קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

יחס ופרופורציה: תנאים והיתכנות

משתמשים ביחס כדי לחקור פרמטר, לבדוק אם כמויות אפשריות, להצדיק מתי שינוי שומר על יחס ולבנות מודל לתערובת או למחיר. הגשרים האלגבריים נלמדים בתוך המסלול. מסלול למידה מותאם, לא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

הרחבה לבחירה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/ratio-basics?target=5

לפני שמתחילים

1. פרמטר ביחס: קודם מגדירים מה אפשרי

פרמטר הוא אות שערכה יכול להשתנות ולתאר מצבים שונים. ביחס א:ב = (t − 1):(t + 2), מגדירים כאן את t − 1 ואת t + 2 כמספרי חלקים חיוביים, בעלי גודל חלק משותף חיובי. לכן דורשים ששני ביטויי היחס יהיו חיוביים; כאן די לדרוש t > 1. לשלם יש (t − 1) + (t + 2) = 2t + 1 חלקים, ולכן חלקה של א בשלם הוא . תנאי על החלק בשלם יוצר משוואה; פותרים אותה ואז בודקים גם את תחום הערכים האפשריים.

דוגמה: שתי כמויות ביחס (t − 1):(t + 2), כאשר שני ביטויי היחס מייצגים חלקים חיוביים. סכומן 30 ליטר וא היא שליש מהסכום. מצאו את t ואת שתי הכמויות.

  1. חיוביות מספרי החלקים מחייבת t > 1. א היא מהשלם, ולכן = .
  2. כפל בהצלבה מותר כי המכנים חיוביים: 3(t − 1) = 2t + 1. פותחים סוגריים: 3t − 3 = 2t + 1.
  3. מעבירים את 2t לשמאל בסימן מינוס ואת −3 לימין בסימן פלוס: 3t − 2t = 1 + 3, ולכן t = 4. אלה קיצורים לחיסור 2t ולחיבור 3 בשני האגפים.
  4. t = 4 מתאים לתנאי. היחס הוא 3:6 = 1:2; מתוך 30 ליטר, א היא 10 וב היא 20. א אכן שליש מהסכום.
t = 4 נותן יחס 3:6, כלומר 1:2

בדוגמה הפתורה t = 4. מספרי החלקים הם 3 ו־6, וסכומם 9; חלוקת 30 ליטר ביחס זה נותנת 10 ליטר לקבוצה א ו־20 לקבוצה ב. א היא שליש מהשלם. האיור מציג את הפתרון המסוים, לא את כל ערכי הפרמטר.

קנה מידה משותף לפסים: 0–30 ליטר. אורך כל חלק נקבע לפי הכמות שלו.

השלם: 30 ליטר

השלם: 30 ליטר1020030
  • קבוצה א: 10
  • קבוצה ב: 20

תרגול מודרך

באותו יחס א:ב = (t − 1):(t + 2), עם t > 1, א היא מהשלם. מהו t?

  • t = 3
  • t = −7
  • t = 7

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

האם קיים t > 1 שעבורו א היא בדיוק חצי מהשלם ביחס (t − 1):(t + 2)?

  • לא, ב תמיד גדולה מקבוצה א ב־3 חלקי יחס
  • כן, t = 2
  • כן, t = 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. פתרון מספרי צריך להתאים גם לפריטים שלמים

חלוקת כמות לפי יחס עשויה לתת תשובה שברית. זה יכול להתאים לליטרים, אך לא למספר של ספרים שלמים. ביחס מצומצם של מספרים שלמים, חלוקה לשתי קבוצות של פריטים שלמים אפשרית רק כשהסכום מתחלק בסכום מספרי היחס המצומצם. למשל ביחס 3:5, כל קבוצת בסיס כוללת 8 פריטים. מצמצמים לפני בדיקת ההתחלקות: היחס 4:6 הוא למעשה 2:3, ולכן בודקים כפולות של 5 ולא רק כפולות של 10.

דוגמה: מחלקים ספרים שלמים לשתי קבוצות ביחס 3:5. האם סכום של 50 ספרים אפשרי? האם סכום של 56 אפשרי?

