קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

פונקציות קוויות: משוואת ישר והשוואת מודלים

מחשבים שיפוע משתי נקודות, בונים משוואת ישר, מבדילים בין חיתוך למקבילות ולהתלכדות, ומשווים מודלים בתוך תחום מתאים. זו יחידת למידה ממוקדת, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · פונקציה קווית, שיפוע, חיתוכים והשוואת מודלים; משפחות פרמטרים הן אתגר לבחירה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/linear-functions?target=4

לפני שמתחילים

1. שיפוע הוא שינוי בפלט חלקי שינוי בקלט

בשתי נקודות שונות (x₁, y₁) ו־(x₂, y₂), כאשר x₂ ≠ x₁, השיפוע הוא m = . שומרים על אותו סדר חיסור במונה ובמכנה: שינוי ב־y חלקי השינוי המתאים ב־x. גם אם הפרש הקלטים אינו 1, המנה נותנת את השינוי בפלט לכל יחידת קלט. אם לשתי נקודות שונות אותו x, הישר העובר דרכן אנכי, שיפועו לא מוגדר והוא אינו פונקציה y של x. אם אותו y וקלטים שונים, השיפוע אפס.

דוגמה: מצאו את השיפוע של הישר העובר בנקודות A(1, 5), B(4, −1).

  1. הקלט השתנה ב־4 − 1 = 3, והפלט השתנה ב־−1 − 5 = −6.
  2. לכן m = = − = −2.
  3. לכל תוספת של 1 ל־x הפלט קטן ב־2. התוספת של 3 לקלט הקטינה אותו ב־6.
  4. אפשר לחסר בסדר ההפוך בשניהם: = = −2. שינוי סדר במכנה בלבד היה נותן סימן שגוי.

תרגול מודרך

מהו השיפוע דרך הנקודות (−2, 3) ו־(2, 5)?

  • 2
  • −

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה תיאור מתאים לישר דרך (3, −2) ו־(3, 4)?

  • שיפועו 0 והוא פונקציה קבועה
  • שיפועו 6 והוא פונקציה עולה
  • הוא x = 3; שיפועו לא מוגדר ואינו פונקציה y של x

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. בונים משוואה משיפוע ונקודה

אם ידועים השיפוע m ונקודה (x₁, y₁), אפשר להשתמש ב־y − y₁ = m(x − x₁). הצד השמאלי הוא השינוי בפלט מהנקודה הידועה, והימני הוא השיפוע כפול השינוי בקלט. פתיחת סוגריים ובידוד y נותנים y = mx + b. אפשר גם להציב את הנקודה ישירות ב־y = mx + b ולפתור עבור b. כשנתונות שתי נקודות בעלות קלטים שונים, מחשבים תחילה את m ואז משתמשים באחת מהן ובודקים בשנייה.

דוגמה: מצאו את משוואת הישר ששיפועו −3 ועובר בנקודה (2, 1).

  1. מציבים בתבנית: y − 1 = −3(x − 2).
  2. פותחים סוגריים: y − 1 = −3x + 6.
  3. מעבירים את −1 לאגף הימני עם שינוי סימן: y = −3x + 6 + 1 = −3x + 7. זה שקול להוספת 1 לשני האגפים.
  4. בדיקה: כאשר x = 2 מתקבל y = −6 + 7 = 1. גם השיפוע במשוואה הוא −3, כפי שנדרש.

תרגול מודרך

איזו משוואה מתארת ישר ששיפועו 2 ועובר בנקודה (−1, 3)?

  • y = 2x + 5
  • y = 2x + 1
  • y = −2x + 1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מצאו את משוואת הישר דרך (2, −1) ו־(6, 5).

  • y = + 2
  • y = − 4
  • y = −

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מפגש אחד, מקבילים או אותו ישר

בנקודת מפגש של שתי פונקציות, לאותו x מתקבל אותו y. לכן משווים את הביטויים, פותרים עבור x ומציבים באחת הפונקציות כדי למצוא y. כששני השיפועים שונים, יש בדיוק מפגש אחד בתחום כל המספרים הממשיים. כששני השיפועים שווים, בודקים את האיבר הקבוע: איברים קבועים שונים נותנים ישרים מקבילים נפרדים ללא מפגש; איברים קבועים שווים נותנים אותו ישר ואינסוף נקודות משותפות. בתחומים מוגבלים צריך לבדוק אילו נקודות מותרות לשתי הפונקציות.

דוגמה: מצאו את נקודת המפגש של y = 2x + 1 ושל y = −x + 7.

  1. משווים את הפלטים: 2x + 1 = −x + 7.
  2. מעבירים את −x לשמאל ואת +1 לימין, ומשנים את סימניהם: 2x + x = 7 − 1. זה שקול להוספת x ולהחסרת 1 בשני האגפים. מתקבל 3x = 6, ולכן x = 2.
  3. מציבים בראשונה: y = 2 × 2 + 1 = 5.
  4. בודקים בשנייה: −2 + 7 = 5. נקודת המפגש היא (2, 5), והיא יחידה כי השיפועים 2 ו־−1 שונים.
נקודת מפגש מקיימת את שתי המשוואות-2246-2246810xy0(2, 5)
נקודת מפגש מקיימת את שתי המשוואות

נתונות y = 2x + 1 ו־y = −x + 7. הנקודה המסומנת (2, 5) התקבלה מהשוואת הפלטים בדוגמה, ונמצאת על שני הישרים. הישרים ממשיכים מעבר לחלון המוצג.

