קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

משפחת המרובעים: תכונות והוכחות · תרגול והעמקה

מוכיחים תכונות ומשפטים הפוכים בעזרת חפיפה; משתמשים באלכסונים ובקטע אמצעים בטרפז.

תרגול והעמקה בחטיבה · מיפוי פדגוגי לחטיבת הביניים על בסיס תוכנית החטיבה; ההרחבות מסומנות לפי מוכנות. אין כאן אימות מלא לכל החרגות תוכנית תשפ״ז. הרמות הן עומק למידה, לא מספר יחידות בתיכון. מוכיחים תכונות ומשפטים הפוכים בעזרת חפיפה; משתמשים באלכסונים ובקטע אמצעים בטרפז.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/quadrilaterals?target=4

לפני שמתחילים

1. מוכיחים מקבילית דרך חפיפת משולשים

במרובע קמור ששני זוגות צלעותיו הנגדיות שוות אפשר להעביר אלכסון, לחפוף שני משולשים לפי צלע־צלע־צלע, ולהסיק מקבילות מזוויות מתחלפות שוות. זו הוכחה למשפט הזיהוי, ולא הנחה שהצלעות מקבילות. בכתיבת חפיפה יש להתאים קודקודים על פי צלעות שוות.

דוגמה: במרובע קמור ABCD נתון AB = CD ו־BC = AD. הוכיחו ש־ABCD מקבילית בעזרת AC.

  1. במשולשים ABC ו־CDA: AB = CD, BC = DA, AC = CA ()משותפת), ולכן הם חופפים לפי צלע־צלע־צלע.
  2. מהחפיפה ∠BAC = ∠DCA, ולכן AB ∥ CD לפי המשפט ההפוך לזוויות מתחלפות.
  3. גם ∠BCA = ∠DAC, ולכן BC ∥ AD. שני זוגות נגדיים מקבילים, ולכן המרובע מקבילית.

תרגול מודרך

איזו צלע משותפת למשולשים ABC ו־CDA?

  • AB
  • BD
  • AC

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בהתאמה ABC ↔ CDA, איזו זווית מתאימה ל־∠ABC?

  • ∠DCA
  • ∠CDA
  • ∠CAD

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. אלכסונים חוצים: תכונה ומשפט הפוך

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה. גם ההפך נכון: אם אלכסוני מרובע קמור נחתכים בנקודה O ומתקיים AO = OC וגם BO = OD, המרובע מקבילית. להוכחה חופפים זוגות משולשים לפי שתי צלעות והזווית הקודקודית שביניהן, ואז מסיקים שוויון צלעות נגדיות. חציית אלכסון אחד בלבד אינה מספיקה.

דוגמה: במרובע קמור ABCD האלכסונים נפגשים ב־O. נתון AO = OC = 4, BO = OD = 3. הוכיחו שזו מקבילית.

  1. ∠AOB = ∠COD כזוויות קודקודיות. יחד עם AO = OC ו־BO = OD נקבל △AOB ≅ △COD לפי צלע־זווית־צלע. לכן AB = CD.
  2. באופן דומה △AOD ≅ △COB, ולכן AD = CB.
  3. שני זוגות צלעות נגדיות שווים, לכן ABCD מקבילית. אורכי האלכסונים 8 ו־6 אינם שווים, ולכן זו אינה מלבן.

תרגול מודרך

במרובע AO = OC = 5, BO = 2 ו־OD = 4. האם נתונים אלה מוכיחים מקבילית?

  • כן, כי AC ארוך מ־BD
  • לא, רק אלכסון אחד נחצה
  • כן, כי O נמצאת על שני האלכסונים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במקבילית AO = 2x + 1 ו־OC = 11. מהו x?

  • 5
  • 6
  • 10

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מלבן: הוכחה באמצעות אלכסונים שווים

במקבילית אלכסונים שווים הם תנאי מספיק למלבן. כדי להבין מדוע, משווים את המשולשים ABC ו־BAD: AB משותפת, BC = AD משום שזו מקבילית, ו־AC = BD לפי הנתון. בחפיפה מתקבלות זוויות סמוכות שוות; במקבילית הן גם משלימות ל־180°, ולכן כל אחת 90°. התנאי שהמרובע מקבילית חיוני.

דוגמה: במקבילית ABCD נתון AC = BD. הוכיחו ש־∠ABC = 90°.

  1. △ABC ≅ △BAD לפי צלע־צלע־צלע: AB = BA, BC = AD, AC = BD.
  2. לכן ∠ABC = ∠BAD. אלה זוויות סמוכות במקבילית, ולכן סכומן 180°.
  3. שתי זוויות שוות שסכומן 180° שוות ל־90° כל אחת; לכן המקבילית מלבן.

תרגול מודרך

איזה נתון מוכיח שמקבילית היא מלבן?

  • אלכסוניה שווים
  • אלכסוניה חוצים זה את זה
  • צלעות נגדיות שוות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במקבילית AC = 3x − 2 ו־BD = x + 6. עבור איזה x היא מלבן?

  • 2
  • 8
  • 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. מעוין: מהמאונכות לשוויון הצלעות

מקבילית שאלכסוניה מאונכים היא מעוין. אם O מפגש האלכסונים, אז BO = OD בגלל חציית האלכסונים ו־AO משותפת למשולשים AOB ו־AOD; הזוויות שביניהן ישרות. החפיפה מוכיחה AB = AD, כלומר שתי צלעות סמוכות שוות, ומכאן מעוין. מאונכות אלכסונים במרובע כללי לבדה אינה מספיקה.

