קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

משפט פיתגורס: פרמטרים, הוכחות וחסמי שטח

בודקים אילו אורכים אפשריים, פותרים משפחת משולשים עם פרמטר, מנתחים את כל תפקידי הצלעות ומוכיחים זהות גובה וחסם לשטח. הכלים האלגבריים החדשים מוסברים במקום השימוש. מסלול למידה מותאם, לא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

הרחבה לבחירה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/pythagoras?target=5

לפני שמתחילים

1. פרמטר הוא משפחת מצבים: קודם בודקים תחום

פרמטר הוא אות שערכה עשוי להשתנות בין מצבים. כשביטויים מייצגים צלעות, לא כל ערך אלגברי מתאר משולש. כל אורך חייב להיות חיובי, היתר חייב להיות ארוך מכל ניצב, וריבוע ניצב חסר חייב להיות חיובי. ריבוע אפס נותן צלע באורך אפס, שאינה משולש רגיל. השורש לבדו אינו מספיק: גם האורכים המקוריים והמשמעות של כל צלע צריכים להתאים.

דוגמה: במשפחה של משולשים ישרי זווית היתר הוא t + 1 ס״מ וניצב אחד הוא t − 1 ס״מ. מצאו את תחום t האפשרי ואת הניצב השני.

  1. דורשים t − 1 > 0, כלומר t > 1. בתחום הזה גם t + 1 חיובי וגדול מ־t − 1.
  2. נסמן את הניצב השני ב־b. לפי פיתגורס b² = (t + 1)² − (t − 1)².
  3. פותחים ריבועים: (t + 1)² = t² + 2t + 1 ו־(t − 1)² = t² − 2t + 1. לכן b² = 4t, ומכאן b = 4t.
  4. לכל t > 1 הניצבים t − 1 ו־4t חיוביים. אפשר לבנות אותם כקטעים מאונכים, והיתר שיתקבל מקיים c² = (t − 1)² + 4t = (t + 1)², לכן c = t + 1. כך כל ערך בתחום אכן אפשרי.
  5. ב־t = 1 מתקבל ניצב באורך 0; לכן נקודת הקצה נפסלת אף ש־4t מוגדר בה.

תרגול מודרך

במשפחה ישרת זווית היתר הוא t + 2 ס״מ וניצב אחד t − 2 ס״מ. מה תחום t שמאפשר משולש רגיל?

  • t ≥ 2
  • t > 0
  • t > 2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

היתר הוא t ס״מ וניצב אחד 6 ס״מ במשולש ישר זווית רגיל. איזה תחום וכתיב לניצב השני נכונים?

  • t > 6, והניצב t² − 36
  • t ≥ 6, והניצב t² − 36
  • t > 0, והניצב t² + 36

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. משוואת פרמטר: פתרון אלגברי עדיין דורש בדיקה

כאשר שלוש הצלעות תלויות באותו פרמטר, תנאי פיתגורס עשוי ליצור משוואה ריבועית. קובעים תחילה תחום וסדר אורכים, ואז פותרים ובודקים כל פתרון בתחום. אפשר לפעמים לפרק לגורמים: t² − 2t − 3 = (t − 3)(t + 1), כפי שאפשר לבדוק בפתיחת הסוגריים. מכפלה שווה לאפס רק אם לפחות אחד מגורמיה אפס. לכן ייתכנו שני פתרונות אלגבריים, אך לא שניהם בהכרח אורכים אפשריים.

דוגמה: שלוש צלעות מוצעות הן t, t + 1 ו־t + 2 ס״מ. עבור אילו ערכים הן יוצרות משולש ישר זווית רגיל?

  1. חיוביות מחייבת t > 0. הצלע הארוכה היא t + 2. כדי לסגור משולש צריך גם t + (t + 1) > t + 2, כלומר t > 1.
  2. תנאי הזווית הישרה הוא t² + (t + 1)² = (t + 2)². פותחים סוגריים: 2t² + 2t + 1 = t² + 4t + 4.
  3. מעבירים את אגף ימין לשמאל בסימנים הפוכים ומכנסים: t² − 2t − 3 = 0. זו אותה משוואה אחרי חיסור אגף ימין משני האגפים.
  4. מפרקים: (t − 3)(t + 1) = 0. לכן t = 3 או t = −1. רק t = 3 מקיים t > 1.
  5. בהצבה מתקבלות הצלעות 3, 4, 5. הן חיוביות, 3 + 4 > 5 וגם 3² + 4² = 5². המשפט ההפוך מאשר שהמשולש ישר זווית. ב־t = −1 מתקבלים אורכים −1, 0, 1, ולכן הוא נפסל.

