קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים
יחס ופרופורציה: שילוב נתונים ושינויים
מייצגים כמויות בעזרת חלק משותף, מחברים יחסים, פותרים שינוי של יחס ומשלבים הוצאה מתערובת וקני מידה. כל כלי חדש מוסבר לפני השימוש. מסלול למידה מותאם, לא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.
תרגול והעמקה בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.
יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.
https://klikedu.app/learn/ratio-basics?target=4לפני שמתחילים
- סדר הקבוצות ביחס, הרחבה וצמצום וחלק מתוך שלם.
- כפל וחילוק בשברים, פתיחת סוגריים ופתרון משוואה קווית. העברת אגפים מוסברת שוב בתוך הדוגמה.
1. חלק משותף: מתרגמים סכום והפרש
כמויות חיוביות ביחס a:b אפשר לכתוב a × k ו־b × k, כאשר k הוא גודל חלק משותף וחיובי. בכתיב מקוצר כותבים ak ו־bk. הסכום מייצג a + b חלקים; כשהשנייה גדולה יותר, ההפרש מייצג b − a חלקים. האות k אינה מספר הקבוצות אלא הכמות בכל חלק. לפני החישוב בוחרים אם הנתון הוא סכום, הפרש או קבוצה אחת.
דוגמה: יחס ספרי הקריאה לספרי העיון הוא 3:7. יש 24 ספרי עיון יותר מספרי קריאה. כמה ספרים מכל סוג וכמה בסך הכול?
- נסמן את גודל החלק ב־k. ספרי הקריאה הם 3k וספרי העיון 7k.
- ההפרש הוא 7k − 3k = 24, כלומר 4k = 24. מחלקים ב־4 ומקבלים k = 6.
- ספרי קריאה: 3 × 6 = 18. ספרי עיון: 7 × 6 = 42. בסך הכול 18 + 42 = 60.
- בדיקה: 42 − 18 = 24 וגם 18:42 = 3:7. חלוקה של 24 בסכום החלקים הייתה מתייחסת לנתון אחר.
תרגול מודרך
שתי קבוצות ביחס 2:5, והקבוצה השנייה גדולה ב־21. מהן הכמויות לפי הסדר?
- 6 ו־15
- 14 ו־35
- 21 ו־42
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
65 כרטיסים מחולקים ביחס 4:9. בכמה גדולה הקבוצה השנייה מהראשונה?
- 25 כרטיסים
- 5 כרטיסים
- 45 כרטיסים
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
2. מחברים שני יחסים דרך הקבוצה המשותפת
אם נתונים היחס א:ב והיחס ב:ג, המספר המייצג את ב חייב להיות זהה בשניהם לפני שמחברים ליחס אחד. מרחיבים כל יחס בגורם משלו כדי להגיע למספר משותף עבור ב. רק אז קוראים את א:ב:ג. הרחבה משנה את כתיבת היחס, לא את הכמות בפועל; לכן אין לחבר את שני המספרים של ב או לספור אותה פעמיים.
דוגמה: אדומים לכחולים ביחס 2:3, וכחולים לירוקים ביחס 4:5. יש 70 חרוזים בסך הכול, ורק שלושת הצבעים האלה. כמה מכל צבע?
- לכחולים יש 3 חלקים ביחס הראשון ו־4 בשני. נייצג אותם ב־12 חלקים בשניהם.
- מרחיבים את 2:3 פי 4 ומקבלים 8:12. מרחיבים את 4:5 פי 3 ומקבלים 12:15.
- היחס המשולב הוא 8:12:15. סכום החלקים 35, ולכן כל חלק הוא = 2 חרוזים.
- אדומים 16, כחולים 24 וירוקים 30. בדיקה: הסכום 70, וגם 16:24 = 2:3 ו־24:30 = 4:5.
תרגול מודרך
א:ב = 3:4 וגם ב:ג = 2:5. מהו היחס א:ב:ג?
- 3:6:5
- 6:4:5
- 3:4:10
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
א:ב = 2:3 וגם ב:ג = 6:5. סך שלוש הכמויות הוא 60. מהי הכמות ב?
- 12
- 24
- 30
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
3. יחס חדש: משנים כמות, לא את מספר חלקי היחס
כשמוסיפים כמות לקבוצה אחת בלבד, כותבים תחילה את הכמויות הישנות בעזרת k ואז מעדכנים רק את הקבוצה שהשתנתה. היחס החדש הוא משוואה. אם = והמכנים אינם אפס, כפל שני האגפים ב־bd נותן ad = bc; זה ההסבר לכפל בהצלבה. אחרי פתיחת סוגריים משתמשים בהעברת אגפים: איבר שמועבר מחיבור לחיסור או להפך משנה סימן, כקיצור לביצוע אותה פעולת חיבור או חיסור בשני האגפים.
דוגמה: יחס אדומים לכחולים היה 2:3. נוספו 6 אדומים בלבד, והיחס נעשה 4:3. כמה חרוזים היו מכל צבע בהתחלה?
- הכמויות הישנות הן 2k ו־3k, עם k > 0. אחרי התוספת הן 2k + 6 ו־3k, ולכן = .
- המכנים חיוביים. כפל בהצלבה נותן 3(2k + 6) = 4 × 3k, ולכן 6k + 18 = 12k.