שתי הפונקציות מוגדרות לכל x ממשי; חלון התצוגה אינו תחום הגדרה.

  • y = 2x + 1
  • y = −x + 7

תרגול מודרך

מה הקשר בין y = 3x − 2 לבין y = 3x + 4, המוגדרות לכל x ממשי?

  • נפגשות בנקודה אחת
  • זה אותו ישר
  • ישרים מקבילים נפרדים, ללא נקודת מפגש

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

כמה נקודות משותפות יש לגרפים y = −2x + 6 ו־y = 6 − 2x, כאשר שניהם מוגדרים לכל x ממשי?

  • אינסוף: זה אותו ישר
  • אפס: השיפועים שווים
  • אחת בלבד: (0, 6)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. מתי פונקציה אחת גדולה מהשנייה?

כדי לדעת באילו קלטים f(x) קטנה מ־g(x), פותרים את אי־השוויון f(x) < g(x). המפגש מחלק בדרך כלל את ציר x לשני צדדים, אך צריך לבדוק באיזה צד האי־שוויון מתקיים. כפל או חילוק של שני אגפי אי־שוויון במספר שלילי הופכים את כיוונו. בסימן < או > נקודת השוויון אינה נכללת; בסימן ≤ או ≥ היא נכללת. תנאי על פלטים נותן תחום של קלטים, ולא רק נקודת מפגש.

דוגמה: נתונות f(x) = 2x + 5 ו־g(x) = 5x − 1 לכל x ממשי. מתי f(x) < g(x)?

  1. כותבים 2x + 5 < 5x − 1.
  2. מעבירים את 2x לימין ואת −1 לשמאל עם שינוי סימן: 5 + 1 < 5x − 2x, ולכן 6 < 3x. ההעברה שקולה להחסרת 2x ולהוספת 1 בשני האגפים.
  3. מחלקים ב־3, שהוא חיובי, ומקבלים 2 < x, כלומר x > 2.
  4. ב־x = 2 הפלטים שווים ולכן קלט זה אינו נכלל. למשל, ב־x = 3 מתקבל f(3) = 11 < 14 = g(3).

תרגול מודרך

נתונות f(x) = −x + 4 ו־g(x) = x − 2. באילו x מתקיים f(x) ≥ g(x)?

  • x ≥ 3
  • x ≤ 3
  • x < 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

באילו x מתקיים −2x + 1 < x + 7?

  • x < −2
  • x ≥ −2
  • x > −2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. השוואת מודלים נעשית בתחום המשותף

נוסחה אלגברית עשויה להיות מוגדרת גם בקלטים שאינם אפשריים בסיפור. כשמשווים שני שירותים, משתמשים רק בקלטים המותרים לשניהם. פותרים את המשוואה או האי־שוויון ואז חותכים את התשובה עם התחום המשותף. זמן עשוי להשתנות ברציפות; מספר פריטים מוגבל למספרים שלמים. חשוב לציין אם נקודות קצה מותרות ואם השאלה מבקשת שוויון, מחיר נמוך ממש או מחיר שאינו גבוה.

דוגמה: השכרת ציוד א עולה Cₐ = 12 + 4t ש״ח ומותרת ל־0 ≤ t ≤ 5 שעות. השכרה ב עולה Cᵦ = 4 + 8t ש״ח ומותרת ל־0 ≤ t ≤ 3. מתי א זולה מב, כאשר שתי ההצעות זמינות?

  1. התחום המשותף הוא 0 ≤ t ≤ 3; מעבר ל־3 שעות הצעה ב אינה זמינה.
  2. פותרים 12 + 4t < 4 + 8t: מתקבל 8 < 4t, ולכן t > 2.
  3. משלבים עם התחום המשותף ומקבלים 2 < t ≤ 3.
  4. ב־t = 2 שתי העלויות הן 20 ש״ח ולכן זמן זה אינו נכלל. t = 3 נכלל: העלויות הן 24 ו־28 ש״ח.

תרגול מודרך

שתי השכרות זמינות לכל זמן 0 ≤ t ≤ 4 שעות: א עולה 10 + 5t ש״ח וב עולה 4 + 8t ש״ח. מתי א זולה מב?

  • 2 < t ≤ 4
  • t > 2 ללא הגבלה
  • 0 ≤ t < 2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

להדפסת n פריטים, א גובה 10 + 2n ש״ח וב גובה 4 + 3n ש״ח. אפשר להדפיס מספר שלם של פריטים בין 0 ל־50. באילו הזמנות א זולה מב?

  • כל מספר ממשי n > 6
  • מספרים שלמים 7 ≤ n ≤ 50
  • מספרים שלמים 6 ≤ n ≤ 50

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.