קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

משוואות ריבועיות: שורשים ופירוק

מפתרון ריבוע פשוט ופירוק למכפלה ועד בחירת אורך אפשרי בבעיה יישומית. זהו מסלול הכנה ממוקד, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

יסודות בחטיבה · משוואות ריבועיות ופירוק, השלמה לריבוע ונוסחת השורשים לפי מוכנות. קשרי וייטה מסומנים כהעמקה; יחידה זו אינה מחליפה את לימוד הפונקציה הריבועית. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/quadratic-equations?target=3

לפני שמתחילים

1. לריבוע חיובי יש שני שורשים

במשוואה x² = a מחפשים מספרים שהריבוע שלהם הוא a. אם a חיובי, גם a וגם −a פותרים. אם a = 0 יש פתרון יחיד x = 0. אם a שלילי אין פתרון ממשי. a עצמו מסמן תמיד את השורש הלא־שלילי; הסימן ± נובע מפתרון המשוואה.

דוגמה: פתרו x² = 36.

  1. 6² = 36 וגם (−6)² = 36.
  2. לכן x = 6 או x = −6.
  3. בהצבה כל אחד מהם מקיים את המשוואה; אין לפסול שלילי ללא הקשר נוסף.

תרגול מודרך

מהם כל הפתרונות הממשיים של x² = 49?

  • x = 7 או x = −7
  • x = 7 בלבד
  • x = 49 או x = −49

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

כמה פתרונות ממשיים יש למשוואה x² = −9?

  • פתרון יחיד: −3
  • אין פתרונות ממשיים
  • שניים: 3 ו־−3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. כשמכפלה מתאפסת

מכפלת שני מספרים שווה לאפס אם לפחות אחד מהם שווה לאפס. לכן משוואה (x−a)(x−b) = 0 מתפצלת לשתי משוואות קוויות. אין לחלק בגורם שיכול להיות אפס: חלוקה כזאת עלולה להעלים פתרון.

דוגמה: פתרו (x−4)(x+1) = 0.

  1. x−4 = 0 או x+1 = 0.
  2. מכאן x = 4 או x = −1.
  3. כל אחד מאפס גורם ולכן מאפס את המכפלה.

תרגול מודרך

פתרו (x−3)(x+2) = 0.

  • x = 3 בלבד
  • x = 3 או x = −2
  • x = −3 או x = 2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו x(x−5) = 0.

  • x = 5 בלבד
  • x = 0 בלבד
  • x = 0 או x = 5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. ממשוואה למכפלה

כאשר המקדם של x² הוא 1, אפשר לעיתים לפרק x²+bx+c בעזרת שני מספרים שסכומם b ומכפלתם c. למשל (x+u)(x+v) = x²+(u+v)x+uv. בודקים את הפירוק בפתיחת סוגריים ורק אחר כך משתמשים בכלל מכפלה אפס.

דוגמה: פתרו x²−5x+6 = 0.

  1. מחפשים סכום −5 ומכפלה 6: המספרים −2 ו־−3.
  2. המשוואה היא (x−2)(x−3) = 0.
  3. לכן x = 2 או x = 3; בדיקה: 4−10+6 = 0 ו־9−15+6 = 0.

תרגול מודרך

מהם הפתרונות של x²−7x+12 = 0?

  • x = −3 או x = −4
  • x = 2 או x = 6
  • x = 3 או x = 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהם הפתרונות של x²+x−6 = 0?

  • x = 2 או x = −3
  • x = −2 או x = 3
  • x = 2 או x = 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. הפתרון האלגברי צריך להתאים למציאות

בבעיית אורך מגדירים תחילה משתנה ותחום חיובי. משוואת השטח יכולה לתת שני פתרונות אלגבריים, אך אורך שלילי נפסל לפי ההגדרה. בודקים את הפתרון שנותר בנתוני השאלה המקוריים וביחידות המתאימות.

דוגמה: רוחב מלבן x ס״מ ואורכו גדול ב־2 ס״מ. השטח 24 סמ״ר. מצאו את מידותיו.

  1. התחום x > 0; האורך x+2.
  2. x(x+2) = 24 ולכן x²+2x−24 = (x+6)(x−4) = 0.
  3. מתקבלים x = −6 או x = 4. האורך השלילי נפסל.
  4. הרוחב 4 והאורך 6; 4×6 = 24 סמ״ר.

תרגול מודרך

רוחב מלבן x > 0, אורכו x+3 ושטחו 40 סמ״ר. מה רוחבו?

  • 5 ס״מ
  • −8 ס״מ
  • 8 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

גובה תיבה x > 0, רוחבה x ואורכה 3 ס״מ. נפחה 75 סמ״ק. מה הגובה?

  • 25 ס״מ
  • 5 ס״מ
  • −5 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.