קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

מערכת צירים: פרמטרים וסימטריה

מעמיקים בתנאי מיקום, קבוצות נקודות ונקודות קבועות של פעולות. מסווגים גם מצבים גיאומטריים מנוונים. זהו מסלול העמקה ממוקד, לא כיסוי מלא של בחינת למידה מתקדמת בחטיבה.

הרחבה לבחירה · נקודות, רבעים, מרחקים מקבילים לצירים ושיקופים; תנאים עם פרמטרים הם הרחבה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/coordinate-plane?target=5

לפני שמתחילים

1. פרמטר במיקום: מחלקים לפי נקודות שינוי סימן

בנקודה P = (a − 1, a + 2), הפרמטר a הוא מספר ממשי הקובע את שני השיעורים. כדי לסווג את המיקום לכל a, מוצאים מתי כל שיעור אפס: אלה גבולות שבהם הסימנים עשויים להשתנות. מחלקים את ישר הפרמטר למקרים, ובודקים בכל מקרה את שני הסימנים. בערכי הגבול עצמם הנקודה נמצאת על ציר, ולא ברבע. לא מספיק לדעת רק אם a חיובי או שלילי; צריך לבדוק את הביטויים המלאים.

דוגמה: סווגו את P = (a − 1, a + 2) לפי כל ערכי a.

  1. x = a − 1 מתאפס ב־a = 1. y = a + 2 מתאפס ב־a = −2.
  2. אם a < −2, שני השיעורים שליליים: רבע שלישי. אם a = −2, הנקודה (−3, 0) על ציר x.
  3. אם −2 < a < 1, אז x שלילי ו־y חיובי: רבע שני.
  4. אם a = 1, הנקודה (0, 3) על ציר y. אם a > 1, שני השיעורים חיוביים: רבע ראשון.
  5. אין ערך a שממקם את הנקודה ברבע הרביעי, כי התנאים a > 1 וגם a < −2 אינם יכולים להתקיים יחד.

תרגול מודרך

עבור אילו a הנקודה (a − 3, a + 1) ברבע השני?

  • a < −1
  • a > 3
  • −1 < a < 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

עבור אילו a הנקודה (a − 2, 5 − a) ברבע הראשון?

  • 2 ≤ a ≤ 5
  • 2 < a < 5
  • a > 2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. תנאי על מרחקים מהצירים מתאר קבוצת נקודות

המרחק של (x, y) מציר x הוא |y|, והמרחק מציר y הוא |x|. הסיבה: מגיעים לכל ציר בדרך המאונכת אליו, ומשנים רק את השיעור המאונך. ערך מוחלט הוא מרחק מאפס: |u| = u אם u ≥ 0, ו־|u| = −u אם u < 0. לכן שוויון מרחקים לשני הצירים הוא |x| = |y|. שני מספרים בעלי אותו ערך מוחלט הם שווים או נגדיים, ולכן מתקבל y = x או y = −x. זוהי קבוצה של נקודות בשני ישרים, לא נקודה יחידה.

דוגמה: מצאו את כל הנקודות ששיעור x שלהן הוא 3 ומרחקיהן משני הצירים שווים.

  1. המרחק מציר y הוא |3| = 3. לכן גם המרחק מציר x צריך להיות 3.
  2. המרחק מציר x הוא |y|, ולכן נדרש |y| = 3.
  3. מקבלים y = 3 או y = −3. הנקודות הן (3, 3) ו־(3, −3).
  4. בשתי הנקודות המרחק מכל ציר הוא 3. החלפת סימן של y אינה משנה את המרחק.
מרחק שווה משני הצירים: שתי אפשרויות-5-4-3-2-112345-5-4-3-2-112345xy0(3, 3)(3, −3)
מרחק שווה משני הצירים: שתי אפשרויות

הישרים y = x ו־y = −x מתארים את כל הנקודות שמרחקיהן משני הצירים שווים. בדוגמה הנתון x = 3 בוחר את שתי הנקודות המסומנות (3, 3), (3, −3). מוצג חלק מהישרים בלבד; הישרים ממשיכים מעבר למסגרת.

  • y = x
  • y = −x
  • x = 3

תרגול מודרך

אילו נקודות עם x = −4 נמצאות במרחק שווה משני הצירים?

