קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

משפט פיתגורס: מצלע חסרה לשטח

מתחילים בזיהוי הזווית הישרה והיתר, מבינים את ריבועי האורכים כשטחים, ואז מוצאים יתר או ניצב ומשתמשים בהם לחישוב שטח. מסלול למידה מותאם, לא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

יסודות בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/pythagoras?target=3

לפני שמתחילים

1. לפני הנוסחה: איפה הזווית הישרה ומי היתר?

משפט פיתגורס חל במשולש שיש בו זווית ישרה, כלומר 90°. צריך נתון, סימון מוסכם או הוכחה לכך; צלעות שנראות מאונכות בציור אינן מספיקות. שתי הצלעות שנפגשות בזווית הישרה נקראות ניצבים. הצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר, והיא הארוכה ביותר. מזהים אותה לפי הקודקודים, גם כשהמשולש מסובב.

דוגמה: במשולש ABC נתון AB מאונך ל־BC, וגם AB = 3 ס״מ ו־BC = 4 ס״מ. איזו זווית ישרה, מי הניצבים ומי היתר? אין צורך לחשב עדיין את אורכו.

  1. AB ו־BC נפגשות ב־B. המאונכות הנתונה אומרת ש־∠ABC = 90°.
  2. AB ו־BC יוצרות את הזווית הישרה, ולכן הן הניצבים.
  3. AC אינה נוגעת בקודקוד B ונמצאת מולו, ולכן היא היתר. אורכה עדיין לא חושב.
  4. מותר להשתמש בפיתגורס בגלל נתון המאונכות, ולא בגלל הכיוון של הצלעות בציור.
מזהים את היתר מול הזווית הישרה34BAC
מזהים את היתר מול הזווית הישרה

נתונים: AB = 3 ס״מ, BC = 4 ס״מ ו־AB מאונך ל־BC. הריבוע הקטן ב־B מסמן את הזווית הישרה הנתונה. AC הוא היתר מפני שהוא מול B; אורכו אינו מסומן ואינו נדרש בשלב הזה. השרטוט מתייחס לדוגמה הפתורה בלבד.

תרגול מודרך

במשולש KLM נתון ש־∠KLM = 90°. איזו צלע היא היתר?

  • KL
  • KM
  • LM

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

משולש נראה ישר זווית בציור, אך אין נתון או סימון של מאונכות. האם המראה לבדו מצדיק שימוש בפיתגורס?

  • כן, אם אחת הצלעות אופקית
  • כן, בכל משולש יש יתר
  • לא; צריך נתון או הוכחה לזווית ישרה

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מה מחברים: שטחים של ריבועים

הכתיב a² פירושו a × a, ולא 2 × a. אם אורך הצלע הוא a ס״מ, שטח הריבוע שנבנה עליה הוא a² סמ״ר. במשולש ישר זווית עם ניצבים a ו־b ויתר c, משפט פיתגורס קובע a² + b² = c²: שני שטחי הריבועים שעל הניצבים מסתכמים בשטח הריבוע שעל היתר. זו אינה טענה שסכום אורכי הניצבים שווה ליתר.

דוגמה: ניצבי משולש ישר זווית הם 3 ו־4 ס״מ. מה שטח הריבוע שעל כל ניצב, ומה שטח הריבוע שעל היתר?

  1. על הניצב באורך 3 נבנה ריבוע ששטחו 3² = 3 × 3 = 9 סמ״ר.
  2. על הניצב באורך 4 נבנה ריבוע ששטחו 4² = 16 סמ״ר.
  3. לפי פיתגורס, שטח הריבוע שעל היתר הוא c² = 9 + 16 = 25 סמ״ר.
  4. 25 הוא שטח וריבוע האורך. הוא עדיין אינו אורך היתר בסנטימטרים; גם 3 + 4 אינו אורך היתר.

תרגול מודרך

במשולש ישר זווית שטחי הריבועים שעל הניצבים הם 16 ו־36 סמ״ר. מה שטח הריבוע שעל היתר?

  • 52 סמ״ר
  • 10 סמ״ר
  • 20 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ישר זווית שטח הריבוע שעל היתר 49 סמ״ר, ועל ניצב אחד 25 סמ״ר. מה שטח הריבוע שעל הניצב השני?

