קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

פירוק עם פרמטרים ושמירת פתרונות

מזהים מבנה עם פרמטר, מפרידים מקרי אפס, נמנעים מאיבוד פתרונות ובונים סיווג לפי מספר הפתרונות. זוהי העמקה ממוקדת, ולא כיסוי מלא של בחינת למידה מתקדמת בחטיבה.

הרחבה לבחירה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/common-factor?target=5

לפני שמתחילים

1. פרמטר כגורם: רואים את המבנה לפני הפתיחה

x הוא המשתנה ו־a הוא פרמטר: מספר ממשי שבוחרים וקובעים לפני שעוסקים במשוואה. בפירוק של ביטוי אפשר לטפל ב־a כמו בכל מספר או סמל אחר. ביטוי שלם כמו a − 1 יכול להיות גורם משותף. אם הוא אינו גלוי, קיבוץ עשוי לחשוף אותו. זהות הפירוק נכונה לכל x ולכל a; בפרט היא נכונה גם בערך פרמטר שמאפס את הגורם. אין מכנים ולכן בשלב הזה אין ערכים אסורים.

דוגמה: פרקו את 2x(a − 1) − 3(a − 1), ובדקו מה קורה כאשר a = 1.

  1. בשני האיברים יש גורם a − 1. הכופלים שנותרו הם 2x ו־−3.
  2. לכן 2x(a − 1) − 3(a − 1) = (a − 1)(2x − 3).
  3. אם a = 1, הגורם הראשון אפס והביטוי כולו שווה ל־0 לכל x. גם הביטוי המקורי נותן 2x × 0 − 3 × 0 = 0.
  4. זו זהות בין ביטויים, ולא בקשה למצוא x. אפס של גורם אינו פוגע בנכונות הפירוק.

תרגול מודרך

איזה פירוק נכון של ax − a − 2x + 2?

  • (a − 2)(x − 1)
  • (a + 2)(x − 1)
  • (a − 2)(x + 1)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה פירוק נכון של 3ax + 6a − 3x − 6?

  • 3(a + 1)(x + 2)
  • 3(a − 1)(x − 2)
  • 3(a − 1)(x + 2)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. לפני חלוקה בפרמטר מפרידים את מקרה האפס

כאשר a הוא פרמטר, גורם כמו a − 2 עשוי להיות אפס. לכן אי אפשר לחלק בו אוטומטית. תחילה בודקים את ערך הפרמטר שמאפס אותו. אם המשוואה הופכת ל־0 = 0, כל x ממשי פותר. בכל ערך פרמטר אחר מותר לחלק בגורם, או להשתמש בכלל המכפלה האפסית. חשוב לנסח תשובה לפי a: לא בוחרים ערך של a כדי לפתור עבור x.

דוגמה: פתרו את (a − 2)x = 3(a − 2) לפי ערכי a.

  1. מעבירים את 3(a − 2) לאגף שמאל כחיסור: (a − 2)x − 3(a − 2) = 0.
  2. מוציאים גורם: (a − 2)(x − 3) = 0.
  3. אם a = 2, המקור הוא 0x = 0, ולכן כל x ממשי פותר.
  4. אם a ≠ 2, הגורם a − 2 אינו אפס, ולכן x − 3 = 0 ומקבלים x = 3. בדיקה במקור נותנת 3(a − 2) בשני האגפים.

תרגול מודרך

מהו הסיווג המלא של (a + 1)x + 2(a + 1) = 0?

  • לכל a: רק x = −2
  • אם a = −1: כל x ממשי; אחרת x = −2
  • אם a = 1: כל x ממשי; אחרת x = 2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהו הסיווג המלא של (a − 3)(2x + 1) = 0?