תרגול מודרך

לאותה שאלה, תלמיד מצא t = 3 ו־t = −1 וטוען ששניהם מתאימים כי שניהם פותרים את המשוואה. מה התיקון?

  • לשני הפתרונות יש משמעות גיאומטרית
  • רק t = 3 מתאים; t = −1 נותן אורכים שאינם חיוביים
  • רק t = −1 מתאים כי צריך לבחור תמיד את השורש השלילי

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

שלוש צלעות מוצעות הן x, x + 2 ו־x + 4 ס״מ. נתון שהן יוצרות משולש ישר זווית רגיל. מהו x?

  • x = −2
  • x = 4
  • x = 6

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. אין סימון של היתר: בודקים את כל המקרים

אם ידוע שהמשולש ישר זווית אבל לא ידוע היכן הזווית הישרה, שני אורכים נתונים אינם תמיד קובעים צלע שלישית יחידה. לשני אורכים חיוביים a < b יש שתי אפשרויות: שניהם ניצבים, ואז הצלע השלישית היא a² + b²; או b הוא היתר, ואז הצלע השלישית היא b² − a². a אינו יכול להיות היתר כי כבר קיימת צלע ארוכה ממנו. בכל מקרה מזהים מחדש את התפקידים ובודקים אורכים חיוביים.

דוגמה: משולש ישר זווית מכיל שתי צלעות באורכים 3 ו־4 ס״מ. לא צוין אם אחת מהן היא היתר. מצאו את כל האורכים האפשריים של הצלע השלישית x.

  1. אם 3 ו־4 הם הניצבים, x הוא היתר: x² = 3² + 4² = 25 ולכן x = 5 ס״מ.
  2. אם 4 הוא היתר ו־3 ניצב, x² = 4² − 3² = 7 ולכן x = 7 ס״מ.
  3. 3 אינו יכול להיות היתר, משום שיש צלע באורך 4. כך מיצינו את כל האפשרויות למיקום היתר.
  4. בשני המקרים הניצבים חיוביים ואפשר לבנות אותם מאונכים. במקרה השני 7 > 1 ולכן 3 + 7 > 4; גם תנאי סגירת המשולש מתקיים.
  5. לכן יש שתי תשובות: x = 5 או x = 7. נתון נוסף על מיקום הזווית הישרה היה עשוי לבחור אחת מהן.

תרגול מודרך

במשולש ישר זווית יש צלעות 5 ו־13 ס״מ, בלי נתון על מיקום הזווית הישרה. מהם כל אורכי הצלע השלישית האפשריים?

  • 12 או 194 ס״מ
  • רק 12 ס״מ
  • 8 או 18 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ישר זווית יש צלעות 8 ו־10 ס״מ, ולא צוין מי היתר. מה קבוצת כל האורכים האפשריים לצלע השלישית?

  • רק 6 ס״מ
  • 6 או 164 ס״מ
  • 2 או 18 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. מוכיחים זהות: אותו גובה מתבטל בשתי משוואות

במשולש ABC נניח שגובה AD פוגש את פנים BC. נסמן BC = c, BD = x ו־AD = h, כך ש־DC = c − x ו־0 < x < c. בשני המשולשים הישרים מתקיים AB² = h² + x² וגם AC² = h² + (c − x)². מחסרים את המשוואה השנייה מהראשונה: AB² − AC² = x² − (c − x)² = 2cx − c². הגובה מתבטל כי הוא אותו אורך בשניהם. מכאן x = , כאשר c > 0. אחרי מציאת x עדיין בודקים שהוא בתוך הבסיס וש־h² > 0; הנוסחה אינה מבטלת את תנאי השרטוט.

דוגמה: במשולש ABC נתון AB = 13, AC = 15 ו־BC = 14 ס״מ. נתון גם שגובה AD פוגש את פנים BC. מצאו את BD ואת AD באמצעות חיסור שתי משוואות.

