קליק · מתמטיקה
פונקציה קווית ומערכת צירים
קוראים נקודות, מזהים שיפוע ומוצאים חיתוך עם הצירים.
https://klikedu.app/learn/linear-functions1. נקודה מחברת קלט ופלט
גרף מתאר קשר בין שני ערכים. הקלט x הוא המספר שבוחרים, והפלט y הוא התוצאה שמתאימה לו. x נמצא בציר האופקי ו־y בציר האנכי. נקודה נכתבת (x, y), משמאל לימין גם בתוך עברית. כדי לקרוא אותה שואלים תחילה מה הקלט, ואחר כך איזה פלט מתאים לו.
דוגמה: מה מספרת הנקודה (2, 3)?
- המספר הראשון הוא x = 2, הקלט.
- המספר השני הוא y = 3, הפלט המתאים.
- במפה נעים מהראשית 2 ימינה ו־3 למעלה.
תרגול מודרך
בנקודה (4, 9), מה הפלט y?
- 4
- 9
- 13
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
פונקציה נותנת פלט 7 לקלט 3. מה הנקודה המתאימה?
- (7, 3)
- (3, 3)
- (3, 7)
תשובה: __________________________________________________
2. סדר וסימן קובעים מיקום
הסימן של x קובע ימינה או שמאלה, והסימן של y קובע למעלה או למטה. שלילי פירושו שמאלה בציר האופקי ולמטה באנכי. החלפת הסדר בזוג משנה בדרך כלל את הנקודה, גם אם אותם שני מספרים מופיעים בשתיהן.
דוגמה: השוו (−2, 3) ל־(3, −2).
- (−2, 3): נעים 2 שמאלה ו־3 למעלה.
- (3, −2): נעים 3 ימינה ו־2 למטה.
- לכן אלה שתי נקודות שונות.
תרגול מודרך
לאן נעים כדי לסמן (−4, 2)?
- 4 שמאלה ו־2 למעלה
- 2 שמאלה ו־4 למעלה
- 4 ימינה ו־2 למטה
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
מהי נקודה שנמצאת 1 ימינה ו־5 למטה?
- (−1, 5)
- (1, −5)
- (5, −1)
תשובה: __________________________________________________
3. מציבים קלט ומחשבים פלט
נוסחת פונקציה היא הוראה לחישוב y מתוך x. הצבה פירושה החלפת כל הופעה של x במספר הנתון. שומרים על סדר הפעולות: מבצעים כפל לפני חיבור או חיסור. בסיום אפשר לרשום את הקלט והפלט יחד כנקודה על הגרף.
דוגמה: בפונקציה y = 2x + 1 מצאו y כאשר x = 3.
- מחליפים את x ב־3: y = 2 × 3 + 1.
- מחשבים כפל תחילה: 6 + 1 = 7.
- הפלט הוא 7 והנקודה על הגרף היא (3, 7).
תרגול מודרך
y = 3x + 2. מה y כש־x = 2?
- 10
- 7
- 8
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
y = 2x − 7. מה y כש־x = 4?
- 1
- −3
- 8
תשובה: __________________________________________________
4. מוצאים את m במשוואה
פונקציה קווית נכתבת y = mx + b. המספר m, שמכפיל את x, נקרא שיפוע. כש־x גדל באחת, המכפלה mx משתנה ב־m ואילו b נשאר קבוע. לכן m מודד את השינוי בפלט לכל יחידת קלט, כולל סימנו.
דוגמה: מה השיפוע של y = −3x + 5?
- משווים לצורה y = mx + b.
- המספר שמכפיל את x הוא −3, ולכן m = −3.
- המספר 5 הוא b, לא השיפוע.
תרגול מודרך
מהו m ב־y = 4x + 12?
- 4
- 12
- 16
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
מה השיפוע של y = −2x − 7?
- 7
- 2
- −2
תשובה: __________________________________________________
5. שיפוע מתאר עלייה או ירידה
קוראים כיוון של גרף משמאל לימין, כש־x גדל. שיפוע חיובי אומר ש־y עולה, שלילי אומר שהוא יורד, ואפס אומר שהוא קבוע. ירידה אינה אומרת שכל ערכי y שליליים; ערך הפלט וכיוון השינוי הם דברים שונים.
דוגמה: ב־y = −2x + 6, בדקו את השינוי מ־x = 0 ל־x = 1.
- כאשר x = 0 מתקבל y = 6.
- כאשר x = 1 מתקבל y = 4.
- הפלט ירד ב־2, אף ששני הפלטים חיוביים.
תרגול מודרך
הישר y = 3x − 10 הוא איזה סוג?
- יורד כי b שלילי
- עולה כי m חיובי
- קבוע כי יש מספר חופשי
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
מה קורה ב־y = 0x + 5 כש־x גדל?
- y גדל
- y קטן
- y נשאר 5
תשובה: __________________________________________________
6. b הוא הפלט בקלט אפס
המספר b הוא האיבר החופשי, כלומר המספר שאינו מוכפל ב־x. כשמציבים x = 0, המכפלה mx נעלמת ונשאר y = b. לכן b מתאר ערך התחלתי בהקשרים מתאימים, ומיקום של חיתוך הגרף עם הציר האנכי.
