קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

דלתון: הגדרה, אלכסונים, היקף ושטח

מסלול מדורג לזיהוי דלתון, להבנת שני הפיצולים למשולשים ולשימוש מנומק בתכונות, בהיקף ובשטח. בכל המסלול עוסקים במרובע קמור לא מנוון ABCD, לפי הסדר סביב ההיקף, עם AB = AD ו־CB = CD; AC נקרא האלכסון הראשי. ההגדרה כוללת מעוין. זהו מסלול למידה מותאם, ולא טענה לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

יסודות בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/kite?target=3

לפני שמתחילים

1. מזהים זוגות סמוכים, ולא רק זוגות שווים

דלתון הוא מרובע בעל שני זוגות נפרדים של צלעות סמוכות שוות: AB = AD ו־CB = CD. צלעות סמוכות חולקות קודקוד, וכל אחת מארבע הצלעות שייכת לאחד משני הזוגות. A ו־C הם מפגשי הזוגות; האלכסון AC מחבר אותם ונקרא כאן ראשי. השם אינו אומר שהוא ארוך יותר. ההגדרה אינה דורשת שני אורכים שונים: במעוין כל ארבע הצלעות שוות, ולכן גם הוא דלתון. בכל השאלות הקודקודים מסודרים סביב מרובע קמור, שכל זוויותיו קטנות מ־180°.

דוגמה: בשני מרובעים קמורים האורכים נתונים לפי הסדר AB, BC, CD, DA. בראשון: 5, 8, 8, 5 ס״מ; בשני: 5, 8, 5, 8 ס״מ. איזה מהם מקיים את הגדרת הדלתון?

  1. בראשון AB = AD = 5, והצלעות נפגשות ב־A. גם CB = CD = 8, והצלעות נפגשות ב־C. אלה שני זוגות נפרדים של צלעות סמוכות.
  2. לכן הראשון דלתון, ו־AC הוא הראשי. הוא אינו מעוין, כי 5 ≠ 8.
  3. בשני שוות דווקא הצלעות הנגדיות: AB = CD ו־BC = AD. בכל פינה נפגשות צלע של 5 וצלע של 8. לכן אין זוג צלעות סמוכות שוות, והוא אינו דלתון.

תרגול מודרך

במרובע קמור כל ארבע הצלעות באורך 7 ס״מ. איזה תיאור מתאים להגדרה שבמסלול?

  • מעוין בלבד; בדלתון חייבים שני אורכים שונים
  • מעוין וגם דלתון
  • דלתון רק אם האלכסונים שווים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במרובע קמור ABCD נתון AB = CD = 4 ו־BC = AD = 9. האם זהו דלתון?

  • כן, כי יש שני זוגות שווים
  • כן, כי AC הוא אלכסון
  • לא, השוויונות הם בין צלעות נגדיות בלבד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. שני אלכסונים, שני סוגי פיצול

BD מחלק את הדלתון למשולשים ABD ו־CBD. בכל אחד זוג שוקיים שוות, ולשניהם בסיס BD, אך הם אינם חייבים לחפוף. AC מחלק למשולשים ABC ו־ADC: AB = AD, BC = DC, והצלע AC משותפת. לכן הם חופפים לפי צלע־צלע־צלע, בהתאמה A↔A, B↔D, C↔C. פיצול לשני משולשים שווי שוקיים אינו אותו דבר כמו פיצול לשני משולשים חופפים.

דוגמה: בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. נתון AB = AD = 5 ו־CB = CD = 8 ס״מ. תארו את המשולשים שמתקבלים מכל אלכסון ונמקו.

  1. לאורך BD: במשולש ABD שתי שוקיים באורך 5; במשולש CBD שתי שוקיים באורך 8. שניהם שווי שוקיים, אך אינם חופפים כי זוגות השוקיים שונים.
  2. לאורך AC: משווים את ABC עם ADC. AB = AD = 5, BC = DC = 8, ו־AC = AC כצלע משותפת.
  3. שלושת זוגות הצלעות שווים, ולכן △ABC ≅ △ADC לפי צלע־צלע־צלע. B מתאים ל־D, ולא ל־C.

תרגול מודרך

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. איזה נימוק משלים את החפיפה של ABC ו־ADC לאחר שימוש בשני זוגות הצלעות הנתונים?

  • BD = BD כצלע משותפת
  • AO = OC תמיד
  • AC = AC כצלע משותפת

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. AB = AD = 6 ו־CB = CD = 10 ס״מ. איזה תיאור נכון?

  • ABD ו־CBD שווי שוקיים; ABC ו־ADC חופפים
  • ABD ו־CBD חופפים, כי יש להם בסיס משותף
  • כל ארבעת המשולשים חופפים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. משפט הדלתון: מה נחצה ובאיזה כיוון?

נסמן O במפגש האלכסונים. נשתמש במשפט הדלתון: AC מאונך ל־BD וחוצה אותו, ולכן BO = OD וכל הזוויות במפגש ישרות. כמו כן AC חוצה את הזוויות A ו־C, והזוויות B ו־D שוות. חציית הזוויות ושוויון B ו־D מתקבלים מן החפיפה ABC↔ADC שבשלב הקודם; הניצבות וחציית BD משמשות כאן כתכונות ידועות של דלתון. אין להסיק AO = OC, ואין להסיק ש־BD חוצה את זוויות B ו־D. משפט אומר מה מותר להסיק אחרי שווידאנו שהצורה מקיימת את ההגדרה.

