קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

חוק הפילוג: פרמטרים והשוואת מקדמים

מרחיבים מכפלות עם פרמטר, מזהים ביטולים בעזרת המבנה ובודקים איך מקדמים ומעלת הביטוי משתנים. ההעמקה נשארת בחוק הפילוג; זהו מסלול ממוקד, ולא כיסוי מלא של בחינת למידה מתקדמת בחטיבה.

הרחבה לבחירה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/distributive-law?target=5

לפני שמתחילים

1. פרמטר הוא מספר קבוע בתוך המכפלה

כאן x הוא המשתנה ו־a הוא פרמטר: מספר שקובעים ומתייחסים אליו כקבוע בזמן הפישוט. גם a כפול a נכתב a². מקדם הוא מה שמכפיל חזקה של x; למשל ב־ax² המקדם הוא a. בפתיחת מכפלה עם פרמטר משתמשים באותן ארבע מכפלות כמו במסלול תרגול והעמקה, ואז מרכזים לפי חזקות של x. לכן 2x − 3ax = (2 − 3a)x. a עצמו נחשב קבוע ביחס ל־x. אין כאן מכנה עם משתנה או פרמטר, ולכן כל x וכל a ממשיים מותרים.

דוגמה: פתחו ופשטו (ax + 2)(x − 3), לפי חזקות של x.

  1. רושמים את ארבע המכפלות: ax × x + ax × (−3) + 2 × x + 2 × (−3).
  2. מחשבים: ax² − 3ax + 2x − 6.
  3. שני האיברים האמצעיים הם כפולות של x. המקדמים שלהם הם −3a ו־2, ולכן סכומם (2 − 3a)x.
  4. התוצאה היא ax² + (2 − 3a)x − 6. היא תקפה גם כאשר a = 0; אז פשוט אין איבר x².

תרגול מודרך

פתחו ופשטו (ax − 1)(2x + 3).

  • 2ax² + (3a + 2)x − 3
  • 2ax² + (3a − 2)x − 3
  • 2ax² + (3a − 2)x + 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתחו ופשטו (2x + a)(x − a), לפי חזקות של x.

  • 2x² − ax + a²
  • 2x² − 3ax − a²
  • 2x² − ax − a²

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מזהים מבנה, ואז מאמתים בפילוג

לפני פתיחה מלאה אפשר לבדוק אילו איברים צפויים להתבטל. אם שתי מכפלות שמחסרים מתחילות באותו איבר x², ההפרש שלהם יהיה אפס. עדיין צריך לחשב את האיברים עם x ואת הקבועים; הביטול של איבר אחד אינו מבטל את כל הביטוי. נפתח כל מכפלה בנפרד, נרכז את המקדמים שתלויים ב־a ונחסיר את הקבוצה השנייה כולה. כך בודקים את ההשערה בעזרת חוק הפילוג, בלי לנחש לפי הצבה יחידה.

דוגמה: פשטו (x + a)(2x − 1) − 2x(x + a − 2).

  1. שתי המכפלות כוללות 2x², לכן צפוי שאיברי x² יתבטלו בחיסור.
  2. הראשונה נפתחת ל־2x² − x + 2ax − a = 2x² + (2a − 1)x − a.
  3. השנייה נפתחת ל־2x² + 2ax − 4x = 2x² + (2a − 4)x.
  4. מחסרים את כל הקבוצה השנייה. מקדם x הוא (2a − 1) − (2a − 4) = 3, והקבוע הוא −a.
  5. התוצאה היא 3x − a. גם איברי x² וגם התלות של מקדם x ב־a התבטלו; הקבוע עדיין תלוי ב־a.

תרגול מודרך

פשטו (x + a)(x + 2) − x(x + a).

  • 2x + 2a
  • 2x
  • 2a

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פשטו (2x + a)(x − 3) − 2x(x + a).

  • (a − 6)x − 3a
  • (−a − 6)x − 3a
  • (−a − 6)x + 3a

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. בוחרים פרמטר לפי מקדם מבוקש

כדי למצוא פרמטר שנותן מקדם מסוים, פותחים סוגריים ומרכזים לפי חזקות של x. רק אז קוראים את המקדם ומציבים לו תנאי. למשל, כדי שלא יופיע איבר עם x, המקדם של x צריך להיות אפס. כדי שמקדם x יהיה 5, משווים אותו ל־5. פותרים עבור הפרמטר a, ולא עבור x; הדרישה מתייחסת לצורת הביטוי לכל x. בדיקה בערך יחיד של x אינה מספיקה כדי לקבוע מקדם.

דוגמה: לאיזה ערך של a אין איבר עם x בביטוי (x + a)(2x − 3)?

  1. פותחים ומרכזים: 2x² − 3x + 2ax − 3a = 2x² + (2a − 3)x − 3a.
  2. האיבר עם x נעלם בדיוק כאשר המקדם שלו אפס: 2a − 3 = 0.
  3. מוסיפים 3 לשני האגפים ומחלקים ב־2, שאינו אפס: a = .
  4. מציבים במקדמים: 2x² + 0x − = 2x² − . איבר x² נשאר; רק האיבר עם x התבטל.

תרגול מודרך

לאיזה a אין איבר עם x בביטוי (x + a)(3x + 2)?

  • a =
  • a = −
  • a = −

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

לאיזה a המקדם של x בביטוי (2x − a)(x + 4) − x² שווה ל־5?

  • a = 3
  • a = −3
  • a = 8

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. מתי הפילוג משאיר ביטוי ריבועי, קווי או קבוע?

מעלת ביטוי היא החזקה הגבוהה ביותר של x שהמקדם שלה אינו אפס, לאחר הפישוט. ביטוי עם מקדם x² שאינו אפס הוא ריבועי; אם מקדם x² אפס אך מקדם x אינו אפס, הביטוי קווי. אם שניהם אפס ונשאר מספר שאינו אפס, הביטוי קבוע ממעלה 0. כשמקדם הוא מכפלה, היא אפס אם לפחות אחד מגורמיה אפס. לכן בודקים כל ערך פרמטר שמאפס את מקדם x², ואז גם את מקדם x. אלה מקרים של ביטול איברים, לא ערכים אסורים: הביטויים כאן מוגדרים לכל a ולכל x ממשיים.

דוגמה: סווגו לפי a את הביטוי ax[(a − 1)x + 1] − x + a.

  1. מפזרים את ax: a(a − 1)x² + ax − x + a = a(a − 1)x² + (a − 1)x + a.
  2. מקדם x² הוא a(a − 1). הוא אפס בדיוק כאשר a = 0 או a = 1.
  3. אם a = 0, הביטוי נעשה −x. מקדם x הוא −1, ולכן זהו ביטוי קווי.
  4. אם a = 1, גם מקדם x מתאפס ונשאר 1: ביטוי קבוע ממעלה 0.
  5. לכל a שאינו 0 או 1, מקדם x² אינו אפס ולכן הביטוי ריבועי. לא חילקנו בפרמטר, וכל המקרים נכללו.

תרגול מודרך

לאיזה a הביטוי (a − 2)x(x + 1) + x − a נעשה קווי?

  • לכל a
  • רק a = 2
  • רק a = 1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

סווגו את (a + 1)x[(a − 2)x + 1] − 3x + a לפי a.

  • ב־a = −1 קווי; ב־a = 2 קבוע; בכל a אחר ריבועי
  • ב־a = −1 קבוע; ב־a = 2 קווי; בכל a אחר ריבועי
  • ב־a = −1 וב־a = 2 קווי; בכל a אחר ריבועי

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.