קליק · מתמטיקה

משפחת המרובעים: תכונות והוכחות

מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע וטרפז: הגדרות, תכונות, זיהוי והוכחות.

https://klikedu.app/learn/quadrilaterals

1. מרובעים: הגדרות ושייכות למשפחות

במסלול זה עוסקים במרובעים קמורים: ארבעה קודקודים שונים לפי סדר ההיקף, צלעות שאינן מצטלבות וכל זווית פנימית קטנה מ־180°. סכום הזוויות הוא 360°, כי אלכסון מחלק לשני משולשים. מקבילית היא מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים. מלבן הוא מרובע בעל ארבע זוויות ישרות; מעוין הוא מרובע בעל ארבע צלעות שוות; ריבוע מקיים את שתי ההגדרות. לכן ריבוע הוא גם מלבן, גם מעוין וגם מקבילית. כאן טרפז מוגדר כבעל זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות; הגדרה זו מוציאה מקביליות ממשפחת הטרפזים.

דוגמה: במרובע ABCD נתונות הזוויות 80°, 100°, 70° בקודקודים A,B,C. מצאו את D. האם הנתונים לבדם מראים שזה מלבן?

  1. מחלקים בדמיון באלכסון AC לשני משולשים, ולכן סכום הזוויות 360°.
  2. ∠D = 360° − (80° + 100° + 70°) = 110°.
  3. זה אינו מלבן: כבר נתונה זווית שאינה ישרה. אין למיין לפי צורת השרטוט.

תרגול מודרך

ריבוע הוא גם איזה מרובע?

  • מלבן ומעוין
  • מלבן בלבד
  • טרפז לפי ההגדרה כאן

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

במרובע קמור שלוש זוויות הן 90°, 85°, 95°. מהי הרביעית?

  • 85°
  • 180°
  • 90°

תשובה: __________________________________________________

2. מקבילית: צלעות וזוויות נגדיות

במקבילית ABCD מתקיים AB ∥ CD וגם AD ∥ BC. צלעות נגדיות שוות: AB = CD, AD = BC. זוויות נגדיות שוות, וזוויות סמוכות משלימות ל־180° בגלל ישרים מקבילים. ניתן להוכיח את שוויון הצלעות בעזרת האלכסון AC: שתי זוויות מתחלפות שוות והצלע AC משותפת, ולכן המשולשים ABC ו־CDA חופפים לפי זווית־צלע־זווית. משתמשים בתכונות רק אחרי שהמקבילית נתונה או הוכחה.

דוגמה: במקבילית ABCD נתון AB = 7 ס״מ, BC = 4 ס״מ ו־∠A = 65°. מצאו את ההיקף ואת שאר הזוויות.

  1. CD = AB = 7 ו־AD = BC = 4, ולכן ההיקף 7 + 4 + 7 + 4 = 22 ס״מ.
  2. ∠C = ∠A = 65° כי אלה זוויות נגדיות.
  3. ∠B = 180° − 65° = 115° וגם ∠D = 115°. בדיקה: הסכום 360°.

תרגול מודרך

במקבילית זווית אחת 120°. מהי זווית סמוכה לה?

  • 120°
  • 30°
  • 60°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

במקבילית שתי צלעות סמוכות באורך 5 ו־9 ס״מ. מה ההיקף?

  • 45 ס״מ
  • 28 ס״מ
  • 14 ס״מ

תשובה: __________________________________________________

3. מלבן: מה ידוע על האלכסונים?

מלבן הוא מקבילית בעלת זווית ישרה, ולכן כל זוויותיו ישרות. כמו בכל מקבילית, האלכסונים חוצים זה את זה; בנוסף, במלבן הם שווים. אם AC ו־BD נפגשים ב־O, אז AO = OC, BO = OD וגם AC = BD. לכן כל ארבעת חצאי האלכסונים שווים. אין להסיק שהאלכסונים מאונכים: זה נכון בריבוע, אבל לא בכל מלבן.

דוגמה: במלבן ABCD האלכסונים נחתכים ב־O ו־AC = 10 ס״מ. מצאו את BD, AO ו־BO.

  1. אלכסוני מלבן שווים, ולכן BD = 10 ס״מ.
  2. האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן AO = = 5 ס״מ.
  3. גם BO = = 5 ס״מ. שוויון ארבעת החצאים אינו אומר שיש זווית ישרה ביניהם.

תרגול מודרך

במלבן AO = 6 ס״מ כאשר O מפגש האלכסונים. מהו BD?

  • 3 ס״מ
  • 12 ס״מ
  • 6 ס״מ

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מה נכון בכל מלבן?

  • האלכסונים שווים וחוצים זה את זה
  • האלכסונים תמיד מאונכים
  • כל הצלעות שוות

תשובה: __________________________________________________

4. מעוין וריבוע: צלעות ואלכסונים

מעוין הוא מרובע שכל צלעותיו שוות. הוא גם מקבילית, ולכן האלכסונים חוצים זה את זה. במעוין האלכסונים מאונכים, וכל אלכסון חוצה את הזוויות בקצותיו. האלכסונים אינם חייבים להיות שווים. ריבוע הוא מעוין בעל זווית ישרה, ולכן מתקיימות בו גם תכונות המלבן: אלכסונים שווים, מאונכים וחוצים זה את זה. חציית זווית מתייחסת לאלכסון היוצא מאותו קודקוד.

