קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

הוצאת גורם משותף מספרי ואלגברי

בונים את משמעות הפירוק, מוצאים גורם מספרי ומשלבים גורם עם x, תוך בדיקה בפתיחת סוגריים. זהו מסלול למידה ממוקד, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

יסודות בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/common-factor?target=3

לפני שמתחילים

1. פירוק הוא פתיחת סוגריים בכיוון ההפוך

בפתיחת סוגריים מכפילים את הגורם שמחוץ לסוגריים בכל איבר שבתוכם: 3(x + 2) = 3x + 6. בפירוק עושים את הדרך ההפוכה: כותבים סכום כמכפלה. גורם משותף הוא גורם שנמצא בכל אחד מהאיברים. מוציאים אותו מחוץ לסוגריים, ובתוכם כותבים את מה שנשאר מכל איבר לאחר חילוק בו. ערך הביטוי אינו משתנה. כל הביטויים במסלול הזה הם פולינומים, ולכן מותר להציב בהם כל מספר ממשי.

דוגמה: כתבו את 6x + 12 כמכפלה עם הגורם 6.

  1. 6x = 6 × x וגם 12 = 6 × 2, לכן 6 מופיע בשני האיברים.
  2. מחלקים כל איבר ב־6 כדי למצוא מה יישאר בסוגריים: x ו־2.
  3. מקבלים 6x + 12 = 6(x + 2).
  4. בודקים בפתיחת סוגריים: 6 × x + 6 × 2 = 6x + 12. זהו אותו ביטוי.

תרגול מודרך

איזו מכפלה שווה ל־4x + 8?

  • 4(x + 2)
  • 4(x + 8)
  • 2(x + 4)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזו מכפלה שווה ל־5x + 15?

  • 5(x + 15)
  • 5(x + 3)
  • 3(x + 5)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. בוחרים את הגורם המספרי הגדול ביותר

אפשר לפעמים להוציא כמה גורמים שונים. לדוגמה, גם 2 וגם 4 מחלקים את 8 ואת 12, אבל 4 הוא הגדול ביותר. הוצאת הגורם המספרי המשותף הגדול ביותר משאירה בסוגריים מקדמים שאין להם עוד מחלק שלם משותף גדול מ־1. סימן חיסור נשמר: אם מחלקים איבר שלילי בגורם חיובי, האיבר שבסוגריים נשאר שלילי.

דוגמה: פרקו את 12x + 18 באמצעות הגורם המספרי המשותף הגדול ביותר.

  1. המחלק השלם החיובי הגדול ביותר של 12 ושל 18 הוא 6.
  2. מחלקים כל איבר ב־6: = 2x, וכן = 3.
  3. לכן 12x + 18 = 6(2x + 3).
  4. המקדמים 2 ו־3 אינם חולקים מחלק שלם גדול מ־1. פתיחת הסוגריים מחזירה את הביטוי המקורי.

תרגול מודרך

איזה פירוק מוציא את הגורם המספרי המשותף הגדול ביותר מ־8x + 12?

  • 2(4x + 6)
  • 4(2x + 3)
  • 4(2x + 12)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה פירוק מוציא את הגורם המספרי המשותף הגדול ביותר מ־15x − 25?

  • 5(3x + 5)
  • 5(3x − 25)
  • 5(3x − 5)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. גם x יכול להיות גורם משותף

x² פירושו x × x. לכן ב־x² + 3x שני האיברים מכילים גורם x, ואפשר לכתוב x(x + 3). אם יש גם גורם מספרי משותף, אפשר להוציא את שניהם יחד. למשל, מכל אחד מהאיברים 2x² ו־6x אפשר להוציא 2x. זהו פירוק של ביטוי, לא חלוקה של משוואה ב־x: הזהות נשארת נכונה גם כאשר x = 0. את הפירוק תמיד אפשר לבדוק בכפל.

דוגמה: פרקו את 6x² − 9x באמצעות הגורם המשותף הגדול ביותר.

  1. 6 ו־9 מתחלקים ב־3. בשני האיברים מופיע גם x אחד לפחות. לכן הגורם הוא 3x.
  2. 6x² = 3x × 2x, ואילו −9x = 3x × (−3).
  3. מקבלים 6x² − 9x = 3x(2x − 3).
  4. בדיקה: 3x × 2x − 3x × 3 = 6x² − 9x. גם ב־x = 0 שני הביטויים שווים ל־0.

תרגול מודרך

איזה פירוק נכון של x² + 5x?

  • x(x + 5)
  • x(x² + 5)
  • 5x(x + 1)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה פירוק מוציא את הגורם המשותף הגדול ביותר מ־2x² + 8x?

  • 2(x² + 4x)
  • 2x(x + 4)
  • 2x(x + 8)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. הגורם חייב להופיע בכל האיברים

בביטוי עם שלושה איברים בודקים את שלושתם לפני שמוציאים גורם. אם מופיע איבר קבוע שאינו אפס, כמו −3, אי אפשר להוציא x מכל הביטוי כפולינום: האיבר הקבוע אינו מכיל x. אחרי הפירוק חייב להישאר בסוגריים איבר עבור כל אחד מהאיברים המקוריים. אם איבר שווה בדיוק לגורם שהוצאנו, נשאר 1; אם הוא הנגדי שלו, נשאר −1. בסוף פותחים סוגריים ובודקים מקדמים וסימנים.

דוגמה: פרקו את 6x² + 9x − 3 באמצעות הגורם המשותף הגדול ביותר.

  1. כל שלושת המקדמים מתחלקים ב־3. אי אפשר להוציא x, כי האיבר −3 אינו מכיל x.
  2. = 2x², וכן = 3x, וכן − = −1.
  3. לכן 6x² + 9x − 3 = 3(2x² + 3x − 1).
  4. בדיקה: הכפל ב־3 מחזיר 6x², 9x ו־−3. אי אפשר להשמיט את האיבר −1 שבסוגריים.

תרגול מודרך

איזה פירוק מוציא את הגורם המשותף הגדול ביותר מ־4x² + 8x + 12?

  • 4x(x + 2 + 3)
  • 4(x² + 2x + 3)
  • 4(x² + 2x + 12)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה פירוק מוציא את הגורם המשותף הגדול ביותר מ־10x² − 15x + 5?

  • 5(2x² − 3x)
  • 5x(2x − 3 + 1)
  • 5(2x² − 3x + 1)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.