קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

משפט פיתגורס: המשפט ההפוך ומשולשים משולבים

מחברים נתוני זוויות ואורכים, מבדילים בין המשפט למשפט ההפוך, משתמשים באורך משותף לשני משולשים וממשיכים לגבהים ולשטחים. מסלול למידה מותאם, לא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/pythagoras?target=4

לפני שמתחילים

1. בוחרים משולש ומצדיקים את הזווית הישרה

לפני חישוב רושמים באיזה משולש עובדים, מדוע הוא ישר זווית ואיזו צלע היא היתר. הזווית הישרה יכולה להיות נתונה במפורש, לנבוע ממאונכות או להימצא מסכום זוויות. למשל, אם שתי זוויות הן 35° ו־55°, השלישית היא 180° − 35° − 55° = 90°. רק אחרי ההצדקה כותבים משוואה. במלבן כל הזוויות ישרות לפי הגדרתו, ולכן האלכסון יוצר עם שתי צלעות סמוכות משולש ישר זווית.

דוגמה: במלבן ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף. נתון AB = 5 ס״מ והאלכסון AC = 13 ס״מ. מצאו את BC והסבירו מדוע מותר להשתמש בפיתגורס.

  1. עובדים במשולש ABC. זווית B ישרה מפני שהצורה נתונה כמלבן.
  2. AC מול הזווית B ולכן הוא היתר, גם אם בציור הוא נראה כמעט אופקי.
  3. BC² + 5² = 13². מעבירים את 25 כחיסור: BC² = 169 − 25 = 144, ולכן BC = 12 ס״מ.
  4. בדיקה: האלכסון 13 גדול מכל אחת מהצלעות 5 ו־12. בלי נתון המלבן או הצדקה אחרת ל־90°, אותם אורכים לא היו מספיקים לחישוב הזה.

תרגול מודרך

במשולש ABC נתון ∠A = ∠B = 45°, וגם AC = BC = 6 ס״מ. מה נכון?

  • C ישרה, ולכן AB = 72 ס״מ
  • A ישרה, ולכן BC הוא היתר
  • אי אפשר להצדיק כאן זווית ישרה

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ABC נתונים AB = 5 ו־BC = 12 ס״מ, אך אין נתוני זוויות או מאונכות. תלמיד קובע AC = 13 לפי פיתגורס. מה נכון?

  • המסקנה מוכרחת כי 5² + 12² = 13²
  • הנתונים אינם מספיקים לקביעה ש־AC = 13
  • המשולש מוכרח להיות שווה שוקיים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מהצלעות לזווית: המשפט ההפוך

במשפט פיתגורס יודעים תחילה שהזווית ישרה ומחשבים צלע. במשפט ההפוך יודעים את שלוש הצלעות ובודקים אם המשולש ישר זווית: מסמנים את הארוכה c ובודקים a² + b² = c². אם יש שוויון, הזווית שמול c ישרה. אם מדובר בשלושה אורכים מוצעים ולא במשולש שכבר נתון, בודקים גם שהם חיוביים ושסכום שני הקצרים גדול מהארוך; אחרת אין משולש רגיל. אי־שוויון בריבועים שולל זווית ישרה, אך אינו מצדיק לבדו טענה נוספת שלא נלמדה כאן.

דוגמה: מוצעים שלושה אורכים: 5, 12 ו־13 ס״מ. בדקו שהם יוצרים משולש ישר זווית, וציינו מול איזו צלע נמצאת הזווית הישרה.

  1. שלושת האורכים חיוביים, והארוך הוא 13. מתקיים 5 + 12 = 17 > 13, ולכן אפשר ליצור מהם משולש.
  2. מעמידים את הארוך לבדו: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².
  3. לפי המשפט ההפוך, המשולש ישר זווית והזווית שמול הצלע 13 היא הישרה.
  4. לא בחרנו יתר לפי מראה הציור; הוכחנו שהוא היתר באמצעות שלוש הצלעות.

תרגול מודרך

אורכי צלעות משולש הם 6, 8 ו־11 ס״מ. איזו מסקנה נכונה?

  • הוא ישר זווית כי 6 + 8 > 11
  • הוא ישר זווית כי 11 הצלע הארוכה
  • הוא אינו ישר זווית כי 6² + 8² ≠ 11²

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מוצעים אורכים 2, 3 ו־6 ס״מ לשלוש צלעות. מה צריך לקבוע תחילה?

  • האורכים אינם יוצרים משולש כי 2 + 3 < 6
  • יש משולש ישר זווית שהיתר שלו 6
  • כל שלושה אורכים חיוביים יוצרים משולש

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. תוצאה במשולש אחד נעשית נתון במשולש שני

בציור שיש בו כמה משולשים, כותבים משוואה נפרדת לכל משולש ישר זווית. אותו קטע יכול להיות משותף לשניהם, אבל תפקידו נקבע בכל משולש מחדש. כדי לחבר שני אורכים על קו ישר צריך לדעת גם את סדר הנקודות. אין להסיק חיבור, חיסור או מאונכות רק מהמראה. מסיימים את החישוב הראשון לפני שמציבים את תוצאתו בשני.

דוגמה: B, A, D נמצאות על ישר בסדר הזה, ו־AC מאונך לישר BD. נתון AB = 6 ס״מ, BC = 10 ס״מ ו־CD = 17 ס״מ. מצאו את AD ואת BD.