דוגמה: במעוין ABCD נתון ∠A = 80°. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. מצאו את ∠BAC ואת ∠AOB.

  1. האלכסון AC חוצה את הזווית A, ולכן ∠BAC = 80°/2 = 40°.
  2. אלכסוני המעוין מאונכים, ולכן ∠AOB = 90°.
  3. המעוין אינו ריבוע במקרה זה, כי ∠A אינה 90°.

תרגול מודרך

במעוין ∠B = 110°. מהי ∠ABD?

  • 55°
  • 110°
  • 35°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

איזה נתון נוסף הופך מעוין לריבוע?

  • האלכסונים מאונכים
  • כל הצלעות שוות
  • זווית אחת ישרה

תשובה: __________________________________________________

5. טרפז ושווה־שוקיים: בסיסים וזוויות

בטרפז ABCD שבו AB ∥ CD ורק זוג זה מקביל, AB ו־CD הם הבסיסים, ו־AD ו־BC הן השוקיים. זוויות הסמוכות לאותה שוק משלימות ל־180°: ∠A + ∠D = 180° ו־∠B + ∠C = 180°. בטרפז שווה־שוקיים AD = BC, זוויות ליד כל בסיס שוות: ∠A = ∠B, ∠D = ∠C. גם האלכסונים שווים, אך בדרך כלל אינם חוצים זה את זה.

דוגמה: בטרפז שווה־שוקיים ABCD, שבו AB ∥ CD, נתון ∠A = 70°. מצאו את יתר הזוויות.

  1. זוויות הבסיס AB שוות, ולכן ∠B = 70°.
  2. הזוויות A ו־D סמוכות לאותה שוק AD, ולכן ∠D = 180° − 70° = 110°.
  3. גם ∠C = 110°. מתקבל סכום 360°.

תרגול מודרך

בטרפז AB ∥ CD ו־∠A = 105°. מהי ∠D?

  • 105°
  • 85°
  • 75°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מה מובטח בטרפז שווה־שוקיים?

  • כל הזוויות שוות
  • האלכסונים שווים
  • האלכסונים חוצים זה את זה

תשובה: __________________________________________________

6. מזהים סוג מרובע בעזרת תנאי מספיק

תכונה מתארת מה נובע מסוג המרובע; משפט זיהוי נותן תנאי שמספיק להוכיח את הסוג. במרובע קמור, שני זוגות צלעות נגדיות שוות מספיקים להוכחת מקבילית. מקבילית בעלת אלכסונים שווים היא מלבן; מקבילית בעלת שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין. ארבע צלעות שוות לבדן אינן מספיקות לריבוע: דרושה גם זווית ישרה, או תנאי שקול. זווית ישרה אחת במרובע כללי אינה מספיקה למלבן.

דוגמה: במרובע קמור ABCD נתון AB = CD = 8, AD = BC = 5 וגם ∠A = 90°. הוכיחו שזה מלבן.

  1. שני זוגות הצלעות הנגדיות שווים, לכן ABCD מקבילית.
  2. במקבילית זוויות סמוכות משלימות ל־180°; אם אחת 90°, גם הסמוכות לה 90°.
  3. הזווית הנגדית שווה לה. לכן ארבע זוויות ישרות וזה מלבן.

תרגול מודרך

מקבילית בעלת שתי צלעות סמוכות שוות היא בהכרח מה?

  • טרפז
  • מעוין
  • ריבוע

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

במרובע נתון רק ששני האלכסונים שווים. מה אפשר להסיק?

  • אין די מידע כדי לקבוע שהוא מלבן
  • זה בהכרח מלבן
  • זה בהכרח ריבוע

תשובה: __________________________________________________

דוגמה מסכמת

במרובע ABCD נתונות הזוויות 80°, 100°, 70° בקודקודים A,B,C. מצאו את D. האם הנתונים לבדם מראים שזה מלבן?

  1. מחלקים בדמיון באלכסון AC לשני משולשים, ולכן סכום הזוויות 360°.
  2. ∠D = 360° − (80° + 100° + 70°) = 110°.
  3. זה אינו מלבן: כבר נתונה זווית שאינה ישרה. אין למיין לפי צורת השרטוט.

תרגול מסכם

שאלה 1

במקבילית זווית אחת 70°. מהי הזווית הסמוכה במעלות? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

שאלה 2

צלעות סמוכות במקבילית באורך 4 ו־7 ס״מ. מה ההיקף בס״מ? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

שאלה 3

במלבן ABCD האלכסונים נפגשים ב־O ו־AC = 14 ס״מ. מהו BO בס״מ? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

שאלה 4

במעוין ABCD זווית A היא 100°. מהי ∠BAC במעלות? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

שאלה 5

בטרפז שווה־שוקיים ABCD נתון AB ∥ CD ו־∠A = 65°. מהי ∠C במעלות? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

שאלה 6

כמה זוגות של צלעות נגדיות מקבילות יש במקבילית? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

בדיקה עצמית

האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.