחיר.

דוגמה: על מוצר שמחירו x ≥ 50 ₪ מוצעות חלופות: 20% הנחה או 50 ₪ הנחה. מתי הנחת האחוז זולה יותר?

  1. מחיר אחרי 20% הנחה הוא 0.8x. מחיר אחרי הנחה קבועה הוא x−50.
  2. כדי שהראשון יהיה זול יותר נדרש 0.8x < x−50.
  3. מעבירים אגפים בשינוי סימן: 50 < x−0.8x = 0.2x; מחלקים במספר חיובי ומקבלים x > 250.
  4. ב־x = 250 ההצעות שוות. בתחום 50 ≤ x < 250 ההנחה הקבועה זולה יותר.

תרגול מודרך

מחיר x ≥ 30 ₪. מה זול יותר: הנחה של 10% או הנחה של 30 ₪, כאשר x = 200?

  • הנחה של 30 ₪
  • הנחה של 10%
  • ההצעות שוות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מחיר x ≥ 60 ₪. מתי 15% הנחה והנחה של 60 ₪ נותנות אותו מחיר?

  • x = 900 ₪
  • x = 400 ₪
  • x = 75 ₪

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. אילוץ על השינוי הכולל

אפשר להפוך דרישה על התוצאה להגבלה על שיעור השינוי. אם מחיר חיובי עולה בשיעור r ואחר כך יורד באותו שיעור, כאשר 0 ≤ r ≤ 1, הגורם הוא 1−r². נסמן ב־L חלק מותר להפסד, כאשר 0 ≤ L ≤ 1. דרישה לאבד לכל היותר חלק L מהמקור נותנת r² ≤ L. כאשר r ≥ 0, אפשר להשוות לשורש האי־שלילי של L. חשוב להמיר אחוזים לחלק עשרוני לפני העלאה בריבוע ולהבחין בין ״לכל היותר״ הכולל שוויון לבין ״פחות מ־״.

דוגמה: מהו תחום r, כאשר 0 ≤ r ≤ 1, המבטיח שהפסד בעקבות עלייה בשיעור r ואז ירידה בשיעור r יהיה לכל היותר 9%?

  1. ההפסד היחסי הוא r². לכן נדרש r² ≤ 0.09.
  2. r אינו שלילי, ו־0.3² = 0.09, ולכן 0 ≤ r ≤ 0.3.
  3. בכתיבת אחוזים, שיעור כל שינוי יכול להיות בין 0% ל־30%, כולל הקצוות.
  4. ב־30% ההפסד הוא בדיוק 9%; לכן הקצה כלול.

תרגול מודרך

אחרי עלייה וירידה באותו שיעור r ≥ 0, רוצים הפסד של פחות מ־4%. מה התחום, בתוך 0 ≤ r ≤ 1?

  • 0 ≤ r ≤ 0.2
  • 0 ≤ r < 0.2
  • 0 ≤ r < 0.04

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

אחרי עלייה וירידה באותו שיעור r, בתחום 0 ≤ r ≤ 1, התקבל הפסד של 16%. מה r?

  • r = 0.16, כלומר 16%
  • r = 0.8, כלומר 80%
  • r = 0.4, כלומר 40%

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.