קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

פונקציה ריבועית ופרבולה · תרגול והעמקה

מקשרים בין ייצוגים של פרבולה, משתמשים בסימטריה ובפירוק לגורמים, ומנמקים מפגשים ומודלים בתחום החטיבה.

תרגול והעמקה בחטיבה · מיפוי פדגוגי לחטיבת הביניים על בסיס תוכנית החטיבה; ההרחבות מסומנות לפי מוכנות. אין כאן אימות מלא לכל החרגות תוכנית תשפ״ז. הרמות הן עומק למידה, לא מספר יחידות בתיכון. מקשרים בין ייצוגים של פרבולה, משתמשים בסימטריה ובפירוק לגורמים, ומנמקים מפגשים ומודלים בתחום החטיבה.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/quadratic-functions?target=4

לפני שמתחילים

1. המקדם משנה כיוון וגובה

בצורה y = a(x − h)² + k, כאשר a אינו 0, הקודקוד נשאר (h, k). סימן a קובע את הכיוון: חיובי מעלה ושלילי מטה. הערך המוחלט שלו מכפיל את המרחק האנכי מהקודקוד באותו מרחק אופקי; למשל |a| = 2 נותן מרחק אנכי כפול לעומת הפרבולה הבסיסית. אין לפרש את a כשיפוע קבוע, כי קצב השינוי של פרבולה אינו קבוע.

דוגמה: השוו y = (x − 1)² + 3 עם y = −2(x − 1)² + 3.

  1. לשתיהן קודקוד (1, 3).
  2. הראשונה פונה מעלה והשנייה מטה.
  3. בקלט x = 2 המרחק האופקי מהקודקוד הוא 1; הפלטים הם 4 ו־1 בהתאמה.

תרגול מודרך

מה קודקוד y = −3(x + 2)² + 5?

  • (2, 5)
  • (−2, 5)
  • (−2, −5)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

ב־y = 2x², מה השינוי בפלט מ־x = 1 ל־2 ומ־2 ל־3?

  • 2 ואז 2
  • 4 ואז 6
  • 6 ואז 10

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מוצאים קודקוד משני קלטים שווי פלט

כאשר שתי נקודות שונות על פרבולה נמצאות באותו גובה, ציר הסימטריה עובר באמצע בין קלטיהן. ממוצע הקלטים נותן את קלט הקודקוד, אך אינו נותן את גובהו. כדי למצוא גובה צריך מידע נוסף, למשל כלל הפונקציה. הכלל נכון גם כאשר הנקודות אינן נקודות אפס.

דוגמה: ב־y = (x − 2)² − 3 הנקודות (−1, 6) ו־(5, 6) שוות גובה. מצאו קודקוד.

  1. ממוצע הקלטים הוא = 2.
  2. מציבים x = 2 בכלל: y = 0² − 3 = −3.
  3. הקודקוד (2, −3); גובה הנקודות הנתונות, 6, אינו גובה הקודקוד.

תרגול מודרך

שתי נקודות שוות גובה הן (−4, 7), (2, 7). מה הציר?

  • x = 1
  • y = 7
  • x = −1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

לפרבולה ציר x = 1 והנקודה (4, −2). איזו נקודה נוספת בהכרח עליה?

  • (−2, −2)
  • (−4, −2)
  • (1, −2)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. הצורה המכפלתית מגלה אפסים

ב־y = a(x − r)(x − s) האפסים הם r ו־s, כי מכפלה מתאפסת כאשר לפחות גורם אחד מתאפס. אם האפסים שונים, ציר הסימטריה באמצע ביניהם. את החיתוך עם ציר y עדיין מוצאים בהצבת 0. כאשר שני הגורמים זהים יש קלט אפס אחד ולא שני קלטים שונים.

דוגמה: נתון y = (x − 1)(x − 5). מצאו אפסים וקודקוד.

  1. האפסים הם 1 ו־5, ולכן החיתוכים הם (1, 0), (5, 0).
  2. ציר הסימטריה הוא x = = 3.
  3. מציבים 3: y = 2 × (−2) = −4. הקודקוד (3, −4).

תרגול מודרך

מהם האפסים של y = (x + 2)(x − 4)?

  • −2, 4
  • 2, −4
  • 2, 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מה החיתוך עם ציר y של y = −2(x − 1)(x + 3)?

  • (0, −6)
  • (0, 6)
  • (6, 0)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. סימן ותחומי שינוי בפרבולה הפוכה

כאשר הפרבולה פונה מטה ויש לה שני אפסים שונים, היא חיובית ביניהם ושלילית מחוץ להם. היא עולה משמאל לקודקוד ויורדת מימינו. את טענת הסימן אפשר לאמת באמצעות סימני הגורמים; סימן המקדם השלילי הופך את סימן מכפלתם. יש להבדיל בין הפלט המרבי לבין הקלט שבו מתקבל המרב.