  1. אם הכמויות הן 3k ו־5k, סכומן 8k. ב־50 ספרים מתקבל k = = 6.25.
  2. הכמויות יהיו 18.75 ו־31.25 ספרים. אלה אינן כמויות של ספרים שלמים, ולכן 50 אינו אפשרי.
  3. ב־56 ספרים מתקבל k = = 7, והכמויות הן 21 ו־35. שתיהן שלמות, סכומן 56 והיחס 3:5.
  4. מדוע כאן k חייב להיות שלם? אם א = 3k וב = 5k שלמים, גם 2א − ב = 6k − 5k = k שלם. כך תנאי ההתחלקות נובע מכך שסופרים פריטים שלמים.

תרגול מודרך

כרטיסים שלמים מחולקים ביחס 2:3. איזה מהסכומים הבאים אפשרי?

  • 42 כרטיסים
  • 45 כרטיסים
  • 47 כרטיסים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

האם אפשר לחלק 25 מדבקות שלמות ביחס 4:6?

  • לא, כי 25 אינו מתחלק ב־10
  • כן, לקבוצות של 12 ו־13
  • כן, לקבוצות של 10 ו־15

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מתי תוספת שווה באמת שומרת על יחס?

לשתי כמויות חיוביות A ו־B מוסיפים אותה כמות חיובית c. כדי שהיחס יישמר נדרש = . כפל בהצלבה מותר כי המכנים חיוביים. אחרי פתיחת סוגריים וביטול AB מתקבל Bc = Ac. משום ש־c חיובי אפשר לחלק בו ולקבל B = A. לכן תוספת חיובית שווה שומרת על היחס רק כשהכמויות היו שוות מלכתחילה. אם c = 0 אין שינוי כלל; זה מקרה נפרד שבו אין צורך שהכמויות יהיו שוות.

דוגמה: יש 8 פריטים בקבוצה א ו־12 בקבוצה ב. האם יש תוספת חיובית שווה שתשמור על היחס 2:3?

  1. נסמן את התוספת ב־c > 0. כדי לשמור על היחס נדרש = .
  2. כפל בהצלבה נותן 3(8 + c) = 2(12 + c), כלומר 24 + 3c = 24 + 2c.
  3. מעבירים את 24 ואת 2c ומכנסים: c = 0. זו אינה תוספת חיובית, ולכן אין פתרון בתנאי השאלה.
  4. לדוגמה, תוספת 4 נותנת 12:16 = 3:4. ההפרש נשאר 4, אך היחס משתנה.

תרגול מודרך

לשתי קבוצות חיוביות ביחס 1:1 מוסיפים אותה כמות c > 0. מתי היחס נשאר 1:1?

  • בכל תוספת חיובית שווה
  • רק אם c = 1
  • אף פעם

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

יש 8 פריטים בקבוצה א ו־20 בקבוצה ב. מוסיפים לכל קבוצה אותו מספר c של פריטים. מהו c אם היחס החדש א:ב הוא 1:2?

  • c = 12
  • c = 4
  • c = 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. מנתונים למודל: מחיר ליחידה או גם תשלום קבוע?

נניח במפורש שהמחיר הכולל y מורכב ממחיר קבוע u לכל יחידה ומתשלום חד־פעמי קבוע b שאינו תלוי בכמות x. אז y = ux + b. בשתי הזמנות נפרדות מאותו סוג, הפרש המחירים נובע רק מהפרש הכמויות, מפני שב מופיע בשתיהן ומתבטל. לכן u הוא הפרש המחירים חלקי הפרש הכמויות. אחר כך מוצאים את b בהצבה. הכמות והמחיר ביחס ישר רק אם b = 0. שתי דוגמאות לבדן אינן מוכיחות שהמודל תקף לכל כמות; ההנחה על מבנה התמחור היא חלק מהנתון.

דוגמה: בשירות הדפסה גובים מחיר אחיד לעותק ועוד תשלום קבוע לכל הזמנה. 2 עותקים עולים 18 ש״ח ו־5 עותקים עולים 36 ש״ח. מצאו את שני המחירים והכריעו אם המחיר הכולל ביחס ישר לכמות.

