קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

אחוזים: שינויים עוקבים וחישוב לאחור

מחברים בין גורמי שינוי, שינויי אחוז עוקבים, אחוז כולל ומציאת המחיר המקורי. זהו מסלול למידה מותאם בנושא, ולא הצהרה על כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/ratios?target=4

לפני שמתחילים

1. אחוז שינוי ונקודות אחוז

אחוז שינוי של כמות מחושב ביחס לכמות ההתחלתית: (חדש − ישן)/ישן × 100, כשהישן חיובי. לעומת זאת, הפרש בין שני שיעורים שנכתבו באחוזים נמדד בנקודות אחוז. אם שיעור גדל מ־20% ל־30%, ההפרש הוא 10 נקודות אחוז, אבל ביחס ל־20 השיעור גדל ב־50%. חייבים לציין מה משווים ומהו הבסיס.

דוגמה: שיעור המוצרים התקינים במדגם עלה מ־80% ל־90%. תארו את שני סוגי השינוי.

  1. ההפרש בין השיעורים הוא 90 − 80 = 10 נקודות אחוז.
  2. לשינוי היחסי בשיעור נבחר 80 כבסיס: × 100 = 12.5, כלומר שינוי של 12.5%.
  3. לכן השיעור עלה ב־12.5% יחסית לערכו הקודם.
  4. אין להסיק מכאן את השינוי במספר המוצרים התקינים אם גדלי המדגמים אינם ידועים.

תרגול מודרך

שיעור ירד מ־40% ל־30%. איזו אמירה נכונה?

  • ירידה של 10 נקודות אחוז ושל 25% ביחס לשיעור הקודם
  • ירידה של 10% ביחס לשיעור הקודם
  • ירידה של 25 נקודות אחוז

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מחיר עלה מ־120 ₪ ל־150 ₪. בכמה אחוזים עלה?

  • 20%
  • 25%
  • 30%

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. כל שינוי מחושב מהכמות שלפניו

גורם שינוי הוא החלק מהכמות שנשאר או מתקבל: בהנחה של p% כופלים ב־1 − ; בעלייה כופלים ב־1 + . בשינויים עוקבים כופלים את הגורמים, מפני שהשינוי השני פועל על תוצאת הראשון. בדרך כלל אין לחבר את האחוזים. אם שני הגורמים קבועים ואינם תלויים במחיר, החלפת סדר הכפל אינה משנה את התוצאה.

דוגמה: מחיר 200 ₪ עולה ב־10% ואחר כך יורד ב־20%. מה המחיר הסופי?

  1. אחרי העלייה: 200 × 1.10 = 220 ₪.
  2. ההנחה השנייה היא 20% מ־220, ולכן המחיר 220 × 0.80 = 176 ₪.
  3. הגורם הכולל הוא 1.10 × 0.80 = 0.88: נשארו 88% מהמקור.
  4. זו ירידה כוללת של 12%, ולא 10%.
שלושה מחירים, שני בסיסים שונים

200 ₪ נתונים. אחרי עלייה של 10% מתקבלים 220 ₪; 20% הנחה מהמחיר החדש הם 44 ₪, ולכן נותרים 176 ₪. כל העמודות באותו קנה מידה כספי. אחוזי השינוי מתייחסים למחיר שקדם להם.

קנה מידה משותף לפסים: 0–220 ₪. אורך כל חלק נקבע לפי הכמות שלו.

מקור: 200 ₪

מקור: 200 ₪2000220
  • 200

אחרי עלייה: 220 ₪

אחרי עלייה: 220 ₪200200220
  • המקור: 200
  • תוספת: 20

אחרי הנחה: 176 ₪

אחרי הנחה: 176 ₪1760220
  • לתשלום: 176

תרגול מודרך

מחיר 400 ₪ יורד ב־10% ושוב ב־10%. מה מחירו הסופי?

  • 320 ₪
  • 324 ₪
  • 360 ₪

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מחיר עולה ב־25% ואז יורד ב־20%. מה יחס המחיר הסופי למקורי?

