קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

מנסרה וגליל: נפח ושטח פנים · תרגול והעמקה

מחשבים שטח פנים מפריסה, מטפלים בכלי פתוח, מוצאים גובה חסר ומשלבים גופים והמרת יחידות.

תרגול והעמקה בחטיבה · מיפוי פדגוגי לחטיבת הביניים על בסיס תוכנית החטיבה; ההרחבות מסומנות לפי מוכנות. אין כאן אימות מלא לכל החרגות תוכנית תשפ״ז. הרמות הן עומק למידה, לא מספר יחידות בתיכון. מחשבים שטח פנים מפריסה, מטפלים בכלי פתוח, מוצאים גובה חסר ומשלבים גופים והמרת יחידות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/prisms-cylinders?target=4

לפני שמתחילים

1. מנסרה משולשת: שלושה מלבנים ושני בסיסים

במנסרה ישרה כל פאה צדדית היא מלבן שגובהו H ורוחבו צלע של הבסיס. סכום שטחי המלבנים הוא היקף הבסיס P כפול H. שטח הפנים הכולל S = PH + 2B. יש להכיר את כל צלעות הבסיס לשטח המעטפת, ולא רק את שטחו.

דוגמה: בסיס מנסרה ישרה הוא משולש ישר זווית שניצביו 3 ו־4 ס״מ והיתר 5 ס״מ. גובה המנסרה 10 ס״מ. חשבו שטח פנים.

  1. שטח בסיס B = 3 × = 6 סמ״ר.
  2. היקף הבסיס P = 3 + 4 + 5 = 12 ס״מ.
  3. המעטפת כוללת מלבנים 3 × 10, 4 × 10, 5 × 10; סכומם 120 סמ״ר.
  4. שני בסיסים מוסיפים 12, ולכן S = 132 סמ״ר.

תרגול מודרך

במנסרה ישרה היקף בסיס 18 ס״מ, שטח בסיס 12 סמ״ר וגובה 5 ס״מ. מה שטח הפנים?

  • 90 סמ״ר
  • 114 סמ״ר
  • 102 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בסיס מנסרה ישרה הוא משולש ישר זווית שניצביו 6 ו־8 ס״מ. גובה הגוף 2 ס״מ. מה שטח הפנים?

  • 72 סמ״ר
  • 96 סמ״ר
  • 48 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. כלי פתוח: סופרים את המשטחים הקיימים

נוסחת שטח הפנים של גליל סגור כוללת שני בסיסים. כלי פתוח מלמעלה, עם תחתית אחת ודופן, כולל בסיס אחד בלבד: S = 2πrH + πr². צינור ללא שני הבסיסים כולל רק מעטפת. כאן מתעלמים מעובי החומר ומחשבים צד אחד של כל משטח.

דוגמה: כלי גלילי פתוח מלמעלה ברדיוס 4 ס״מ ובגובה 6 ס״מ. כמה שטח חומר נדרש במודל ללא עובי או חפיפות?

  1. מעטפת: 2π × 4 × 6 = 48π סמ״ר.
  2. תחתית אחת: π × 4² = 16π סמ״ר.
  3. סך החומר: 48π + 16π = 64π סמ״ר.
  4. מכסה היה מוסיף 16π, אך אינו קיים בכלי הזה.

תרגול מודרך

כלי פתוח מלמעלה ברדיוס 3 ובגובה 5 ס״מ. מה שטח המשטחים שלו, ללא עובי?

  • 48π סמ״ר
  • 39π סמ״ר
  • 30π סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מגליל סגור ברדיוס 2 ס״מ מסירים את המכסה בלבד. בכמה קטן שטח הפנים?

  • 2π סמ״ר
  • 8π סמ״ר
  • 4π סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מנפח לגובה חסר

כדי למצוא גובה מתוך נפח משתמשים ב־H = . תחילה מחשבים את שטח הבסיס, ואז מחלקים. היחידות מאשרות את המהלך: סמ״ק חלקי סמ״ר נותן ס״מ. אם הנפח ושטח הבסיס כוללים π, הגורם המשותף מצטמצם.

דוגמה: נפח גליל 72π סמ״ק ורדיוסו 3 ס״מ. מה גובהו?

  1. B = π × 3² = 9π סמ״ר.
  2. H = = 8 ס״מ.
  3. בדיקה: 9π × 8 = 72π סמ״ק.

תרגול מודרך

נפח מנסרה 150 סמ״ק ושטח בסיסה 25 סמ״ר. מה גובהה?

  • 6 ס״מ
  • 3750 ס״מ
  • 125 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נפח גליל 100π סמ״ק וקוטרו 10 ס״מ. מה גובהו?

  • 1 ס״מ
  • 4 ס״מ
  • 10 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. גופים מחוברים: נפחים מצטרפים

כשגופים מחוברים בלי חפיפה של פנים הגופים, הנפח הכולל הוא סכום הנפחים. משטח מגע אינו מוסיף נפח ואינו גורם לחיסור נפח. לעומת זאת, בנקב או בחלל מסירים את נפח החלק החסר.

דוגמה: גליל ברדיוס 2 ס״מ ובגובה 3 ס״מ מונח על תיבה במידות 6 × 5 × 4 ס״מ. הגופים נוגעים רק במשטח. מה הנפח הכולל?

  1. נפח התיבה 6 × 5 × 4 = 120 סמ״ק.
  2. נפח הגליל π × 2² × 3 = 12π סמ״ק.
  3. אין חפיפה פנימית, לכן הנפח הכולל 120 + 12π סמ״ק.

תרגול מודרך

שתי מנסרות ללא חפיפה פנימית נפחן 40 ו־65 סמ״ק. מה נפח הגוף המחובר?

  • 105 סמ״ק
  • 25 סמ״ק
  • 2600 סמ״ק

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

קודחים חור גלילי ברדיוס 1 ס״מ לאורך כל גובהה של תיבה 5 × 5 × 4 ס״מ, בניצב לבסיס 5 × 5. מה נפח החומר שנותר?

  • 100 − π סמ״ק
  • 100 − 4π סמ״ק
  • 100 + 4π סמ״ק

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. מידות מעורבות וקיבולת

לא מכפילים נתונים בסנטימטרים ובמטרים בלי המרה. אפשר להמיר הכול לסנטימטרים ולחלק את הנפח בסמ״ק ב־1000 כדי לקבל ליטרים. במיכל שמידותיו פנימיות, הגובה שבו משתמשים הוא גובה המים בפועל, ולא בהכרח גובה המיכל.

דוגמה: מיכל גלילי פנימי ברדיוס 10 ס״מ. גובה המים 0.2 מ׳. כמה ליטרים מים יש? השתמשו ב־π ≈ 3.14.

  1. ממירים 0.2 מ׳ ל־20 ס״מ.
  2. V = π × 10² × 20 = 2000π סמ״ק.
  3. = 2π ליטר, כלומר בקירוב 6.28 ליטר.

תרגול מודרך

גליל ברדיוס 5 ס״מ וגובה 0.1 מ׳. מה נפחו המדויק בסמ״ק?

  • 2.5π סמ״ק
  • 25π סמ״ק
  • 250π סמ״ק

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נפח מים במיכל 3500π סמ״ק. כמה ליטרים הם בקירוב, לפי π ≈ 3.14?

  • 10.99 ליטר
  • 109.9 ליטר
  • 1.099 ליטר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.