  • (−4, 4) וגם (−4, −4)
  • רק (−4, 4)
  • (4, −4) וגם (−4, −4)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה תיאור נותן את כל הנקודות שמרחקיהן מציר x ומציר y שווים?

  • רק y = x
  • x = 0 או y = 0
  • y = x או y = −x

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. אילו נקודות נשארות במקום אחרי פעולה משולבת?

נקודה קבועה של פעולה היא נקודה שתמונתה שווה לה. שוויון של זוגות סדורים מחייב שוויון של שני השיעורים בנפרד. לדוגמה, שיקוף בציר y ואחריו הזזה h ימינה ו־k למעלה הופכים (x, y) ל־(h − x, y + k). כדי שהנקודה תישאר במקום נדרשים h − x = x וגם y + k = y. תנאי שאינו תלוי עוד בנעלם עדיין חשוב: הוא עשוי לשלול את כל הנקודות.

דוגמה: סווגו את הנקודות הקבועות של (x, y) → (h − x, y + k), לפי h ו־k ממשיים.

  1. משווים שיעורים: h − x = x וגם y + k = y.
  2. מהראשון מקבלים 2x = h, ולכן x = . כאן מחלקים במספר הקבוע 2.
  3. מהשני, אחרי חיסור y, מתקבל k = 0. אם k ≠ 0 אין אף נקודה קבועה.
  4. אם k = 0, כל נקודה עם x = וכל y ממשי נשארת במקום: (, t) לכל t ממשי.
  5. אין תנאי נוסף על h. במקרה k = 0 הפעולה למעשה משקפת סביב הקו האנכי x = .

תרגול מודרך

אילו נקודות נשארות במקום אחרי שיקוף בציר y והזזה 6 ימינה?

  • רק (3, 0)
  • כל הנקודות עם x = 3
  • כל הנקודות עם y = 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

משקפים בציר y, מזיזים 4 ימינה ו־1 למעלה. אילו נקודות נשארות במקומן?

  • אין נקודות כאלה
  • כל הנקודות עם x = 2
  • רק (2, 1)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. קודקודים עם פרמטר: מתי יש מלבן אמיתי?

שני קודקודים נגדיים קובעים מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים רק אם שיעורי x שלהם שונים וגם שיעורי y שלהם שונים. אורכי הצלעות הם |x₂ − x₁| ו־|y₂ − y₁|. אם אחד מהם אפס, הצורה מתכווצת לקטע, או לנקודה אם שניהם אפס, ואינה מלבן בעל שטח חיובי. עבור פרמטר צריך להבחין בין ערך אסור לביטוי לבין מצב גיאומטרי מנוון: השיעורים עצמם יכולים להיות מוגדרים גם כשהמלבן אינו קיים. שטח מלבן הוא מכפלת אורכי הצלעות.

דוגמה: A = (a, 1) ו־C = (3, 5) אמורים להיות קודקודים נגדיים במלבן המקביל לצירים. מצאו מתי קיים מלבן, ומה שטחו.

  1. הצלע האנכית היא |5 − 1| = 4, חיובית תמיד.
  2. הצלע האופקית היא |3 − a|. היא חיובית אם ורק אם a ≠ 3.
  3. לכן עבור a ≠ 3 יש מלבן ושטחו 4|3 − a|. אם a < 3 השטח 4(3 − a); אם a > 3 השטח 4(a − 3).
  4. אם a = 3, שתי הנקודות נמצאות על אותו קו אנכי. הצלע האופקית אפס, ולכן אין מלבן בעל שטח חיובי, אף ששתי הנקודות מוגדרות.
  5. בדיקה: a = 1 וגם a = 5 נותנים רוחב 2 ושטח 8, אך המלבן נמצא בצד אחר של x = 3 בכל מקרה.

תרגול מודרך

A = (a, −1), C = (2, 3) הם קודקודים נגדיים במלבן המקביל לצירים. לאילו a שטחו 12?

  • רק a = 5
  • a = 2
  • a = −1 או a = 5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

A = (a, 0), C = (4, a − 1) אמורים להיות קודקודים נגדיים במלבן המקביל לצירים. מתי קיים מלבן בעל שטח חיובי?

  • לכל a ממשי
  • a ≠ 1 וגם a ≠ 4
  • רק a > 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.