קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

דלתון: פרמטרים וזהויות בין צלעות ואלכסונים

חוקרים משפחות של דלתונים באמצעות חיוביות אורכים, משוואת שטח וזהות של הפרש ריבועים. בכל המסלול ABCD קמור ולא מנוון, הקודקודים לפי הסדר סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD, AC ראשי ו־O מפגש האלכסונים. מעוין נכלל בהגדרה. עומק המסלול הוא בבדיקת היסק וקיום; אין כאן טענה לכיסוי מלא של תוכנית שנתית או תחליף ליחידת ההוכחות המתקדמת.

הרחבה לבחירה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/kite?target=5

לפני שמתחילים

1. תחום הפרמטר נובע מאורכים חיוביים

אפשר לבנות דלתון קמור על שני ישרים מאונכים כך ש־A ו־C משני צדי O, ו־B ו־D משני צדי O במרחק שווה. אם AO = p, CO = q ו־BO = OD = r, דרושים p,q,r > 0. תנאים אלה גם מספיקים לבנייה: ארבעת הקודקודים יוצרים מרובע קמור, ופיתגורס נותן AB = AD ו־CB = CD. לכן בודקים את כל האורכים לפני פתרון משוואת שטח, ולא מסתפקים בכך שהשטח חיובי.

דוגמה: בבנייה המתוארת, כל האורכים בסנטימטרים: AO = 2t−1, CO = 11−2t ו־BO = OD = t−2. מצאו את תחום t שיוצר דלתון קמור, ואז מצאו t כאשר השטח 20 סמ״ר.

  1. AO > 0 דורש 2t−1 > 0, ולכן t > . CO > 0 דורש 11−2t > 0: מוסיפים 2t לשני האגפים ומקבלים 11 > 2t, כלומר t < .
  2. BO > 0 דורש t−2 > 0, כלומר t > 2. חיתוך שלושת התנאים הוא 2 < t < . הקצוות אינם נכללים.
  3. AC = (2t−1)+(11−2t) = 10 ו־BD = 2(t−2). לכן S = 10×2 = 10(t−2).
  4. מציבים S = 20: מחלקים ב־10 ומקבלים t−2 = 2. מוסיפים 2 לשני האגפים: t = 4.
  5. 4 בתוך התחום. מתקבלים AO = 7, CO = 3 ו־BO = 2, כולם חיוביים, והשטח 10× = 20 סמ״ר.

תרגול מודרך

בבנייה על שני ישרים מאונכים A ו־C משני צדי O, וגם B ו־D משני צדי O. נתון AO = t, CO = 8−t ו־BO = OD = 3. מה תחום t לדלתון קמור לא מנוון?

  • 0 ≤ t ≤ 8
  • 0 < t < 8
  • t > 0 בלבד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

באותה בנייה מאונכת עם קודקודים משני צדי O, נתון AO = t−1, CO = 7−t ו־BO = OD = 2t−6. מה תחום t?

  • 1 < t < 7
  • t > 3
  • 3 < t < 7

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. משוואת שטח יכולה לתת שני דלתונים שונים

שטח הוא חצי מכפלת האלכסונים, ולכן כשהם תלויים בפרמטר עשויה להתקבל משוואה ריבועית. פתרונות המשוואה הם רק מועמדים: בודקים אורכים חיוביים וקיום דלתון מתאים. אם נתונים רק שני אלכסונים חיוביים, אפשר לבנות למשל מעוין שהאלכסונים שלו מאונכים וחוצים זה את זה, ולכן הוא גם דלתון. אין לבחור רק שורש אחד משום שהשאלה נוסחה ביחיד.

דוגמה: בדלתון קמור אורכי האלכסונים, בסנטימטרים, הם AC = 18−t ו־BD = 2t. השטח 72 סמ״ר. מצאו את כל ערכי t האפשריים ואת זוג האלכסונים בכל מקרה.

  1. חיוביות האלכסונים דורשת 0 < t < 18. נוסחת השטח נותנת (18−t)× = 72, כלומר 18t−t² = 72.
  2. מוסיפים t² ומחסרים 18t משני האגפים: t²−18t+72 = 0. מחפשים שני מספרים שמכפלתם 72 וסכומם −18: אלה −6 ו־−12.
  3. לכן (t−6)(t−12) = 0. מכפלה שווה לאפס רק אם לפחות אחד הגורמים אפס, ולכן t = 6 או t = 12.
  4. עבור t = 6 מתקבלים AC = 12 ו־BD = 12; עבור t = 12 מתקבלים AC = 6 ו־BD = 24. בשניהם מכפלת האלכסונים 144, ולכן השטח 72 סמ״ר.
  5. שני הערכים בתחום. בכל מקרה אפשר לבחור O כאמצע שני האלכסונים ולמקם אותם בניצב; מתקבל מעוין קמור, ולכן דלתון מתאים. הנתונים אינם מכריחים לבחור דווקא מעוין.