דוגמה: נתון y = −(x − 1)(x − 5). תארו סימן ושינוי.

  1. האפסים הם 1 ו־5 והקודקוד בקלט 3.
  2. בין האפסים הגורמים בסימנים שונים והמינוס החיצוני הופך לחיובי; מחוץ להם הפלט שלילי.
  3. הפונקציה עולה ב־x < 3 ויורדת ב־x > 3. הצבת 3 נותנת מקסימום 4.

תרגול מודרך

היכן y = −(x + 1)(x − 3) חיובית?

  • x < −1 או x > 3
  • −1 < x < 3
  • בכל x

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

ב־y = −(x − 2)² + 9, מהו תחום הירידה?

  • x < 2
  • x > 9
  • x > 2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. ישר ופרבולה: פתרון ובדיקה

השוואת ישר לפרבולה יוצרת משוואה ריבועית. אחרי העברת האיברים לאגף אחד אפשר לעיתים לפרק לגורמים. כל פתרון נותן קלט מועמד; מציבים כדי לקבל את הגובה ובודקים בשני הכללים. בדיקה מזהה טעויות סימן וגם מונעת החלפה בין x ל־y.

דוגמה: מצאו מפגשי y = x² עם y = 2x + 3.

  1. משווים: x² = 2x + 3, כלומר x² − 2x − 3 = 0.
  2. מפרקים: (x − 3)(x + 1) = 0; הקלטים 3 ו־−1.
  3. ב־x = 3 שני הכללים נותנים 9; ב־x = −1 שניהם נותנים 1. הנקודות (3, 9), (−1, 1).
מפגשי פרבולה וישר עולה-3-2-112345-3-2-11234567891011xy0A (−1, 1)B (3, 9)O
מפגשי פרבולה וישר עולה

בשני המפגשים מתקבל אותו פלט בשני הכללים: (−1, 1) ו־(3, 9).

y = x²

  • y = 2x + 3

תרגול מודרך

מהם קלטי המפגש של y = x² ושל y = 3x?

  • −3, 3
  • 3 בלבד
  • 0, 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מה נקודת המפגש היחידה של y = x² ושל y = 2x − 1?

  • (1, 1)
  • (−1, 1)
  • (1, −1)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

6. מתי הפרבולה מעל הישר?

כדי לדעת איזה גרף גבוה יותר משווים פלטים באותו קלט. אפשר לבחון את ההפרש: אם f(x) − g(x) חיובי, גרף f מעל g. נקודות המפגש מחלקות את ציר הקלט לתחומים שבהם בודקים את סימן ההפרש. בשאלת ״מעל״ אין לכלול מפגשים, כי שם הגבהים שווים.

דוגמה: מתי y = x² נמצא מעל y = 2x + 3?

  1. ההפרש הוא x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1).
  2. אפסי ההפרש הם −1 ו־3; הפרבולה של ההפרש פונה מעלה.
  3. ההפרש חיובי מחוץ לאפסים: x < −1 או x > 3.

תרגול מודרך

מתי y = x² נמצא מתחת ל־y = 4?

  • −2 < x < 2
  • x < −2 או x > 2
  • x = ±2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מתי y = −x² + 4 נמצא מעל הישר y = 3?

  • x < −1 או x > 1
  • −1 < x < 1
  • בכל x

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

7. מפרשים שתי תשובות במודל

במלבן עם סכום אורכים קבוע יכולות להתקבל שתי תשובות לאותו שטח: הן מחליפות בין אורך לרוחב. תנאי מציאותי נוסף עשוי להשאיר רק אחת. חשוב לציין יחידות: x הוא אורך והפלט הוא שטח. תחום המודל נובע מהגאומטריה ואינו בהכרח כל המספרים.

דוגמה: היקף מלבן 20 ס״מ ושטחו 21 סמ״ר. מצאו את צלעותיו.

  1. סכום שתי צלעות סמוכות הוא 10, ולכן הצלעות x ו־10 − x והתחום 0 < x < 10.
  2. משוואת השטח x(10 − x) = 21 שקולה ל־(x − 3)(x − 7) = 0.
  3. האפשרויות x = 3 או x = 7 מתארות אותו מלבן: צלעות 3 ו־7 ס״מ.

תרגול מודרך

מלבן בעל צלעות x ו־12 − x. באיזה x השטח מרבי?

  • 12
  • 6
  • 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

צלעות מלבן הן x ו־10 − x, ונתון x ≤ 5. שטחו 21. מה x?

  • 7
  • 3 או 7
  • 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.