  1. המעבר מ־2 ל־5 עותקים מוסיף 3 עותקים ו־36 − 18 = 18 ש״ח. לכן u = = 6 ש״ח לעותק.
  2. מציבים בהזמנה הראשונה: 18 = 2 × 6 + b, כלומר 18 = 12 + b. מעבירים את 12 כחיסור ומקבלים b = 6 ש״ח להזמנה.
  3. המודל הוא y = 6x + 6. בדיקה: עבור 5 עותקים מתקבל 30 + 6 = 36.
  4. אין יחס ישר: התשלום הקבוע אינו אפס. גם המנות שונות: = 9, ואילו = 7.2 ש״ח לעותק בממוצע.

תרגול מודרך

לפי אותו מבנה תמחור, 3 עותקים עולים 24 ש״ח ו־7 עותקים עולים 48 ש״ח. מה המחיר לעותק ומה התשלום הקבוע?

  • 8 ש״ח לעותק ו־0 ש״ח קבוע
  • 4 ש״ח לעותק ו־12 ש״ח קבוע
  • 6 ש״ח לעותק ו־6 ש״ח קבוע

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מניחים שהמחיר הוא מחיר קבוע ליחידה ועוד תשלום קבוע להזמנה. 2 יחידות עולות 14 ש״ח ו־5 יחידות עולות 35 ש״ח. מה ניתן להסיק במסגרת המודל?

  • יש יחס ישר: y = 7x והתשלום הקבוע הוא 0
  • אין יחס ישר: התשלום הקבוע הוא 7
  • יש יחס ישר: y = 3x

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. מערבבים שני הרכבים: משוואה וגם בדיקת היתכנות

בערבוב שתי תערובות מחברים את כמויות הרכיבים, לא את מספרי היחס. תחילה ממירים כל יחס לחלק מתוך השלם. בתערובת א ביחס תרכיז למים 1:3, התרכיז הוא מהנפח; בתערובת ב ביחס 3:1, הוא . אם מערבבים כמויות חיוביות משתיהן, חלק התרכיז גדול ממש מ־ וקטן ממש מ־: כל מנה מכילה לפחות רבע תרכיז ולכל היותר שלושה רבעים, והוספת הרכב אחר מזיזה את החלק פנימה. מניחים שהנפחים מתחברים ושאין איבוד נוזל.

דוגמה: ל־8 ליטר מתערובת א, ביחס תרכיז למים 1:3, מוסיפים x ליטר מתערובת ב ביחס 3:1. כמה צריך להוסיף כדי לקבל יחס תרכיז למים 1:1?

  1. ב־8 ליטר מתערובת א יש 2 ליטר תרכיז ו־6 מים. ב־x ליטר מתערובת ב יש ליטר תרכיז ו־ מים.
  2. יחס 1:1 דורש כמויות שוות: 2 + = 6 + .
  3. כופלים את שני האגפים ב־4: 8 + 3x = 24 + x. מעבירים אגפים בסימנים המתאימים: 3x − x = 24 − 8, ולכן 2x = 16 ו־x = 8.
  4. הכמות חיובית. אחרי ההוספה יש 2 + 6 = 8 ליטר תרכיז ו־6 + 2 = 8 ליטר מים. היחס 1:1 מתאים, וחלק התרכיז נמצא בין ל־.

תרגול מודרך

ל־8 ליטר מתערובת א ביחס 1:3 מוסיפים רק 4 ליטר מתערובת ב ביחס 3:1. שני היחסים הם תרכיז למים. מה היחס בתערובת המשותפת?

  • 1:1
  • 5:7
  • 1:2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

האם ערבוב כמויות חיוביות מתערובת 1:3 ומתערובת 3:1 יכול ליצור יחס תרכיז למים 1:5, בלי להוסיף מים בנפרד?

  • כן, אם מוסיפים מספיק מהתערובת 1:3
  • כן, אם מערבבים כמויות שוות
  • לא, כי קטן מחלק התרכיז בשתי התערובות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.