- מעבירים את 6k לימין בסימן מינוס: 18 = 12k − 6k. זו דרך קצרה לחסר 6k משני האגפים. מתקבל 6k = 18, ולכן k = 3.
- בתחילה היו 6 אדומים ו־9 כחולים. לאחר התוספת יש 12 ו־9; 12:9 = 4:3, כנדרש.
תרגול מודרך
היחס אדומים לכחולים הוא 2:5. מוסיפים 6 כחולים בלבד והיחס נעשה 1:3. כמה כחולים היו בהתחלה?
- 30
- 6
- 36
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
יחס מחברות לעטים היה 3:5. מוסיפים 8 מחברות בלבד ומתקבל יחס 1:1. כמה פריטים היו בסך הכול לפני התוספת?
- 40
- 24
- 32
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
4. מוציאים מתערובת אחידה ואז מוסיפים רכיב אחד
בתערובת אחידה כל מנה מכילה את הרכיבים באותו יחס כמו התערובת כולה. הוצאה של חלק מהתערובת מקטינה את שני הרכיבים באותו גורם ולכן שומרת על היחס. לעומת זאת, הוספת רכיב אחד משנה אותו. כדי לעקוב בלי להתבלבל, מחשבים את כמותו של כל רכיב לפני ההוצאה, אחרי ההוצאה ואחרי התוספת. בדוגמאות מניחים שנפחי הנוזלים מתחברים ושאין איבוד נוסף.
דוגמה: במכל 30 ליטר תערובת אחידה של תרכיז ומים ביחס 1:4. מוציאים 10 ליטר מהתערובת ומוסיפים 5 ליטר מים. מה היחס החדש תרכיז למים?
- בתחילה 5 חלקים: כל חלק = 6 ליטר. יש 6 ליטר תרכיז ו־24 ליטר מים.
- לאחר ההוצאה נשארו 20 מתוך 30 ליטר, כלומר מהתערובת. נשארו 6 × = 4 ליטר תרכיז ו־24 × = 16 ליטר מים.
- מוסיפים מים בלבד: התרכיז נשאר 4 ליטר, והמים נעשים 16 + 5 = 21 ליטר.
- היחס החדש הוא 4:21. הסכום 25 ליטר תואם ל־30 − 10 + 5. לא מחסרים 10 מכל רכיב בנפרד.
במקור 30 ליטר ביחס תרכיז למים 1:4. לאחר הוצאת 10 ליטר תערובת אחידה נשארים 4 ליטר תרכיז ו־16 מים, עדיין ביחס 1:4. תוספת 5 ליטר מים משנה את היחס ל־4:21. שלושת הפסים באותו קנה מידה, עד 30 ליטר. מניחים שהנפחים מתחברים ושאין איבוד נוסף.
קנה מידה משותף לפסים: 0–30 ליטר. אורך כל חלק נקבע לפי הכמות שלו.
תרגול מודרך
ב־25 ליטר תערובת אחידה יחס תרכיז למים הוא 2:3. מוציאים 10 ליטר ומוסיפים 3 ליטר מים. מה היחס החדש?
- 2:3
- 1:2
- 2:5
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
ב־18 ליטר תערובת אחידה יחס תרכיז למים הוא 1:2. מוציאים 6 ליטר ומוסיפים 4 ליטר תרכיז. מה היחס החדש?
- 1:1
- 5:2
- 1:2
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
5. אותו אורך בשני שרטוטים: עוברים דרך המציאות
כאשר אותה מציאות מוצגת בקני מידה שונים, אין להניח שהאורך בשרטוט נשאר קבוע. משרטוט ראשון עוברים לאורך האמיתי באותה יחידת אורך, ומשם מחלקים במכנה של קנה המידה השני. ככל שהמכנה גדול יותר, השרטוט קטן יותר. אם מקטינים את כל אורכי השרטוט לחצי והמציאות לא השתנתה, מכנה קנה המידה מוכפל פי 2.
דוגמה: אורך חצר הוא 8 ס״מ בתוכנית בקנה מידה 1:250. מה אורכה בתוכנית חדשה בקנה מידה 1:400?
- בתוכנית הראשונה כל ס״מ מתאים ל־250 ס״מ במציאות: האורך האמיתי הוא 8 × 250 = 2000 ס״מ, שהם 20 מטרים.
- בתוכנית החדשה כל ס״מ מתאים ל־400 ס״מ במציאות. לכן האורך בשרטוט הוא = 5 ס״מ.
- בדיקה בשתי התוכניות: 8 × 250 = 5 × 400 = 2000 ס״מ.
- התוכנית בעלת המכנה 400 אכן קטנה יותר: 5 ס״מ במקום 8 ס״מ.
תרגול מודרך
קטע באורך 6 ס״מ בתוכנית 1:200 מועבר לתוכנית 1:300. מה אורכו בתוכנית החדשה?
- 9 ס״מ
- 6 ס״מ
- 4 ס״מ
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
שביל באורך 35 מטרים משורטט בקנה מידה 1:500. מקטינים את כל אורכי השרטוט לחצי. מה אורך השביל בשרטוט החדש ומה קנה המידה החדש?
- 3.5 ס״מ; 1:250
- 3.5 ס״מ; 1:1000
- 7 ס״מ; 1:1000
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
בדיקה עצמית
הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.