קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

חוק הפילוג: מכפלות של ביטויים

משלבים כופל עם x, חזקות, סוגריים בתוך סוגריים ומכפלות של שני ביטויים. בונים כל מעבר ומסיימים בפישוט הכולל ביטול איברים. זהו מסלול ממוקד, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/distributive-law?target=4

לפני שמתחילים

1. כשהכופל כולל x: נוצר גם x²

חוק הפילוג חל גם כשהכופל עצמו כולל אות. כופלים בנפרד את המספרים ואת האותיות: 2x × 3x = 6x². הכתיבה x² פירושה x × x, ולא 2x. איברים עם x² אפשר לחבר לאיברים עם x²; אין לחבר אותם לאיברים עם x. גם חצי הוא כופל רגיל: פירושו () × x. כל הביטויים במסלול הזה מוגדרים לכל x ממשי, כי אין חילוק בביטוי שתלוי ב־x.

דוגמה: פתחו סוגריים: 2x(3x − 4).

  1. מפזרים את 2x על שני האיברים: 2x × 3x − 2x × 4.
  2. במכפלה הראשונה: 2 × 3 = 6 ו־x × x = x², ולכן מתקבל 6x².
  3. במכפלה השנייה: 2x × 4 = 8x. שומרים את החיסור ומקבלים 6x² − 8x.
  4. לא מרכזים את שני האיברים יחד, כי החזקות של x שונות.

תרגול מודרך

פתחו סוגריים: −3x(2x − 5).

  • −6x² − 15x
  • −6x² + 15x
  • −6x + 15

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתחו סוגריים: ()(6x − 4).

  • 3x² − 4
  • 6x² − 2x
  • 3x² − 2x

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. סוגריים בתוך סוגריים: שומרים על המבנה

סוגריים מרובעים משמשים כאן כמו סוגריים עגולים, כדי להבחין בין קבוצה חיצונית לפנימית. נוח לפשט תחילה את תוכן הקבוצה הפנימית, ורק אחר כך לכפול בכופל החיצוני. מינוס לפני קבוצה פנימית חל על כל איבריה. אפשר גם להפיץ את הכופל החיצוני קודם, אבל אסור לדלג על כופל או להחיל אותו רק על חלק מהקבוצה.

דוגמה: פשטו 3[2(x − 1) − (x + 4)].

  1. בתוך הסוגריים המרובעים פותחים את שתי הקבוצות: 2x − 2 − x − 4.
  2. ה־−1 שמול (x + 4) הופך גם את x וגם את 4 לשליליים.
  3. מרכזים בתוך הקבוצה: 2x − x − 2 − 4 = x − 6.
  4. כעת מפזרים את 3 על כל מה שנותר: 3(x − 6) = 3x − 18.

תרגול מודרך

פשטו −2[3x − (x − 4)].

  • −4x − 8
  • −4x + 8
  • −8x + 8

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פשטו 2[3 − 2(x + 1)] + x.

  • 7 − 3x
  • 2 − 3x
  • 2 − 5x

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. שני סוגריים: כל איבר פוגש כל איבר

במכפלה של שני ביטויים, שבכל אחד מהם שני איברים, משתמשים בחוק הפילוג פעמיים. למשל, (x + 2)(x − 3) = x(x − 3) + 2(x − 3). אחרי פתיחת שני הסוגריים מתקבלות ארבע מכפלות: כל איבר בקבוצה הראשונה מוכפל בכל איבר בקבוצה השנייה. רק אז מרכזים איברים דומים. זו דרך כללית לפתיחת מכפלה; אין צורך לזכור נוסחת כפל מיוחדת.

דוגמה: פתחו ופשטו (x + 2)(x − 3).

  1. מפזרים את שני האיברים מהקבוצה הראשונה: x(x − 3) + 2(x − 3).
  2. פותחים כל מכפלה: x² − 3x + 2x − 6. כל אחת מארבע המכפלות מופיעה פעם אחת.
  3. מרכזים רק את האיברים עם x: −3x + 2x = −x.
  4. התוצאה היא x² − x − 6. האיבר −6 נובע מ־2 × (−3).

תרגול מודרך

פתחו ופשטו (x + 1)(2x − 3).

  • 2x² − 3
  • 2x² + x − 3
  • 2x² − x − 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתחו ופשטו (2x − 1)(x + 4).

  • 2x² + 7x − 4
  • 2x² + 9x − 4
  • 2x² + 7x + 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. מחסרים מכפלות ונותנים לאיברים להתבטל

כשמחסרים מכפלה שלמה, פותחים אותה כקבוצה לפני החיסור, כדי שהמינוס יחול על כל תוצאתה. לאחר מכן מרכזים בנפרד את איברי x², את איברי x ואת המספרים. ייתכן שאיברי x² יתבטלו והתוצאה תהיה ביטוי פשוט יותר, או אפילו מספר קבוע. אין צורך לפתור משוואה או להשוות לאפס: המטרה היא לפשט את הביטוי הנתון.

דוגמה: פשטו (x + 2)(2x − 1) − 2x(x + 1).

  1. המכפלה הראשונה היא 2x² − x + 4x − 2 = 2x² + 3x − 2.
  2. המכפלה השנייה היא 2x² + 2x, ולכן רושמים (2x² + 3x − 2) − (2x² + 2x).
  3. מפזרים את המינוס: 2x² + 3x − 2 − 2x² − 2x.
  4. איברי x² מתבטלים, ו־3x − 2x = x. התוצאה היא x − 2 לכל x.

תרגול מודרך

פשטו (x − 2)(x + 3) − x(x + 1).

  • −6
  • 2x − 6
  • −x − 6

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פשטו (2x + 3)(x − 1) − 2x(x + 2).

  • 5x − 3
  • −3x − 3
  • −3x + 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.