דוגמה: במקבילית ABCD נתון AC ⟂ BD. הוכיחו ש־AB = AD ומכאן שהמרובע מעוין.

  1. נסמן O מפגש האלכסונים. במקבילית BO = OD.
  2. AO משותפת ו־∠AOB = ∠AOD = 90°, לכן △AOB ≅ △AOD לפי צלע־זווית־צלע.
  3. AB = AD. גם AB = CD ו־AD = BC לפי תכונות מקבילית, ולכן כל ארבע הצלעות שוות.
מקבילית בעלת אלכסונים מאונכיםABCDO
מקבילית בעלת אלכסונים מאונכים

BO = OD מתכונת המקבילית; AO משותפת. הזוויות הישרות נותנות חפיפה.

תרגול מודרך

מה נוסף למאונכות האלכסונים בהוכחה באמצעות △AOB ו־△AOD?

  • AC = BD בלבד
  • ∠A = 90°
  • BO = OD ו־AO משותפת

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מקבילית שאלכסוניה מאונכים ושווים היא מה?

  • טרפז שווה־שוקיים
  • ריבוע
  • מלבן שאינו מעוין

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. טרפז שווה־שוקיים: מוכיחים אלכסונים שווים

בטרפז שווה־שוקיים ABCD עם AB ∥ CD, זוויות הבסיס AB שוות. המשולשים DAB ו־CBA חופפים: AD = BC, AB משותפת, והזוויות DAB ו־CBA שוות. מכאן DB = CA. משתמשים במשפט זוויות הבסיס של טרפז שווה־שוקיים שכבר נלמד; אין לטעון שהמשולשים חופפים רק כי השוקיים שוות.

דוגמה: בטרפז שווה־שוקיים ABCD, AB ∥ CD ו־AD = BC. הוכיחו AC = BD.

  1. זוויות הבסיס ליד AB שוות: ∠DAB = ∠CBA.
  2. AD = BC נתון ו־AB = BA צלע משותפת. הזוויות השוות כלואות בין הצלעות הללו.
  3. △DAB ≅ △CBA לפי צלע־זווית־צלע, ולכן DB = CA כצלעות מתאימות.

תרגול מודרך

בטרפז שווה־שוקיים AC = 2x + 3 ו־BD = 13. מהו x?

  • 10
  • 5
  • 8

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה נימוק מתאים לשוויון ∠DAB = ∠CBA בטרפז שווה־שוקיים עם AB ∥ CD?

  • זוויות ליד אותו בסיס שוות
  • זוויות קודקודיות
  • זוויות מתחלפות בין המקבילים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

6. קטע אמצעים בטרפז: מקבילות וממוצע

קטע אמצעים בטרפז מחבר את אמצעי השוקיים, ולא את אמצעי הבסיסים. הוא מקביל לבסיסים ואורכו מחצית סכומם. בטרפז ABCD עם AB ∥ CD, אם M אמצע AD ו־N אמצע BC, אז MN = . אפשר להוכיח בעזרת אלכסון וקטעי אמצעים במשולשים: ישר דרך M המקביל לבסיסים חותך את AC באמצעו K, ואז חותך את BC באמצעו N. תזכורת מנומקת לקטע אמצעים במשולש: במשולש XYZ, יהי M אמצע XY. הישר דרך M המקביל ל־YZ פוגש את XZ ב־N. המשולשים XMN ו־XYZ דומים לפי שתי זוויות, ולכן = = = . מכאן N אמצע XZ ו־MN = . להפך, אם N נתונה כאמצע XZ, הישר המקביל דרך M חייב לעבור באותה N, משום שעל XZ יש רק נקודה אחת במרחק מ־X. כך הוכחו גם משפט קטע האמצעים וגם הזיהוי בעזרת אמצע ומקביל.

דוגמה: בטרפז ABCD הבסיסים AB = 6 ו־CD = 14 ס״מ. M,N אמצעי השוקיים AD,BC. מצאו MN והסבירו בעזרת AC.

  1. נעביר דרך M ישר מקביל לבסיסים, החותך את AC ב־K. במשולש ADC הוא קטע אמצעים, ולכן MK = = 7.
  2. במשולש ABC, K אמצע AC והישר דרך K מקביל ל־AB, לכן הוא עובר באמצע BC, כלומר N, ו־KN = = 3.
  3. K נמצא בין M ל־N, ולכן MN = MK + KN = 7 + 3 = 10 ס״מ.
קטע אמצעים בטרפז: שני קטעי אמצעים במשולשיםABCDMNK
קטע אמצעים בטרפז: שני קטעי אמצעים במשולשים

AB ∥ CD; M,N הם אמצעי השוקיים. K אמצע AC. האורכים בשרטוט תואמים לבסיסים 6 ו־14.

תרגול מודרך

בסיסי טרפז הם 8 ו־12 ס״מ. מה אורך קטע האמצעים?

  • 10 ס״מ
  • 20 ס״מ
  • 4 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

קטע האמצעים בטרפז הוא 11 ס״מ ובסיס אחד 7 ס״מ. מה אורך הבסיס השני?

  • 4 ס״מ
  • 18 ס״מ
  • 15 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.