קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

בניות בסרגל ובמחוגה · תרגול והעמקה

מוכיחים מדוע הבניות עובדות, בונים אנך מנקודה חיצונית ובודקים קיום של משולש דרך חיתוכי מעגלים.

תרגול והעמקה בחטיבה · מיפוי פדגוגי לחטיבת הביניים על בסיס תוכנית החטיבה; ההרחבות מסומנות לפי מוכנות. אין כאן אימות מלא לכל החרגות תוכנית תשפ״ז. הרמות הן עומק למידה, לא מספר יחידות בתיכון. מוכיחים מדוע הבניות עובדות, בונים אנך מנקודה חיצונית ובודקים קיום של משולש דרך חיתוכי מעגלים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/geometric-constructions?target=4

לפני שמתחילים

1. מדוע בניית האנך האמצעי עובדת?

בבניית האנך האמצעי, נקודות החיתוך P,Q של מעגלים שווי־רדיוס שמרכזיהם A,B מקיימות PA = PB וגם QA = QB. אפשר להצדיק את קביעת האנך האמצעי בעזרת חפיפה. אם M אמצע AB, המשולשים PAM ו־PBM חופפים לפי צלע־צלע־צלע. הזוויות PMA ו־PMB שוות וצמודות, ולכן כל אחת 90°. אותו נימוק תקף ל־Q. שתי הנקודות נמצאות על האנך דרך M ולכן PQ הוא אותו ישר.

דוגמה: נסמן ב־P אחת מנקודות החיתוך של מעגלים שווי־רדיוס שמרכזיהם A,B. הוכיחו ש־P נמצאת על האנך האמצעי ל־AB, בלי להניח מראש ש־PM אנך.

  1. נסמן M כאמצע AB לצורך ההוכחה. PA = PB כרדיוסים שווים, AM = BM מהגדרת אמצע, ו־PM משותפת.
  2. △PAM ≅ △PBM לפי צלע־צלע־צלע, ולכן ∠PMA = ∠PMB.
  3. A,M,B על ישר אחד, לכן הזוויות צמודות וסכומן 180°. כל אחת 90°, ומכאן PM אנך ל־AB דרך אמצעו.
שני מעגלים שווי־רדיוס שמרכזיהם A,B נחתכים ב־P,Q; הישר PQ חוצה את AB בניצב בנקודה M.
שני מעגלים שווי־רדיוס שמרכזיהם A,B נחתכים ב־P,Q; הישר PQ חוצה את AB בניצב בנקודה M.

בנייה בסרגל לא מסומן ובמחוגה. העיגולים מציגים את פעולות המחוגה; ההצדקה מופיעה בדוגמה.

תרגול מודרך

מדוע ∠PMA ו־∠PMB הן 90° לאחר שהוכח שהן שוות?

  • כי כל זוויות המשולשים שוות
  • כי PA = PM
  • הן שוות וסכומן 180°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהו סדר נימוקים תקין לבניית האנך האמצעי?

  • חפיפה כי זה אנך אמצעי → לכן זה אנך אמצעי
  • רדיוסים שווים → חפיפה → זוויות צמודות שוות → מאונכות
  • מאונכות לפי הציור → חפיפה → רדיוסים שווים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. אנך לישר מנקודה שמחוץ לו

נתונים ישר ℓ ונקודה P שאינה עליו. בוחרים מעגל שמרכזו P ורדיוס גדול דיו כך שהוא חותך את ℓ בשתי נקודות שונות A,B. מתקיים PA = PB, ולכן P נמצאת על האנך האמצעי ל־AB. בונים את האנך האמצעי ל־AB; זהו האנך המבוקש מ־P אל ℓ. בבחירת הרדיוס אפשר להגדיל את פתיחת המחוגה עד שמתקבלים שני חיתוכים, בלי למדוד את מרחק P מהישר.

דוגמה: בנו אנך מ־P אל ℓ כאשר P מחוץ לישר, והוכיחו שהישר הבנוי עובר ב־P.

  1. משרטטים מעגל שמרכזו P החותך את ℓ בשתי נקודות שונות A,B.
  2. בונים אנך אמצעי ל־AB: מעגלים שווי־רדיוס שמרכזיהם A,B נותנים שני חיתוכים U,V, ומחברים UV.
  3. PA = PB כרדיוסים, לכן P נמצאת על האנך האמצעי ל־AB. מכאן UV עובר ב־P ומאונך ל־ℓ. נסמן H = UV ∩ ℓ; PH הוא הגובה אל הישר.
מעגל שמרכזו P חותך את הישר ב־A,B; האנך האמצעי של AB עובר ב־P וב־H.
מעגל שמרכזו P חותך את הישר ב־A,B; האנך האמצעי של AB עובר ב־P וב־H.