  1. נסמן BD = x ו־AD = h. מאחר ש־D בתוך BC, מתקיים DC = 14 − x ו־0 < x < 14.
  2. פיתגורס בשני המשולשים נותן 169 = h² + x² ו־225 = h² + (14 − x)².
  3. מחסרים את הראשונה מהשנייה: 56 = (14 − x)² − x². פותחים ריבוע: 56 = 196 − 28x + x² − x² = 196 − 28x.
  4. מעבירים את −28x לשמאל ואת 56 לימין: 28x = 196 − 56 = 140, ולכן x = 5 ס״מ. אלה קיצורים לחיבור 28x ולחיסור 56 בשני האגפים.
  5. כעת h² = 169 − 5² = 144 ולכן AD = 12 ס״מ. בודקים: 0 < 5 < 14, וגם DC = 9 ו־12² + 9² = 225 = 15². שני המשולשים תואמים לכל הנתונים.
הגובה המשותף מאפשר לחסר שתי משוואות13155912BDCA
הגובה המשותף מאפשר לחסר שתי משוואות

נתונים: AB = 13, AC = 15 ו־BC = 14 ס״מ; D בתוך BC ו־AD מאונך ל־BC. שני סימוני הזווית הישרה נובעים מהגובה הנתון. BD = 5, DC = 9 ו־AD = 12 הם תוצאות שהתקבלו בדוגמה, לא נתונים שהונחו מראש. הבסיס המלא הוא 5 + 9 = 14. AD המקווקו הוא אותו גובה בשתי משוואות פיתגורס.

תרגול מודרך

AB = 10, AC = 17 ו־BC = 21 ס״מ. גובה AD פוגש את פנים BC. מהו BD?

  • 15 ס״מ
  • 8 ס״מ
  • 6 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ABC נתון AB = AC = 10 ס״מ ו־BC = 12 ס״מ. גובה AD פוגש את פנים BC. איזו מסקנה מוכחת מחיסור שתי משוואות פיתגורס?

  • BD = DC = 6 ס״מ, ו־AD = 8 ס״מ
  • AD = 10 ס״מ, כי הוא יוצא מאותו קודקוד
  • BD = 5 ס״מ, כי הוא חצי מ־AB

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. הרחבה מוכחת: מהו השטח הגדול ביותר ליתר נתון?

יהיו a ו־b ניצבים חיוביים ו־c יתר קבוע. מפיתגורס a² + b² = c². ריבוע של מספר אינו שלילי, ולכן (a − b)² ≥ 0. אחרי פתיחת סוגריים: a² − 2ab + b² ≥ 0. מציבים את פיתגורס ומקבלים c² − 2ab ≥ 0, כלומר ab ≤ . מאחר ששטח המשולש הוא S = , מתקבל S ≤ . שוויון אפשרי בדיוק כש־a − b = 0, כלומר כשהניצבים שווים. זהו חסם שמוכח לכל המשפחה, בלי לבדוק אינסוף דוגמאות ובלי חשבון דיפרנציאלי.

דוגמה: מבין כל המשולשים ישרי הזווית שהיתר שלהם 10 ס״מ, מהו השטח הגדול ביותר? הראו גם שהשטח הזה באמת אפשרי.

  1. לכל משולש במשפחה a² + b² = 100. מהאי־שליליות של (a − b)² מתקבל 100 − 2ab ≥ 0.
  2. מעבירים אגפים ומחלקים במספרים חיוביים: 2ab ≤ 100, ולכן S = ≤ 25 סמ״ר.
  3. כדי להגיע לשוויון צריך a = b. מציבים בפיתגורס: 2a² = 100, ולכן a² = 50 ו־a = b = 50 ס״מ.
  4. שני הניצבים חיוביים, והיתר שלהם 50 + 50 = 10. השטח הוא 50 × = 25 סמ״ר. לכן 25 הוא מקסימום שמושג בפועל, ולא רק גבול שלא מגיעים אליו.

תרגול מודרך

היתר של משולש ישר זווית הוא 6 ס״מ. מהו השטח הגדול ביותר האפשרי?

  • 18 סמ״ר
  • 9 סמ״ר
  • 36 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

היתר של משולש ישר זווית הוא 8 ס״מ, ושטחו 16 סמ״ר. מה מוכרח להיות נכון?

  • אחד הניצבים הוא 4 ס״מ
  • אין משולש כזה
  • שני הניצבים שווים, וכל אחד באורך 32 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.