דוגמה: מהו b בפונקציה y = −3x + 8?
- האיבר החופשי הוא 8, ולכן b = 8.
- בדיקה: x = 0 נותן y = −3 × 0 + 8 = 8.
תרגול מודרך
מהו b ב־y = 2x − 7?
- 2
- 7
- −7
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
ב־y = 5x + 9, איזה פלט מתקבל בקלט אפס?
- 9
- 5
- 14
תשובה: __________________________________________________
7. מפרשים את השיפוע לפי היחידות
בסיפור צריך לברר מה מודד כל ציר. השיפוע הוא שינוי בפלט לכל יחידת קלט, ולכן יחידותיו משלבות את שניהם. מחיר לקילומטר הוא קצב, ותשלום פתיחה הוא ערך התחלתי. בפונקציה קווית אותה תוספת לקלט גורמת תמיד לאותה תוספת לפלט.
דוגמה: מונית גובה y = 4x + 12 שקלים עבור x קילומטרים. פרשו את המספרים.
- x מודד קילומטרים ו־y שקלים.
- m = 4: כל קילומטר נוסף עולה 4 שקלים.
- b = 12: בקלט אפס משלמים דמי פתיחה של 12 שקלים.
תרגול מודרך
מחיר מונית הוא y = 4x + 12 שקלים עבור x קילומטרים. מה פירוש 4?
- דמי פתיחה של 4 שקלים
- 4 שקלים לכל קילומטר
- 4 קילומטרים בכל נסיעה
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
מכל מכיל y = 30 − 2x ליטרים אחרי x דקות. מה משמעות −2?
- במכל תמיד −2 ליטרים
- נוספים 2 ליטרים בדקה
- כמות המים קטנה ב־2 ליטרים בדקה
תשובה: __________________________________________________
8. חיתוך עם ציר y
כל נקודה על ציר y נמצאת בדיוק מעל הראשית או מתחתיה, בלי תנועה אופקית. לכן x = 0. מציבים אפס במקום x ומחשבים y. נקודת החיתוך נכתבת כזוג סדור (0, b), ולא כמספר b לבדו.
דוגמה: מצאו את חיתוך y = x + 1 עם ציר y.
- על ציר y מציבים x = 0.
- מקבלים y = 0 + 1 = 1.
- נקודת החיתוך היא (0, 1).
תרגול מודרך
מה חיתוך y = 2x − 4 עם ציר y?
- (0, −4)
- (−4, 0)
- (0, 2)
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
מה חיתוך y = −3x + 6 עם ציר y?
- (6, 0)
- (0, 6)
- (0, −3)
תשובה: __________________________________________________
9. חיתוך עם ציר x
נקודה על ציר x אינה מעליו או מתחתיו, ולכן y = 0. כדי למצוא חיתוך מציבים אפס במקום y ופותרים עבור x באמצעות אותה פעולה בשני אגפי המשוואה. את הפתרון כותבים כנקודה (x, 0), כי כאן הפלט הוא שהתאפס.
דוגמה: מצאו את חיתוך y = 2x − 4 עם ציר x.
- מציבים y = 0: מתקבל 0 = 2x − 4.
- מוסיפים 4 לשני האגפים: 4 = 2x. מחלקים ב־2: x = 2.
- נקודת החיתוך היא (2, 0); בדיקה: 2 × 2 − 4 = 0.
תרגול מודרך
מה מציבים כדי לחפש חיתוך עם ציר x?
- x = 0
- m = 0
- y = 0
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
מה חיתוך y = 3x − 9 עם ציר x?
- (3, 0)
- (0, −9)
- (0, 3)
תשובה: __________________________________________________
10. שינוי אנכי חלקי שינוי אופקי
בין שתי נקודות השינוי ב־y לא תמיד נובע מצעד אחד ב־x. מסמנים את הנקודה הראשונה (x₁, y₁) ואת השנייה (x₂, y₂); המספרים הקטנים מציינים לאיזו נקודה שייך כל ערך. כדי למצוא שינוי לכל יחידה מחלקים את ההפרש האנכי בהפרש האופקי: m = . בוחרים שתי נקודות שונות על אותו ישר, עם ערכי x שונים.
דוגמה: מצאו שיפוע בין (1, 3) לבין (3, 7).
- השינוי ב־y הוא 7 − 3 = 4.
- השינוי ב־x הוא 3 − 1 = 2.
- לכן m = = 2: עלייה של 2 לכל צעד ימינה.
תרגול מודרך
מ־x = 1 ל־x = 4 הפלט גדל מ־2 ל־8. מה השיפוע?
- 6
- 2
- 3
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
מה השיפוע בין (2, 5) לבין (6, 7)?
- 2
- 2.5
תשובה: __________________________________________________
11. שומרים על אותו סדר חיסור
אפשר להתחיל מכל אחת משתי הנקודות, אבל חייבים להשתמש באותו סדר במונה ובמכנה. אם הופכים את הסדר בשניהם, שני ההפרשים מחליפים סימן והמנה נשארת זהה. היפוך סדר רק באחד מהם משנה בטעות את סימן השיפוע.
