קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

משוואות ריבועיות עם פרמטרים וסיווג פתרונות

קשרי שורשים ומקדמים, סיווג משפחות, מקרים שבהם המעלה משתנה והצבה שמחייבת בדיקת תחום. זהו מסלול הכנה ממוקד, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

הרחבה לבחירה · משוואות ריבועיות ופירוק, השלמה לריבוע ונוסחת השורשים לפי מוכנות. קשרי וייטה מסומנים כהעמקה; יחידה זו אינה מחליפה את לימוד הפונקציה הריבועית. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/quadratic-equations?target=5

לפני שמתחילים

1. לקרוא את השורשים מתוך המקדמים

אם r,s הם שורשי ax²+bx+c = 0 עם a ≠ 0, אז r+s = − ו־rs = . הקשרים נובעים מפתיחת a(x−r)(x−s). הם אינם מבטיחים שורשים ממשיים: לשם כך בודקים גם Δ ≥ 0. בשאלות על סימני שורשים יש להבחין בין מכפלה חיובית לבין שני שורשים חיוביים.

דוגמה: בלי לפתור כל שורש, מצאו את סכום השורשים ואת מכפלתם ב־2x²−10x+8 = 0.

  1. a = 2, b = −10, c = 8.
  2. סכום השורשים − = 5; מכפלתם = 4.
  3. Δ = 100−64 = 36 > 0, כך שבמקרה הזה שני השורשים ממשיים ושונים.

תרגול מודרך

אם r,s שורשי x²−7x+10 = 0, מה הם r+s ו־rs?

  • r+s = −7; rs = 10
  • r+s = 7; rs = −10
  • r+s = 7; rs = 10

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

למשוואה x²+5x+6 = 0 יש שני שורשים ממשיים. מה אפשר להסיק על סימניהם?

  • שניהם שליליים
  • שניהם חיוביים
  • אחד חיובי ואחד שלילי

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. לסווג משפחה לפי הדיסקרימיננטה

כאשר המקדם הריבועי קבוע ולא אפס, סופרים שורשים ממשיים באמצעות סימן Δ, גם כשהאיבר החופשי תלוי בפרמטר. חשוב להפריד בין שני שורשים שונים, שורש כפול ואפס שורשים. זהו סיווג של כל ערכי הפרמטר, ולא פתרון של דוגמה אחת.

דוגמה: סווגו את מספר הפתרונות של x²−6x+k = 0 לכל k ממשי.

  1. Δ = 36−4k = 4(9−k).
  2. אם k < 9 יש שני שורשים ממשיים שונים.
  3. אם k = 9 המשוואה (x−3)² = 0 ולפיכך שורש יחיד.
  4. אם k > 9 אין שורשים ממשיים.

תרגול מודרך

עבור אילו ערכי k יש למשוואה x²−4x+k = 0 שני שורשים ממשיים שונים?

  • k < 4
  • k ≤ 4
  • k > 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

עבור אילו ערכי k יש למשוואה x²−6x+k = 0 שני שורשים חיוביים ושונים?

  • 0 ≤ k ≤ 9
  • 0 < k < 9
  • k < 9

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. בודקים אם זאת עדיין משוואה ריבועית

לפני נוסחת השורשים בודקים את a. כאשר הוא תלוי בפרמטר ויכול להתאפס, המקרה a = 0 נפתר בנפרד כמשוואה קווית, זהות או סתירה. רק ביתר המקרים מותר לחלק ב־a ולנתח Δ.

דוגמה: סווגו את (m−1)x²−2x = 0 לכל m ממשי.

  1. כאשר m = 1 נותר −2x = 0 ולכן x = 0 בלבד.
  2. כאשר m ≠ 1 מפרקים x((m−1)x−2) = 0.
  3. הפתרונות הם 0 ו־. הם שונים כי המונה 2 אינו אפס.
  4. אין להציב m = 1 בנוסחה המכילה חילוק ב־m−1.

תרגול מודרך

כמה פתרונות יש ל־(a−2)x²+x = 0 כאשר a = 2?

  • שני פתרונות שונים
  • פתרון יחיד: x = 0
  • אין פתרונות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהם הפתרונות של ax²−ax = 0 כאשר a = 0?

  • x = 0 או x = 1 בלבד
  • אין פתרונות
  • כל מספר ממשי

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. משוואה ריבועית במשתנה עזר

במשוואה דו־ריבועית אפשר להציב t = x², אבל אז t ≥ 0. פותרים את המשוואה הריבועית ב־t, מסננים t שלילי, ורק אחר כך חוזרים ל־x. עבור t חיובי מתקבלים שני x, עבור t = 0 מתקבל x = 0 בלבד.

דוגמה: פתרו x⁴−5x²+4 = 0.

  1. מציבים t = x² ≥ 0. מתקבלת t²−5t+4 = 0.
  2. (t−1)(t−4) = 0 ולכן t = 1 או 4, שניהם מותרים.
  3. מ־x² = 1 מתקבל ±1 ומ־x² = 4 מתקבל ±2.
  4. ארבעת הפתרונות שונים וכולם נבדקים במשוואה המקורית.

תרגול מודרך

מהם כל הפתרונות הממשיים של x⁴−3x²−4 = 0?

  • x = 2, −2, 1, −1
  • x = 4 או x = −1
  • x = 2 או x = −2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

כמה פתרונות ממשיים שונים יש ל־x⁴−4x² = 0?

  • שלושה: −2, 0, 2
  • ארבעה
  • שניים: −2, 2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.