קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים
יחס ופרופורציה: חלוקה ביחס וקנה מידה
מתחילים במשמעות היחס ובסדר הקבוצות, מבדילים בין חלק לחלק ובין חלק לשלם, ומתקדמים לחלוקה, מחיר ליחידה וקנה מידה. מסלול למידה מותאם, לא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.
יסודות בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.
יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.
https://klikedu.app/learn/ratio-basics?target=3לפני שמתחילים
- כפל וחילוק במספרים חיוביים.
- קריאת שבר כחלק מתוך שלם. המשמעות של יחס נבנית כאן מהתחלה.
1. מי מושווה למי: חלק לחלק או חלק לשלם?
יחס משווה כמויות לפי סדר שנקבע במילים. ביחס אדומים לכחולים 2:3, האדומים מיוצגים ב־2 חלקים שווים והכחולים ב־3 חלקים באותו גודל. אלה מספרי חלקים, לא בהכרח מספר הפריטים בפועל. אם שתי הקבוצות הן כל האוסף, לשלם יש 2 + 3 = 5 חלקים: האדומים הם מהשלם, אבל היחס שלהם לכחולים הוא 2:3. כשמחליפים את סדר הקבוצות הופכים גם את סדר המספרים.
דוגמה: באוסף יש רק 8 חרוזים אדומים ו־12 כחולים. תארו את היחס ואת חלקם של האדומים מתוך כל האוסף.
- כל חלק יכול להכיל 4 חרוזים: האדומים הם 2 חלקים והכחולים 3. לכן אדומים לכחולים הם ביחס 2:3.
- בסדר ההפוך, כחולים לאדומים, היחס הוא 3:2.
- באוסף 8 + 12 = 20 חרוזים. חלקם של האדומים הוא = .
- השבר משווה אדומים לכחולים בלבד; הוא אינו חלקם של האדומים מתוך כל האוסף.
8 חרוזים אדומים ו־12 כחולים מרכיבים אוסף של 20 חרוזים. היחס אדומים לכחולים הוא 2:3; חלקם של האדומים מכל האוסף הוא . הפס השלם מייצג את האוסף כולו.
קנה מידה משותף לפסים: 0–20 חרוזים. אורך כל חלק נקבע לפי הכמות שלו.
תרגול מודרך
אוסף מכיל רק אדומים וכחולים ביחס 3:5. איזה חלק מכל האוסף אדום?
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
באוסף שיש בו רק ספרים ומחברות, היחס ספרים למחברות הוא 2:7. איזה חלק מהאוסף הוא מחברות?
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
2. אותו יחס: מכפילים או מחלקים את שני המספרים
יחסים שקולים מתארים אותה השוואה בכמויות שונות. כפל של שני מספרי היחס באותו גורם חיובי שומר על היחס; חלוקת שניהם באותו גורם חיובי מאפשרת לצמצם. כדי לצמצם לגמרי יחס של מספרים שלמים, מחלקים עד שלא נשאר מחלק משותף גדול מ־1. הוספת מספר שווה לשתי כמויות שונות אינה שומרת על היחס, גם אם ההפרש ביניהן נשמר.
דוגמה: בדקו אם 6:9 ו־8:12 שקולים ל־2:3, ואם גם 4:5 שקול לו.
- 6:9 מתקבל מכפל שני המספרים של 2:3 ב־3; לכן הוא שקול ל־2:3.
- 8:12 מתקבל מכפל שני המספרים ב־4. בחלוקה ב־4 חוזרים ל־2:3.
- כדי לעבור מ־2 ל־4 כופלים ב־2. לכן 3 צריך להפוך ל־6, ולא ל־5.
- מכאן 4:5 אינו שקול ל־2:3. תוספת של 2 לשניהם אינה הרחבה.
תרגול מודרך
איזה יחס שקול ל־4:7?
- 8:11
- 12:21
- 12:7
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
מהו היחס 8:12 כשהוא מצומצם לגמרי?
- 2:3
- 4:6
- 2:4
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
3. איזה נתון קיבלנו: קבוצה אחת או הסכום?
מוצאים תחילה מה שווה חלק אחד. אם ידועה קבוצה אחת, מחלקים במספר החלקים של אותה קבוצה. אם נתון הסכום של שתי הקבוצות, מחלקים בסכום מספרי היחס. לאחר מכן מכפילים את ערך החלק במספר החלקים של כל קבוצה. בודקים גם את היחס וגם את הנתון שניתן, כי סכום נכון לבדו אינו מבטיח חלוקה נכונה.
