קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

חזקות ושורשים: ערך מוחלט ופרמטרים

מעמיקים במעריכים שבריים, שורש של ריבוע והפרדת מקרים במשוואות שורש. שומרים תנאי סימן לפני העלאה בריבוע. מסלול העמקה ממוקד, לא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

הרחבה לבחירה · חזקות ושורשים; חוקי חזקות ותחום נלמדים לפי מוכנות. מעריכים שבריים כלליים מסומנים כהרחבה מעבר לליבה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/powers-roots?target=5

לפני שמתחילים

1. מעריך שברי: מגדירים תחום לפני חוקי החזקות

במסלול הזה מעמיקים בקשר בין חזקות, שורשים ותחום הגדרה. כדי להשתמש בחוקי מעריכים שבריים בלי עמימות, בשלב זה נניח בסיס חיובי a > 0. מגדירים a^() = a. באופן כללי a^() הוא המספר החיובי שחזקתו n היא a, עבור n שלם חיובי, ומגדירים a^() = (a^())m עבור m שלם. למשל השורש השלישי של 8 הוא 2, כי 2³ = 8. מעריך שלילי יוצר הופכי. התנאי a > 0 מאפשר גם את ההופכי. לא מחילים אוטומטית חוקים של חזקות שבריות על בסיסים שליליים; בשאלות עם שורש ריבועי מקפידים על תחום ממשי.

דוגמה: חשבו 16^() × 16^(−).

  1. 16 חיובי, לכן אפשר לחבר מעריכים בכפל: 16^(−) = 161 = 16.
  2. בודקים דרך השורשים: 16^() = (16)³ = 4³ = 64.
  3. 16^(−) = = . המכפלה 64 × = 16.
  4. שתי הדרכים נשענות על אותה הגדרה ועל בסיס חיובי.

תרגול מודרך

מהו הערך של 27^()? לצורך שאלה זו 27^() הוא השורש השלישי החיובי של 27.

  • 18
  • 3
  • 9

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתון a > 0. פשטו a^^().

  • a
  • a
  • a²

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. פישוט עם פרמטר: הערך המוחלט קובע מקרים

לכל מספר ממשי u מתקיים u² = |u|. אם u תלוי בפרמטר, בודקים מתי הביטוי שבתוך הערך המוחלט חיובי, שלילי או אפס. למשל |a − 2| הוא a − 2 כאשר a ≥ 2, ו־2 − a כאשר a < 2. הסימן נקבע לפי כל הביטוי a − 2 ולא לפי a לבדו. אין כאן ערך אסור, כי הביטוי שמתחת לשורש הוא ריבוע.

דוגמה: פשטו (a − 2)² לכל a ממשי.

  1. לפי הכלל של שורש ריבוע: (a − 2)² = |a − 2|.
  2. אם a ≥ 2, הביטוי a − 2 אינו שלילי, ולכן הערך הוא a − 2.
  3. אם a < 2, הביטוי שלילי, ולכן לוקחים את הנגדי: −(a − 2) = 2 − a.
  4. בדיקה: a = 1 נותן 1 = 1, וכך גם 2 − 1. אילו כתבנו תמיד a − 2 היינו מקבלים −1, שאינו שורש ריבועי ראשי.

תרגול מודרך

נתון a < −1. פשטו (a + 1)².

  • −a − 1
  • a + 1
  • a − 1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהו פישוט 4(a − 3)² לכל a ממשי?

  • 2a − 6
  • 4|a − 3|
  • 2|a − 3|

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. העלאה בריבוע: לא מאבדים את תנאי הסימן

המשוואה A = B מחייבת גם A ≥ 0 וגם B ≥ 0. כשמעלים את שני האגפים בריבוע מקבלים A = B², אבל השוויון החדש עלול לקבל גם B שלילי. לכן העלאה בריבוע נותנת מועמדים שצריך לבדוק במקור, או לשמור מראש את תנאי B ≥ 0. במשוואה עם פרמטר התנאי על אגף ימין עשוי ליצור הפרדת מקרים, גם אם החישוב לאחר הריבוע קצר.

דוגמה: סווגו את פתרונות x + 1 = a לפי a.

  1. תחום לפי השורש: x ≥ −1. בנוסף אגף שמאל אינו שלילי, ולכן דרוש a ≥ 0.
  2. אם a < 0, אין פתרון: שורש ריבועי ראשי לא יכול להיות שלילי.
  3. אם a ≥ 0, מעלים בריבוע: x + 1 = a². מעבירים +1 כחיסור: x = a² − 1.
  4. המועמד בתחום כי a² ≥ 0. בדיקה: a² = |a| = a, לפי התנאי a ≥ 0. לכן זהו הפתרון היחיד במקרה הזה.

תרגול מודרך

פתרו x + 4 = −2 במספרים ממשיים.

  • x = −8
  • אין פתרון
  • x = 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

סווגו את פתרונות x − 2 = a.

  • אם a ≥ 0: x = a² + 2; אם a < 0: אין פתרון
  • לכל a: x = a² + 2
  • אם a > 0: x = a² − 2; אחרת אין פתרון

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. מסכמים: אפס, אחד או שני פתרונות

הביטוי (x − a)² שווה ל־|x − a|, כלומר המרחק בין x ל־a על ציר המספרים. מרחק אינו שלילי. אם מבקשים מרחק חיובי b, אפשר להיות מימין ל־a או משמאלו: x − a = b או x − a = −b. אם b = 0 שתי האפשרויות מתלכדות לאותו פתרון. אם b < 0 אין פתרון. a ו־b הם פרמטרים ממשיים; x הוא הנעלם.

דוגמה: סווגו את פתרונות (x − a)² = b לפי a ו־b.

  1. לכל x ו־a ממשיים הביטוי שבתוך השורש הוא ריבוע, ולכן אין איסור על x בגלל התחום.
  2. אם b < 0, אין פתרון כי אגף שמאל אינו שלילי.
  3. אם b = 0, המרחק מ־a הוא אפס ולכן x = a בלבד.
  4. אם b > 0, יש שתי אפשרויות: x − a = b או x − a = −b. מעבירים −a כחיבור ומקבלים x = a + b או x = a − b.
  5. שני הפתרונות שונים כי b > 0. בהצבה בשניהם מתקבל b² = b, ולכן שניהם תקפים.

תרגול מודרך

פתרו (x − 3)² = 2.

  • רק x = 5
  • x = −1 או x = 1
  • x = 1 או x = 5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

כמה פתרונות יש ל־(x − a)² = b כאשר a ממשי כלשהו?

  • b ≤ 0: אפס; b > 0: אחד
  • b < 0: אפס; b = 0: אחד; b > 0: שניים
  • לכל b יש שני פתרונות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.