  1. במשולש ABC הזווית A ישרה ו־BC הוא היתר. לכן AC² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, ומכאן AC = 8 ס״מ.
  2. במשולש ACD הזווית A ישרה ו־CD הוא היתר. הקטע AC = 8 משותף לשני המשולשים.
  3. כותבים AD² + 8² = 17². מעבירים 64 כחיסור: AD² = 289 − 64 = 225, ולכן AD = 15 ס״מ.
  4. A נמצאת בין B ל־D לפי הנתון, ולכן BD = BA + AD = 6 + 15 = 21 ס״מ. שתי הזוויות הישרות נובעות מהמאונכות הנתונה.
שני משולשים ישרי זווית עם ניצב משותף61510178BADC
שני משולשים ישרי זווית עם ניצב משותף

נתונים: B, A, D על ישר בסדר הזה; AC מאונך לו; AB = 6, BC = 10 ו־CD = 17 ס״מ. שני סימוני הזווית הישרה נובעים מהמאונכות הנתונה. האורכים AC = 8 ו־AD = 15 כבר חושבו בדוגמה; הם אינם נתונים נוספים. BD = 21 מתקבל מחיבור שני חלקי הבסיס. הקטע המקווקו AC הוא הקטע המשותף לשני המשולשים.

תרגול מודרך

P, H, Q נמצאות על ישר בסדר הזה, ו־RH מאונך לו. נתון PH = 3, PR = 5 ו־RQ = 65 ס״מ. מהו HQ?

  • 41 ס״מ
  • 7 ס״מ
  • 4 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

B, H, C נמצאות על ישר בסדר הזה, ו־AH מאונך לישר. נתון BH = 5, AB = 13 ו־AC = 15 ס״מ. מהו BC?

  • 9 ס״מ
  • 20 ס״מ
  • 14 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. גובה פנימי: מפרידים בין נתון למסקנה

גובה הוא קטע שיוצא מקודקוד ומאונך לישר שעליו הצלע שמולו. אם נקודת המפגש נמצאת בתוך הצלע, הגובה מחלק את המשולש לשני משולשים ישרי זווית. גובה במשולש כללי אינו בהכרח חוצה את הבסיס. כשהחלוקה לשני חלקים שווים נתונה במפורש, אפשר להשתמש בה; אם היא לא נתונה, צריך להוכיח אותה. אפשר לחשב גובה בצד אחד, להעביר אותו למשולש השני, ואז להסיק על הצלעות והשטח.

דוגמה: במשולש ABC הנקודה D נמצאת על BC, ונתון BD = DC = 5 ס״מ וגם AD מאונך ל־BC. נתון AB = 13 ס״מ. מצאו את AD, את AC ואת שטח המשולש.

  1. במשולש ABD הזווית D ישרה, ולכן AD² = AB² − BD² = 169 − 25 = 144. מקבלים AD = 12 ס״מ.
  2. במשולש ACD גם הזווית D ישרה. לכן AC² = AD² + DC² = 144 + 25 = 169, ומכאן AC = 13 ס״מ.
  3. כעת הוכחנו AB = AC; השוויון לא נלקח ממראה השרטוט. לעומת זאת BD = DC היה נתון מראש.
  4. הבסיס BC = 10 והגובה AD = 12. לכן S = 10 × = 60 סמ״ר.

תרגול מודרך

D נמצאת בתוך BC, ו־AD מאונך ל־BC. נתון BD = 3, DC = 7 ו־AB = 5 ס״מ. מה שטח ABC?

  • 20 סמ״ר
  • 15 סמ״ר
  • 35 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

D נמצאת בתוך BC, ו־AD מאונך ל־BC. נתון AD = 4, BD = 3 ו־DC = 6 ס״מ. האם AB = AC?

  • כן, כל גובה חוצה את הבסיס
  • לא; AB = 5 ואילו AC = 52 ס״מ
  • כן, כי AD משותף לשני המשולשים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. אותו שטח בשתי דרכים: מוצאים גובה ליתר

במשולש ישר זווית שני הניצבים נותנים דרך אחת לשטח: S = . אם בוחרים ביתר c כבסיס, צריך את הגובה h המאונך דווקא ליתר, ולכן אותו שטח הוא S = . משווים את שתי הדרכים, מכפילים ב־2 ומקבלים ab = ch. מכאן h = . אין להציב במקום h אחד מהניצבים, מפני שהם אינם מאונכים ליתר.

דוגמה: במשולש ישר זווית הניצבים הם 6 ו־8 ס״מ. מה אורך הגובה מהזווית הישרה אל היתר?

  1. תחילה מוצאים את היתר: c² = 6² + 8² = 100, ולכן c = 10 ס״מ.
  2. שטח המשולש לפי הניצבים הוא S = 6 × = 24 סמ״ר.
  3. נסמן את הגובה ליתר ב־h. אותו שטח הוא , ולכן = 24.
  4. כופלים ב־2 ומחלקים ב־10: h = = 4.8 ס״מ. בדיקה: 10 × = 24.

תרגול מודרך

במשולש ישר זווית הניצבים 3 ו־4 ס״מ. מה הגובה ליתר?

  • 5 ס״מ
  • 3 ס״מ
  • 2.4 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ישר זווית היתר 13 ס״מ וניצב אחד 5 ס״מ. מה הגובה ליתר בדיוק?

  • ס״מ
  • 5 ס״מ
  • ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.