  • המחיר הסופי גבוה ב־5%
  • המחיר הסופי נמוך ב־5%
  • המחיר הסופי שווה למחיר המקורי

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. חישוב לאחור: מחלקים בגורם הכולל

אם x הוא המחיר המקורי והגורם הכולל הוא k, המחיר הסופי הוא kx. כאשר k חיובי, מוצאים x בחלוקה ב־k. אין להפוך הנחה של 20% לעלייה של 20%: להנחה גורם 0.8, והפעולה ההפוכה היא חלוקה ב־0.8. אחרי הפחתה של 100% הגורם אפס והמחיר הסופי לבדו אינו מגלה את המחיר המקורי.

דוגמה: מחיר ירד ב־20% ואז עלה ב־10%, והגיע ל־176 ₪. מה היה המחיר המקורי?

  1. מסמנים מחיר מקורי x > 0. הגורם הכולל 0.8 × 1.1 = 0.88.
  2. המשוואה היא 0.88x = 176.
  3. מחלקים את שני האגפים ב־0.88 ומקבלים x = 200.
  4. בדיקה בסיפור: 200 → 160 → 176 ₪.

תרגול מודרך

לאחר עלייה של 15% מחיר מוצר 230 ₪. מה היה המחיר המקורי?

  • 195.5 ₪
  • 215 ₪
  • 200 ₪

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מחיר חיובי כלשהו הוזל ב־100% וכעת הוא 0. האם אפשר לקבוע את המקור?

  • לא; כל מחיר מקורי חיובי מתאים
  • כן, המחיר המקורי 100
  • כן, המחיר המקורי 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. אחוז כולל: סופרים כמויות לפני שממצעים

כאשר מאחדים קבוצות, האחוז הכולל הוא סך הפריטים מהסוג המבוקש חלקי סך הפריטים בכל הקבוצות. כאשר שני האחוזים שונים, ממוצע פשוט שלהם מתאים רק כאשר גדלי הקבוצות שווים. אם שני האחוזים שווים, גם האחוז הכולל שווה להם בכל גדלי קבוצות חיוביים. בקבוצה גדולה יותר אותו אחוז חיובי מייצג יותר פריטים, ולכן תרומתה גדולה יותר. את האחוזים הופכים לכמויות, מחברים, ורק אז מחלקים בשלם החדש.

דוגמה: בקופסה א יש 40 חרוזים, 25% כחולים. בקופסה ב יש 60 חרוזים, 50% כחולים. מה האחוז הכחול יחד?

  1. בקופסה א: 40 × 0.25 = 10 כחולים.
  2. בקופסה ב: 60 × 0.50 = 30 כחולים.
  3. בסך הכול 40 כחולים מתוך 100 חרוזים, לכן 40%.
  4. 37.5% הוא ממוצע האחוזים, אך הוא אינו נכון כאן כי הקבוצות אינן שוות בגודלן.

תרגול מודרך

בקבוצה של 20 פריטים 50% אדומים, ובקבוצה של 80 פריטים 25% אדומים. מה האחוז יחד?

  • 30%
  • 37.5%
  • 75%

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בשתי קבוצות שוות בגודלן, 20% ו־60% מהפריטים תקינים, בהתאמה. מה השיעור הכולל?

  • 80%
  • 40%
  • 30%

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. אחוז לא ידוע בתוך שרשרת שינויים

בשרשרת שינויים אפשר למצוא קודם את הגורם הכולל מהיחס בין הסוף להתחלה. אחר כך מחלקים בגורם הידוע כדי למצוא את הגורם החסר. אם הגורם החסר הוא 0.85, זה אומר שנשארו 85%, כלומר הנחה של 15%. כשמגדירים p כמספר האחוזים, המשוואה כוללת ולא p.

דוגמה: מחיר 300 ₪ עלה ב־20% ואחר כך ירד ב־p%, עד למחיר 306 ₪. מצאו p.

  1. אחרי העלייה המחיר 360 ₪. לכן 360(1 − ) = 306.
  2. מחלקים ב־360: 1 − = 0.85.
  3. מעבירים אגפים ומשנים סימן: 1 − 0.85 = , ולכן p = 15. זו אותה משוואה לאחר פעולות שוות בשני אגפיה.
  4. בדיקה: 15% מ־360 הם 54, ו־360 − 54 = 306.

תרגול מודרך

מחיר 200 ₪ ירד ב־10% ואז עלה ל־198 ₪. מה אחוז העלייה השנייה?

  • 9%
  • 10%
  • 1%

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מחיר 500 ₪ עלה ב־10% ואז ירד ל־440 ₪. מה אחוז ההנחה השנייה?

  • 12%
  • 22%
  • 20%

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.