דוגמה: בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. נתון BD = 12 ס״מ, AO = 6 ס״מ ו־∠BAD = 90°. מצאו BO, ∠AOB ו־∠BAC. האם אפשר למצוא את OC?

  1. AC הראשי חוצה את BD: BO = OD = = 6 ס״מ.
  2. AC ⟂ BD לפי משפט הדלתון, ולכן ∠AOB = 90°.
  3. AC חוצה את זווית A, ולכן ∠BAC = 90°/2 = 45°.
  4. AO = 6 אינו נותן את OC: האלכסון BD אינו חייב לחצות את AC. אין כאן מספיק מידע לקביעת OC.

תרגול מודרך

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. נתון BO = 7 ס״מ ו־∠BCD = 100°. מהו הזוג הנכון של OD ושל ∠BCA?

  • OD = 7 ס״מ; ∠BCA = 50°
  • OD = 14 ס״מ; ∠BCA = 50°
  • OD = 7 ס״מ; ∠BCA = 100°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. נתון AO = 4 ס״מ בלבד. איזו קביעה מתחייבת?

  • OC = 4 ס״מ
  • ∠COD = 90°
  • AC = BD

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. היקף: סופרים את הגבול החיצוני

אם AB = AD = a ו־CB = CD = b, ההיקף הוא P = a+b+b+a = 2a+2b. האלכסונים פנימיים ואינם נכללים בהיקף. כשאחד האורכים חסר, כותבים משוואה המתארת את ארבע הצלעות. העברת איבר לאגף האחר תוך שינוי סימנו היא קיצור של חיבור או חיסור אותו איבר משני האגפים. היקף נמדד ביחידות אורך.

דוגמה: בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. היקף הדלתון 34 ס״מ, ו־AB = AD = 6 ס״מ. מצאו את אורכי CB ו־CD.

  1. נסמן CB = CD = b. מההיקף: 2×6 + 2b = 34, כלומר 12 + 2b = 34.
  2. מעבירים את 12 לימין ומשנים את סימנו: 2b = 34 − 12 = 22. פירוש הפעולה הוא חיסור 12 משני האגפים.
  3. מחלקים את שני האגפים ב־2 ומקבלים b = 11 ס״מ.
  4. בדיקה: 6 + 11 + 11 + 6 = 34. אין להוסיף את AC או את BD להיקף.

תרגול מודרך

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. זוג צלעות אחד באורך 4 ס״מ כל אחת והזוג השני באורך 9 ס״מ כל אחת. מה ההיקף?

  • 13 ס״מ
  • 36 סמ״ר
  • 26 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. ההיקף 42 ס״מ ו־CB = CD = 13 ס״מ. מה AB?

  • 16 ס״מ
  • 8 ס״מ
  • 29 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. שטח: מחברים שני משולשים בעלי בסיס משותף

BD מחלק את הדלתון לשני משולשים. כי AC ⟂ BD, הגובה של ABD לבסיס BD הוא AO, והגובה של CBD לאותו בסיס הוא CO. לכן S = BD× + BD× = BD×. בדלתון קמור O בתוך AC, ולכן AO+CO = AC, ומתקבלת הנוסחה S = AC×. משתמשים בשני האלכסונים השלמים, גם אם אינם שווים. שטח נמדד ביחידות ריבועיות.

דוגמה: בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. נתון AO = 4 ס״מ, CO = 8 ס״מ ו־BO = 3 ס״מ. מצאו את שטח הדלתון בשתי דרכים.

  1. מהחצייה BO = OD = 3, ולכן BD = 6 ס״מ. מכיוון ש־O בתוך AC, מתקיים AC = 4 + 8 = 12 ס״מ.
  2. בפיצול לאורך BD: שטח ABD הוא 6× = 12 סמ״ר, ושטח CBD הוא 6× = 24 סמ״ר.
  3. השטח הכולל 12 + 24 = 36 סמ״ר. שני השטחים אינם שווים, כי הגבהים שונים.
  4. בדיקה באמצעות האלכסונים: S = 12× = 36 סמ״ר. אין להציב 3 במקום BD השלם.
שטח הדלתון כסכום שני משולשים4833ABCDO
שטח הדלתון כסכום שני משולשים

השרטוט מציג את הדוגמה הפתורה: נתון דלתון עם AO = 4, CO = 8 ו־BO = 3 ס״מ. סימני השוויון על הצלעות הם נתוני הדלתון; התווית OD = 3 והזווית הישרה הן מסקנות ממשפט הדלתון. לכן BD = 6, AC = 12 והשטח 36 סמ״ר. אורכי הצלעות אינם נתונים בשרטוט.

תרגול מודרך

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. אורכי האלכסונים AC = 15 ס״מ ו־BD = 8 ס״מ. מה השטח?

  • 60 סמ״ר
  • 120 סמ״ר
  • 23 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. השטח 45 סמ״ר ו־BD = 10 ס״מ. מה AC?

  • 4.5 ס״מ
  • 9 ס״מ
  • 90 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.