תרגול מודרך

בדלתון קמור AC = 14−t ו־BD = 2t, בסנטימטרים, והשטח 45 סמ״ר. מהם ערכי t האפשריים?

  • t = 5 או t = 9
  • t = 5 בלבד
  • t = 9 בלבד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בדלתון קמור AC = 10−t ו־BD = 2t, בסנטימטרים, והשטח 25 סמ״ר. כמה ערכי t אפשריים?

  • שניים: 0 ו־10
  • אחד: t = 5
  • אין ערך אפשרי

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מהפרש ריבועי הצלעות אל מיקום מפגש האלכסונים

נסמן AO = p, CO = q ו־BO = r. פיתגורס נותן AB² = p²+r² וגם CB² = q²+r². בחיסור המשוואות r² מתבטל: AB²−CB² = p²−q² = (p−q)(p+q). מאחר ש־p+q = AC, מתקבלת הזהות AB²−CB² = AC×(AO−CO). היא אינה הנחה חדשה על הדלתון. היא מאפשרת למצוא הפרש גבהים מנתוני צלעות, ובהמשך להשתמש בסכום הגבהים כדי למצוא כל אחד מהם.

דוגמה: בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. נתון AB = AD = 13 ס״מ, CB = CD = 20 ס״מ ו־AC = 21 ס״מ. מצאו AO, CO ו־BD בעזרת הזהות.

  1. נסמן AO = p ו־CO = q. מן הזהות: 13²−20² = 21(p−q), כלומר −231 = 21(p−q). מחלקים ב־21: p−q = −11.
  2. כיוון ש־O בתוך AC, מתקיים גם p+q = 21. מחברים את שתי המשוואות: 2p = 10, ולכן p = 5. מציבים בסכום: q = 21−5 = 16.
  3. כעת ב־AOB: BO² = 13²−5² = 169−25 = 144. לכן BO = 12 ס״מ ו־BD = 24 ס״מ.
  4. בדיקה בצד השני: 16²+12² = 256+144 = 400 = 20². כל אורכי החלקים חיוביים. העובדה ש־13 < 20 מתאימה גם ל־AO < CO.
הפרש ריבועים מאתר את O13205161212ABCDO
הפרש ריבועים מאתר את O

נתונים AB = AD = 13, CB = CD = 20 ו־AC = 21 ס״מ בדלתון קמור. סימני השוויון על הצלעות מציינים את הנתונים. AO = 5 ו־CO = 16 מתקבלים מהזהות ומהסכום AC; BO = OD = 12 מתקבל מפיתגורס ומחציית BD. הזווית הישרה ושוויון אורכי BO ו־OD הם תכונות מוסקות של הדלתון. השרטוט מתאר את הדוגמה לאחר הפתרון.

תרגול מודרך

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. AB = 10 ס״מ, CB = 17 ס״מ ו־AC = 21 ס״מ. מה AO−CO?

  • 9 ס״מ
  • −7 ס״מ
  • −9 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. AB = CB, וידוע AC = 18 ס״מ. איזו מסקנה נובעת מהזהות?

  • AO = CO = 9 ס״מ
  • BO = OD = 9 ס״מ
  • AC = BD = 18 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. תנאי מספיק תלוי גם בנתונים שסביבו

תנאי הכרחי חייב להתקיים כאשר הטענה נכונה; תנאי מספיק מבטיח שהטענה נכונה. לדוגמה, שני השוויונות AB = AD ו־CB = CD מספיקים להגדרת דלתון קמור עם AC ראשי. היקף מסוים לבדו בדרך כלל אינו מספיק לזהות דלתון. אבל במשפחה נתונה של אורכי צלעות, משוואת ההיקף יכולה לקבוע פרמטר שממנו נובעים שני השוויונות. בודקים את ההקשר ולא הופכים מסקנה כללית למשפט הפוך ללא הצדקה.

דוגמה: במרובע קמור ABCD נתון AB = t+2, AD = 2t−1, CB = 3t−2 ו־CD = t+4, בסנטימטרים. מצאו מתי מתקיימים זוגות השוויון של דלתון עם AC ראשי. האם בתוך המשפחה הזאת נתון היקף 24 ס״מ מספיק?