דוגמה: 42 מדבקות מחולקות בין דנה ליואב ביחס 2:5. כמה יקבל כל אחד? מה היינו עושים אילו ידענו רק שדנה קיבלה 12?
- 42 הוא הסכום: הוא מייצג 2 + 5 = 7 חלקים. לכן חלק אחד הוא = 6 מדבקות.
- דנה מקבלת 2 × 6 = 12 מדבקות, ויואב 5 × 6 = 30.
- בדיקה: 12 + 30 = 42 וגם 12:30 = 2:5.
- אם הנתון היה רק 12 המדבקות של דנה, היינו מחלקים ב־2 ולא ב־7: = 6. מכאן שוב יואב מקבל 30.
תרגול מודרך
40 כרטיסים מחולקים לשתי קבוצות ביחס 3:5. כמה כרטיסים בקבוצה הראשונה?
- 24
- 5
- 15
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
יחס מחברות לעטים הוא 4:7. יש 20 מחברות. כמה עטים יש?
- 11
- 35
- 28
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
4. מחיר ליחידה: לומדים מה נשאר קבוע
מחיר ליחידה הוא המחיר הכולל חלקי מספר היחידות, והוא נמדד למשל בשקלים למחברת או בשקלים לקילוגרם. כשמחיר היחידה קבוע ואין תשלום נוסף, הכמות והמחיר נמצאים ביחס ישר: הגדלת הכמות פי גורם מסוים מגדילה את המחיר באותו גורם. אפשר לעבור דרך יחידה אחת גם כשלא נוח לראות גורם הגדלה. להשוואת הצעות מביאים אותן לאותה יחידה; אין להסיק שמחיר היחידה קבוע אם יש מבצע או תשלום קבוע נוסף.
דוגמה: 3 מחברות עולות 18 ש״ח. כל מחברת נמכרת באותו מחיר, ללא תשלום נוסף. כמה עולות 5 מחברות?
- מחיר מחברת אחת הוא = 6 ש״ח למחברת.
- 5 מחברות עולות 5 × 6 = 30 ש״ח.
- במחיר ובמחיר מתקבל אותו מחיר ליחידה: 6.
- היחס הישר נובע מהמחיר הקבוע למחברת ומהיעדר תשלום נוסף, ולא רק מכך שהמחיר גדל כשהכמות גדלה.
תרגול מודרך
4 בקבוקים עולים 28 ש״ח. מחיר הבקבוק קבוע ואין תשלום נוסף. כמה יעלו 9 בקבוקים?
- 63 ש״ח
- 33 ש״ח
- 49 ש״ח
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
בהצעה א: 2 ק״ג אורז ב־18 ש״ח. בהצעה ב: 5 ק״ג מאותו אורז ב־40 ש״ח. באיזו הצעה המחיר לק״ג נמוך יותר?
- בהצעה א: 9 ש״ח לק״ג
- המחיר לק״ג שווה בשתיהן
- בהצעה ב: 8 ש״ח לק״ג
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
5. קנה מידה: שומרים על הסדר ועל היחידות
קנה מידה 1:200 מתאר יחס אורך בשרטוט לאורך במציאות, באותה יחידת אורך. לכן 1 ס״מ בשרטוט מתאים ל־200 ס״מ במציאות. מהשרטוט למציאות כופלים ב־200; מהמציאות לשרטוט מחלקים ב־200. מטר אחד הוא 100 ס״מ, ולכן ממירים יחידות לפני השוואת המספרים. קנה המידה כאן מתאר אורכים, ואין להשתמש באותו גורם ישירות לחישוב שטח.
דוגמה: בתוכנית בקנה מידה 1:200 אורך קיר הוא 3 ס״מ. מה אורכו במציאות, ואיך בודקים בדרך חזרה?
- 3 ס״מ בשרטוט מייצגים 3 × 200 = 600 ס״מ במציאות.
- 600 ס״מ הם = 6 מטרים.
- לבדיקה חוזרים ליחידות זהות: 6 מטרים הם 600 ס״מ.
- = 3 ס״מ בשרטוט, כמו הנתון.
תרגול מודרך
קיר באורך 4 מטרים מופיע בתוכנית בקנה מידה 1:50. מה אורכו בתוכנית?
- 200 ס״מ
- 8 ס״מ
- 0.08 ס״מ
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
בקנה מידה 1:100 נמדד קטע באורך 2.5 ס״מ בשרטוט. מה אורכו במציאות?
- 2.5 מטרים
- 250 מטרים
- 0.025 מטר
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
בדיקה עצמית
הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.