  • 74 סמ״ר
  • 24 סמ״ר
  • 2 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. משטח לאורך: השורש החיובי

כדי לעבור מריבוע האורך לאורך עצמו משתמשים בשורש. 25 הוא המספר הלא־שלילי שריבועו 25, כלומר 5. למשוואה x² = 25 יש שני פתרונות אלגבריים, 5 ו־−5, אבל אורך צלע חיובי ולכן בוחרים 5. לחישוב יתר מעלים את הניצבים בריבוע, מחברים ורק אז מוציאים שורש. אם השורש אינו שלם, אפשר להשאיר תשובה מדויקת כמו 13; קירוב עשרוני נדרש רק כשמבקשים אותו.

דוגמה: במשולש ישר זווית הניצבים הם 6 ו־8 ס״מ. מצאו את אורך היתר c, ובדקו שהתשובה מתאימה לתפקידו.

  1. כותבים c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
  2. 100 הוא ריבוע האורך. מכיוון ש־10 × 10 = 100, נקבל c = 100 = 10 ס״מ.
  3. הפתרון האלגברי −10 נפסל כאורך. גם 100 ס״מ אינו הפתרון, כי טרם היינו מוציאים בו שורש.
  4. 10 גדול מ־6 ומ־8, כפי שנדרש מיתר, וקטן מסכומם 14.

תרגול מודרך

ניצבי משולש ישר זווית הם 2 ו־3 ס״מ. מה אורך היתר המדויק?

  • 5 ס״מ
  • 13 ס״מ
  • 13 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

ניצבי משולש ישר זווית הם 5 ו־12 ס״מ. מה אורך היתר?

  • 13 ס״מ
  • 169 ס״מ
  • 17 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. ניצב חסר: מעבירים ריבוע אגף ומחליפים סימן

כשנתונים יתר וניצב, לא מחברים את ריבועיהם. מתחילים באותו משפט a² + b² = c², שבו c הוא היתר. כדי למצוא את a² מעבירים את b² לאגף השני בסימן מינוס: a² = c² − b². העברת אגף היא קיצור לחיסור b² משני האגפים, ולכן היא שומרת על השוויון. אחרי החיסור מוציאים שורש חיובי, ובודקים בהצבה במשוואה המקורית.

דוגמה: במשולש ישר זווית היתר 13 ס״מ וניצב אחד 5 ס״מ. מצאו את הניצב השני x.

  1. היתר הוא 13, ולכן כותבים x² + 5² = 13², כלומר x² + 25 = 169.
  2. מעבירים 25 לימין בסימן מינוס: x² = 169 − 25 = 144. זהו קיצור לחיסור 25 משני האגפים.
  3. אורך חיובי מתקבל משורש חיובי: x = 144 = 12 ס״מ.
  4. בודקים: 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13². הניצב 12 קצר מהיתר 13.

תרגול מודרך

במשולש ישר זווית היתר 10 ס״מ וניצב אחד 8 ס״מ. מהו הניצב השני?

  • 164 ס״מ
  • 6 ס״מ
  • 2 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ישר זווית היתר 7 ס״מ וניצב אחד 3 ס״מ. מהו הניצב השני בדיוק?

  • 4 ס״מ
  • 58 ס״מ
  • 40 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. מסיימים את השאלה: מצלע חסרה לשטח

לפעמים הצלע שמצאנו היא רק שלב בדרך. שטח משולש הוא בסיס כפול הגובה המאונך לו, חלקי 2. במשולש ישר זווית הניצבים מאונכים זה לזה, ולכן אחד מהם יכול להיות הבסיס והשני הגובה. היתר אינו גובה לניצב. אורכים נמדדים בסנטימטרים ושטחים בסנטימטרים רבועים; בסיום בודקים מה התבקש.

דוגמה: במשולש ABC נתון ש־∠B = 90°, היתר AC = 10 ס״מ והניצב AB = 6 ס״מ. מה שטח המשולש?

  1. BC הוא הניצב החסר. לפי פיתגורס BC² + 6² = 10².
  2. מעבירים את 36 לימין כחיסור: BC² = 100 − 36 = 64, ולכן BC = 8 ס״מ.
  3. AB ו־BC מאונכים לפי הנתון. הם יכולים לשמש בסיס וגובה, ולכן S = 6 × = 24 סמ״ר.
  4. 8 ס״מ הוא אורך הביניים; התשובה לשאלת השטח היא 24 סמ״ר. אין להכפיל ניצב ביתר כאילו היו מאונכים.

תרגול מודרך

במשולש ישר זווית היתר 13 ס״מ וניצב אחד 12 ס״מ. מה שטחו?

  • 30 סמ״ר
  • 60 סמ״ר
  • 78 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ישר זווית הניצבים 9 ו־12 ס״מ. מהו ההיקף, כלומר סכום שלוש הצלעות?

  • 21 ס״מ
  • 36 ס״מ
  • 54 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.