קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

משוואות עם שברים: הסרת מכנים וערכים אסורים

לומדים לקרוא מונה ומכנה, להסיר מכנים מספריים, לכפול כל איבר ולבדוק ערך אסור ראשון. מסלול מותאם שמתחיל מהבסיס ומתקדם; אינו כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

יסודות בחטיבה · מכנים מספריים ובהמשך מכנים אלגבריים. תחום הגדרה והרחבות פרמטרים מחייבים ידע קודם מתאים. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/fraction-equations?target=3

לפני שמתחילים

1. קוראים שבר ומזהים מה מחולק

קו השבר אומר חילוק. המונה נמצא מעליו והמכנה מתחתיו. הוא x חלקי 3, ואילו הוא כל הביטוי x + 2 חלקי 3. הסוגריים שומרים את כל המונה יחד. פתרון למשוואה הוא מספר שנותן שוויון לאחר הצבה. מתחילים בשברים עם מכנים מספריים שאינם אפס, ולכן בשלב הזה אין ערך אסור של x. אין לחלק באפס.

דוגמה: האם x = 4 פותר את = 2?

  1. מציבים 4 בכל המונה: .
  2. מחשבים קודם את המונה: = 2.
  3. אגף ימין גם הוא 2, ולכן x = 4 הוא פתרון. אילו חילקנו רק את 2, היינו קוראים ביטוי אחר.

תרגול מודרך

מהו ערך כאשר x = 5?

  • 3
  • 5.5
  • 6

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

האם x = 7 פותר את = 2?

  • כן
  • לא

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מבטלים חילוק בכפל ואז מעבירים אגף

כאשר כל האגף מחולק במספר שאינו אפס, אפשר לכפול את שני האגפים באותו מספר ולבטל את החילוק. זו פעולה על שני האגפים, לא שינוי סימן. אחר כך, אם נשאר איבר שמחובר או מחוסר ל־x, מעבירים אותו אגף עם שינוי סימן. העברת אגף היא קיצור לחיבור או לחיסור אותו איבר בשני האגפים.

דוגמה: פתרו את = 5.

  1. כופלים את שני האגפים ב־4: x + 3 = 20. הכפל מבטל את החילוק ב־4.
  2. מעבירים +3 לאגף ימין כ־−3: x = 20 − 3 = 17.
  3. למה הסימן השתנה? חיסרנו 3 משני האגפים. המכנה 4, לעומת זאת, התבטל בכפל.
  4. בודקים במקור: = = 5.

תרגול מודרך

פתרו = 3. מהו x?

  • 15
  • 8

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו = 4. מהו x?

  • 14
  • 10
  • 6

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. כופלים כל איבר, גם מספר שלם

אם יש באגף כמה איברים, כפל המשוואה במספר חל על כולם. ב־ + 3 = 7, כפל ב־2 הופך את ל־x ואת 3 ל־6, וגם את 7 ל־14. אפשר גם להעביר תחילה את 3 אגף. שתי הדרכים תקינות אם שומרים על אותה פעולה בשני האגפים. כדאי לבחור דרך קצרה ולרשום כל שוויון בנפרד.

דוגמה: פתרו את + 3 = 7.

  1. מעבירים +3 כחיסור: = 7 − 3 = 4.
  2. כופלים ב־2: x = 8.
  3. דרך נוספת: כופלים מראש כל איבר ב־2 ומקבלים x + 6 = 14, ולכן שוב x = 8.
  4. בדיקה: + 3 = 4 + 3 = 7.

תרגול מודרך

כפל המשוואה + 2 = 5 ב־3 נותן איזו משוואה?

  • x + 6 = 15
  • x + 2 = 15
  • x + 6 = 5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו − 2 = 3. מהו x?

  • 20
  • 4
  • 12

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. שני מכנים מספריים: כפל משותף

כדי להסיר כמה מכנים מספריים בבת אחת בוחרים מספר שמתחלק בכולם. עבור 2 ו־3 אפשר לבחור 6. אין חובה לבחור את הקטן ביותר, אבל הוא בדרך כלל מקצר את העבודה. מכפילים כל איבר בשני האגפים במספר שנבחר. אחרי ביטול המכנים מרכזים איברים דומים: 3x + 2x = 5x. לבסוף מחלקים במקדם שאינו אפס.

דוגמה: פתרו את + = 5.

  1. כופלים כל איבר ב־6: 3x + 2x = 30.
  2. למה? = 3 ו־ = 2. אגף ימין נעשה 6 × 5 = 30.
  3. מרכזים איברים דומים: 5x = 30. מחלקים ב־5: x = 6.
  4. בדיקה: + = 3 + 2 = 5.

תרגול מודרך

פתרו + = 6. מהו x?

  • 8
  • 4
  • 12

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו − = 2. מהו x?

  • 12
  • 4
  • 6

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. כש־x במכנה: בודקים מה אסור

עד עכשיו המכנים היו מספרים קבועים שאינם אפס. אם x נמצא במכנה, יש ערכים שאסור להציב: במכנה x חייבים x ≠ 0, ובמכנה x − 1 חייבים x ≠ 1. רשימת הערכים המותרים נקראת תחום הגדרה. רושמים את האיסור לפני הכפל במכנה. המשוואה המקורית מוגדרת רק כאשר המכנה אינו אפס; בתוך התחום הזה הכפל שומר על אותם פתרונות. בסוף בודקים גם את האיסור וגם את המשוואה המקורית.

דוגמה: פתרו את = 2.

  1. תחום ההגדרה: x ≠ 0.
  2. בתחום המותר כופלים ב־x: 6 = 2x.
  3. מחלקים ב־2: x = 3. המספר 3 אינו אסור.
  4. בדיקה במקור: = 2. לכן x = 3 הוא הפתרון.

תרגול מודרך

איזה ערך אסור במשוואה = 2?

  • x = 1
  • x = 0
  • x = −1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו = 3.

  • x = 4
  • x = 0
  • x = 9

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.