  • אם a = 3: אין פתרון; אחרת x = −
  • אם a = −3: כל x ממשי; אחרת x =
  • אם a = 3: כל x ממשי; אחרת x = −

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. גורם משותף לשני אגפים עלול לשמור פתרון

אם אותו גורם עם x מופיע בשני האגפים, ביטולו בחלוקה בלי בדיקה עלול לאבד פתרון. עדיף להעביר אגף ולפרק: כך גם המקרה שבו הגורם אפס נשמר. כאשר מתקבלות שתי נוסחאות לפתרון, בודקים אם הן נותנות לפעמים אותו מספר. שתי דרכים לאותו מספר מייצגות פתרון אחד, לא שני פתרונות שונים.

דוגמה: פתרו את x(x − a) = 2(x − a), וציינו מתי יש פתרון יחיד.

  1. מעבירים את אגף ימין כחיסור: x(x − a) − 2(x − a) = 0.
  2. מוציאים x − a: (x − a)(x − 2) = 0.
  3. לכן x = a או x = 2. במקור x = a מאפס את שני האגפים; x = 2 הופך אותם לאותו ביטוי 2(2 − a).
  4. אם a = 2, שני הפתרונות הרשומים מתלכדים ב־x = 2, ויש פתרון יחיד. אם a ≠ 2, יש שני פתרונות שונים.
  5. חלוקה מראש ב־x − a הייתה מוחקת את המקרה x = a, ולכן אינה מספיקה לפתרון מלא.

תרגול מודרך

איזה תיאור מלא נכון עבור x(x − 1) = a(x − 1)?

  • רק x = a לכל a
  • x = 1 או x = a; פתרון יחיד בדיוק כאשר a = 1
  • x = −1 או x = a; פתרון יחיד בדיוק כאשר a = −1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה תיאור מלא נכון עבור x(x + 2) = a(x + 2)?

  • x = −2 או x = a; פתרון יחיד בדיוק כאשר a = −2
  • x = 2 או x = a; פתרון יחיד בדיוק כאשר a = 2
  • רק x = a לכל a

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. מסכמים סיווג: כל מספר, פתרון יחיד או שניים

במשוואה מפורקת עם פרמטר יש שתי בדיקות שונות: האם גורם שתלוי רק בפרמטר מאפס את כל המשוואה, והאם הפתרונות של הגורמים התלויים ב־x מתלכדים. בודקים קודם את גורם הפרמטר, ורק אם הוא אינו אפס פותרים את שאר המכפלה. אחר כך משווים את הפתרונות כדי לספור ערכים שונים. כל האלגברה כאן פולינומית, ולכן אין מגבלות תחום מעבר להפרדת המקרים הנדרשת לפני חלוקה.

דוגמה: סווגו את פתרונות (a − 1)x² = (a − 1)(a + 1)x לפי a.

  1. מעבירים אגף ומוציאים (a − 1)x: (a − 1)x[x − (a + 1)] = 0.
  2. אם a = 1, המקור הוא 0 = 0. כל x ממשי פותר.
  3. אם a ≠ 1, הגורם a − 1 אינו אפס, ולכן x = 0 או x = a + 1.
  4. שני הערכים מתלכדים כאשר a + 1 = 0, כלומר a = −1. במקרה הזה יש פתרון יחיד x = 0.
  5. סיכום: a = 1 נותן כל x ממשי; a = −1 נותן רק x = 0; בכל a אחר יש שני פתרונות שונים, 0 ו־a + 1. הצבת כל שורש במכפלה מאפסת אותה.

תרגול מודרך

מהו הסיווג המלא של (a + 2)x² = (a + 2)(a − 3)x?

  • אם a = −2: כל x; אם a = 3: רק x = 0; אחרת x = 0 או x = a − 3
  • אם a = −2: אין פתרון; אחרת x = 0 או x = a − 3
  • אם a = 2: כל x; אם a = −3: רק x = 0; אחרת x = 0 או x = a + 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהו הסיווג המלא של (a − 2)x² = (a − 2)(a + 1)x?

  • אם a = 2: רק x = 0; אחרת x = 0 או x = a + 1
  • אם a = 2: כל x; אם a = −1: רק x = 0; אחרת x = 0 או x = a + 1
  • אם a = −2: כל x; אם a = 1: רק x = 0; אחרת x = 0 או x = a − 1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.