בנייה בסרגל לא מסומן ובמחוגה. העיגולים מציגים את פעולות המחוגה; ההצדקה מופיעה בדוגמה.

תרגול מודרך

המעגל שמרכזו P נוגע ב־ℓ בנקודה אחת בלבד. מהו התיקון הפשוט לבנייה?

  • לבחור את נקודת ההשקה פעמיים
  • להגדיל את הרדיוס עד לקבלת שני חיתוכים
  • להקטין את הרדיוס

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

למה P שייכת לאנך האמצעי של AB?

  • PA = PB
  • P נמצאת על ℓ
  • AB = PA

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. חוצה זווית: בודקים התאמת משולשים

כדי להוכיח בניית חוצה זווית צריכים שלושה שוויוני צלעות במשולשים שמשני צדי הקרן המוצעת. בנקודות C,D על שוקי הזווית מקפידים על OC = OD. נקודת P נבחרת בתוך הזווית כך ש־CP = DP, ו־OP משותפת. מכאן חפיפה לפי צלע־צלע־צלע, ולא לפי המראה. אם C,D נבחרו במרחקים שונים מ־O, שוויון CP = DP לבדו אינו מבטיח ש־OP חוצה את הזווית.

דוגמה: תלמיד סימן OC = 3 ו־OD = 4 על שוקי זווית, ואז בחר P בתוך הזווית כך ש־CP = DP. הוא טען ש־OP חוצה זווית. זהו את החסר ותקנו את הבנייה.

  1. להוכחת △OCP ≅ △ODP ידועים CP = DP ו־OP משותפת, אך OC ≠ OD. לכן צלע־צלע־צלע אינו חל.
  2. מתקנים: בוחרים C,D כחיתוכי אותה קשת שמרכזה O עם השוקיים, כך ש־OC = OD.
  3. משרטטים מעגלים שמרכזיהם C,D ברדיוס OC, ובוחרים בחיתוך P השונה מ־O. כעת שלושת שוויוני הצלעות תקפים, ולכן ∠COP = ∠POD.
OC = OD; מעגלים שמרכזיהם C,D נפגשים ב־O,P. OP מחלק את הזווית לשניים.
OC = OD; מעגלים שמרכזיהם C,D נפגשים ב־O,P. OP מחלק את הזווית לשניים.

בנייה בסרגל לא מסומן ובמחוגה. העיגולים מציגים את פעולות המחוגה; ההצדקה מופיעה בדוגמה.

תרגול מודרך

בהתאמה בין △OCP לבין △ODP, איזה קודקוד מתאים ל־C?

  • D
  • O
  • P

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה נתון חסר אם ידועים רק CP = DP ו־OP משותפת?

  • ∠COP = ∠POD כמסקנה רצויה
  • CP = OP
  • OC = OD

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. שלוש צלעות: מתי המעגלים נפגשים?

אם AB = c ורדיוסי המעגלים שמרכזיהם A,B הם a,b, מתקבלים שני חיתוכים כש־|a − b| < c < a + b. בשוויון מתקבלת השקה ושלוש נקודות על ישר, ולכן אין משולש לא מנוון. אם c > a + b המעגלים רחוקים מדי; אם c < |a − b| המעגל הקטן נמצא בתוך הגדול בלי מפגש. אלה ביטויים גאומטריים לאי־שוויון המשולש.

דוגמה: נרצה לבנות AB = 8, AC = 5 ו־BC = 2. האם אפשר? השוו גם למקרה AB = 7 ולמקרה AB = 6.

  1. רדיוסי המעגלים 5 ו־2, ולכן הפרשם 3 וסכומם 7. נדרשת הדרישה 3 < AB < 7.
  2. כאשר AB = 8 המעגלים נפרדים; כאשר AB = 7 הם משיקים ונוצרת צורה מנוונת על ישר. בשני המקרים אין משולש.
  3. כאשר AB = 6 מתקיים 3 < 6 < 7 ולכן יש שני חיתוכים ושני משולשים חופפים משני צדי הבסיס.

תרגול מודרך

מרחק המרכזים 2 ורדיוסי המעגלים 6 ו־3. כמה נקודות חיתוך יש?

  • 1
  • 2
  • 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

למשולש שתי צלעות באורך 4 ו־7. איזה אורך שלישי אפשרי?

  • 11
  • 5
  • 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.