  1. AB = AD דורש t+2 = 2t−1. מחסרים t ומוסיפים 1 בשני האגפים: t = 3.
  2. בודקים גם CB = CD, ולא מסתפקים בזוג הראשון: 3t−2 = t+4 נותן 2t = 6, כלומר שוב t = 3.
  3. עבור t = 3 מתקבלים AB = AD = 5 ו־CB = CD = 7. אלה שני זוגות סמוכים שווים באורכים חיוביים, ולכן המרובע הקמור הנתון דלתון, והיקפו 24 ס״מ.
  4. בכל המשפחה P = (t+2)+(2t−1)+(3t−2)+(t+4) = 7t+3. אם P = 24, מחסרים 3 ומחלקים ב־7: t = 3. לכן בתוך המשפחה הנתונה היקף 24 מספיק, וגם הכרחי, לזוגות השוויון המבוקשים.
  5. ללא נוסחאות הצלעות אין מסקנה כזאת: מלבן שצלעותיו 4 ו־8 הוא בעל היקף 24, אך בכל קודקוד נפגשות צלעות שונות, ולכן אינו דלתון.

תרגול מודרך

במרובע קמור נתון AB = x+1, AD = 2x−2, CB = x+4 ו־CD = 2x+1. נתון גם שההיקף 22 ס״מ. מה אפשר להסיק?

  • אי אפשר להסיק דבר, גם עם נוסחאות הצלעות
  • x = 3, ולכן AB = AD = 4 ו־CB = CD = 7; זהו דלתון
  • x = 3, ולכן כל ארבע הצלעות שוות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מה מוכיחה הדוגמה של מלבן בעל צלעות 4 ו־8 והיקף 24 ס״מ?

  • היקף 24 אינו מספיק, לבדו, כדי לזהות דלתון במרובע קמור כללי
  • דלתון אינו יכול להיות בעל היקף 24
  • היקף 24 אינו מספיק אף כשכל נוסחאות הצלעות ידועות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. מה נקבע מנתוני האלכסונים ומה עדיין חופשי?

אם AC ו־BD ידועים, השטח נקבע מיד. ההיקף עשוי להשתנות עם מיקום O לאורך AC. כש־AC = L ו־BD = 2r, אפשר לבחור AO = p ו־CO = L−p לכל 0 < p < L. אז P = 2p²+r²+2(L−p)²+r². כדי להראות שנתונים אינם קובעים היקף יחיד, די להציג שתי בניות חוקיות עם אותם אלכסונים והיקפים שונים. אין צורך לטעון טענה על היקף מינימלי או להוכיח אותה.

דוגמה: האם האלכסונים AC = 10 ס״מ ו־BD = 8 ס״מ קובעים היקף יחיד לדלתון קמור? השוו בנייה עם AO = CO = 5 לבנייה עם AO = 3 ו־CO = 7.

  1. בשתי הבניות BO = OD = 4, ו־A ו־C ממוקמים משני צדי O על האנך ל־BD. כל החלקים חיוביים, ולכן שתי הבניות יוצרות דלתונים קמורים.
  2. בראשונה כל צלע באורך 5²+4² = 41, ולכן P₁ = 441 ≈ 25.61 ס״מ. זהו גם מעוין.
  3. בשנייה AB = AD = 3²+4² = 5, ו־CB = CD = 7²+4² = 65. לכן P₂ = 10+265 ≈ 26.12 ס״מ.
  4. ההיקפים שונים, אך בשתי הבניות השטח S = 10× = 40 סמ״ר. לכן האלכסונים האלה קובעים שטח, ולא היקף יחיד; אי אפשר להשלים את החסר בהנחה ש־O אמצע AC.

תרגול מודרך

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. נתונים רק AC = 12 ס״מ ו־BD = 10 ס״מ. איזו מסקנה מובטחת?

  • AO = CO = 6 ס״מ
  • השטח 60 סמ״ר
  • ההיקף 44 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

שני דלתונים קמורים בנויים על אלכסונים מאונכים AC = 14 ו־BD = 24 ס״מ. בראשון AO = 5 ו־CO = 9; בשני AO = CO = 7. איזה תיאור נכון?

  • אותו היקף ואותו שטח
  • היקפים שונים וגם שטחים שונים
  • אותו שטח 168 סמ״ר; ההיקפים הם 56 ו־4193 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.