דוגמה: חשבו שיפוע בין (1, 7) לבין (3, 3) בשני סדרים.
- בסדר הראשון: m = = − = −2.
- בסדר ההפוך: m = = = −2.
- שני החישובים מראים שהישר יורד.
תרגול מודרך
איזה חישוב נותן את השיפוע בין (1, 2) ל־(4, 8)?
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
מה השיפוע בין (−1, 5) לבין (2, −1)?
- −2
- 2
- −3
תשובה: __________________________________________________
12. נקודה עוזרת למצוא את b
אם השיפוע ידוע, רק b חסר במשוואה y = mx + b. נקודה שעל הישר מקיימת את המשוואה, ולכן מציבים את שני ערכיה ומבודדים את b. אחרי שמוצאים אותו חוזרים למשוואה עם המשתנים x ו־y, ולא משאירים רק את נקודת הדוגמה.
דוגמה: שיפוע הישר 2 והוא עובר ב־(1, 5). מצאו משוואה.
- מציבים בנוסחה: 5 = 2 × 1 + b.
- מחשבים ומחסרים 2: b = 3.
- משוואת הישר היא y = 2x + 3.
- בדיקה: בקלט 1 מתקבל 2 × 1 + 3 = 5.
תרגול מודרך
m = 3 והישר עובר ב־(2, 10). מהו b?
- 16
- 10
- 4
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
m = −2 והישר עובר ב־(1, 3). מה המשוואה?
- y = −2x + 1
- y = −2x + 5
- y = 3x − 2
תשובה: __________________________________________________
13. מטבלה למשוואה ובדיקה
שתי שורות בטבלה של פונקציה קווית נותנות שתי נקודות. מחשבים מהן את השיפוע, מציבים אחת למציאת b, ובודקים שגם האחרת מקיימת את המשוואה. שרטוט שתי הנקודות לפי קנה המידה וחיבורן בקו ישר נותנים את הגרף המתאים.
דוגמה: בטבלה מופיעות הנקודות (1, 3) ו־(3, 7). מצאו את המשוואה.
- m = = 2.
- מציבים (1, 3): 3 = 2 × 1 + b, ולכן b = 1.
- המשוואה היא y = 2x + 1.
- בודקים בשורה השנייה: 2 × 3 + 1 = 7.
תרגול מודרך
הנקודות (0, 2) ו־(2, 8) על ישר. מה משוואתו?
- y = 3x + 2
- y = 6x + 2
- y = 2x + 3
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
איזו נקודה בודקת נכון את y = 2x + 1?
- (2, 3)
- (3, 6)
- (4, 9)
תשובה: __________________________________________________
14. ישר אנכי הוא מקרה אחר
אם שתי נקודות שונות בעלות אותו x, ההפרש האופקי הוא אפס. אי אפשר לחלק באפס, ולכן השיפוע אינו מוגדר. הישר אנכי, ול־x קבוע מתאימים בו ערכי y רבים; משום כך הוא אינו פונקציה של x מהצורה y = mx + b.
דוגמה: הנקודות (3, 1) ו־(3, 5) נמצאות על ישר. מה ניתן לומר עליו?
- בשתי הנקודות x = 3, ולכן כל הישר מתואר ב־x = 3.
- בחישוב השיפוע המכנה הוא 3 − 3 = 0.
- אין שיפוע מוגדר; אין לבלבל זאת עם שיפוע אפס של ישר אופקי.
תרגול מודרך
איזה ישר הוא אנכי?
- y = 3
- y = 3x
- x = 3
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
לנקודות (−2, 4) ו־(−2, 9) מהו השיפוע?
- אינו מוגדר
- 0
- 5
תשובה: __________________________________________________
דוגמה מסכמת
נתונה הפונקציה y = 2x − 4. מצאו שיפוע וחיתוכים.
- השיפוע הוא m = 2: בכל צעד אחד ימינה, עולים 2.
- לחיתוך עם ציר y מציבים x = 0: מקבלים y = −4. הנקודה היא (0, −4).
- לחיתוך עם ציר x מציבים y = 0: 0 = 2x − 4.
- מקבלים 2x = 4 ולכן x = 2. הנקודה היא (2, 0).
תרגול מסכם
שאלה 1
מה השיפוע של y = −3x + 5?
________________________________________________________
שאלה 2
בפונקציה y = 2x + 1, מה y כאשר x = 3?
________________________________________________________
שאלה 3
בפונקציה y = x − 6, מה ערך x בנקודת החיתוך עם ציר x?
________________________________________________________
שאלה 4
מה השיפוע בין הנקודות (1, 3) ו־(3, 7)?
________________________________________________________
שאלה 5
בפונקציה y = −3x + 8, מה b?
________________________________________________________
שאלה 6
בפונקציה y = 2x − 7, מה y כאשר x = 4?
________________________________________________________
שאלה 7
ישר עובר דרך (1, 5) ו־(3, 9). מה השיפוע?
________________________________________________________
שאלה 8
לישר שיפוע 3 והוא עובר דרך (2, 10). מה b?
________________________________________________________
בדיקה עצמית
האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.